3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 高考 >>

2013年广东高考文科数学A卷试题及答案(清晰)版


绝密★启用前

试卷类型:A

2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号 填写在答题卡上。用 2B 铅笔讲试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。将条形码横贴在 答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式为 V =

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设集合 S ? {x | x ? 2x ? 0, x ? R} , T ? {x | x ? 2x ? 0, x ? R} ,则 S ? T =
2 2

A. {0} 2.函数 f ( x ) ?

B. {0, 2}

C. {?2, 0}

D. {?2, 0, 2}

lg( x ? 1) 的定义域是 x ?1
B. [?1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??) D. [?1,1) ? (1, ??)

A. (?1, ??)

3.若 i( x ? yi ) ? 3 ? 4i , x, y ? R ,则复数 x ? yi 的模是 A.2 4.已知 sin( B.3 C.4 D.5

5? 1 ? ? ) ? ,那么 cos? ? 2 5 2 1 1 A. ? B. ? C. 5 5 5

D.

2 5

1

5.执行如图 1 所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是 A.1 B.2 C.4 D.7
开始 输入n
2

i=1, s=1 i≤n 是 s=s+(i-1) i=i +1 否 输出s 结束
1 正视图 1 侧视图

俯视图 图 2

图 1

6.某三棱锥的三视图如图 2 所示,则该三棱锥的体积是 A.

1 6

B.

1 3

C.

2 3

D. 1

7.垂直于直线 y ? x ? 1 且与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切于第一象限的直线方程是 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 2 ? 0

8.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ? B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

9.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F (1, 0) ,离心率等于

1 ,则 C 的方程是 2
D.

A.

x2 y2 ? ?1 3 4

B.

x2 y2 ? ?1 4 3
?

C.

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 3

10.设 a 是已知的平面向量且 a ? 0 ,关于向量 a 的分解,有如下四个命题: ①给定向量 b ,总存在向量 c ,使 a ? b ? c ; ②给定向量 b 和 c ,总存在实数 ? 和 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ③给定单位向量 b 和正数 ? ,总存在单位向量 c 和实数 ? ,使 a ? ? b ? ? c ; ④给定正数 ? 和 ? ,总存在单位向量 b 和单位向量 c ,使 a ? ? b ? ? c ; 上述命题中的向量 b , c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

2

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.设数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ?2 的等比数列,则 a1 ? | a2 | ?a3 ? | a4 |? 12.若曲线 y ? ax2 ? ln x 在点 (1, a ) 处的切线平行于 x 轴,则 a ? .

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ? y ?1 ?
(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题)



14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? .以极点为原点,极轴为 x 轴的 正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程为 .
B C

15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在矩形 ABCD 中, AB ? 3 ,

BC ? 3 , BE ? AC ,垂足为 E ,则 ED ?

E



A 图 3

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . ? 12 ?

(1) 求 f ?

?? ? ? 的值; ?3? 3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

(2) 若 cos ? ?

?? ? f ?? ? ? . 6? ?

17. (本小题满分 13 分) 从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在 [90,95) 的频率; (2) 用分层抽样的方法从重量在 [80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个, 其中重量在 [80,85) 的有几个? (3) 在(2)中抽出的 4 个苹果中,任取 2 个,求重量在 [80,85) 和 [95,100) 中各有 1 个的概率.

3

18. (本小题满分 13 分) 如图 4,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中, D, E 分别是 AB, AC 边上的点, AD ? AE , F 是 BC 的中

点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥 A ? BCF ,其中 BC ?
A

2 . 2

A

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (2) 证明: CF ? 平面 ABF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3
B

G

E

D

G

E
D F C

19. (本小题满分 14 分)

F 图 4
?

C
B 图 5

设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? a 列. (1) 证明: a2 ?

2 n?1

? 4n ? 1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数

4a1 ? 5 ;

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数 n ,有 20. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点. (1) 求抛物线 C 的方程; (2) 当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2

3 2 .设 P 为直线 l 2

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x
3 2

?k ? R ? .

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f (x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f (x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M .

4

2013 年广东高考文科数学 A 卷参考答案
一、选择题 题号 1 选项
A

2
C

3
D

4
C

5
C

6
B

7
A

8
B

9
D

10
B

二、填空题
11. 15 12.

1 2

13.5

14. ?

? x ? 1 ? cos ? ( ? 为参数) ? y ? sin ?

15.

21 2

三、解答题
16. 解:(1) f ?

?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? ? ? 1 ?3? ? 3 12 ? ?4?
4 3 ? 3? ? , ? ? ? , 2? ? , sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , 5 5 ? 2 ?

(2)? cos ? ?

?? ?? ? ?? 1 ? ? ? ? f ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? ? ? 2 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? ? . 6? 4? 4 4? 5 ? ? ?
17. 解:1)苹果的重量在 [90,95) 的频率为 (2)重量在 [80,85) 的有 4 ?

20 =0.4 ; 50

5 =1 个; 5+15

(3)设这 4 个苹果中 [80,85) 分段的为 1, ?95,100? 分段的为 2、3、4,从中任取两个,可能的情况有: (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4)共 6 种;设任取 2 个,重量在 [80,85) 和 ?95,100? 中各 有 1 个的事件为 A,则事件 A 包含有(1,2) (1,3) (1,4)共 3 种,所以 P (A) ? 18. 解: (1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

3 1 ? . 6 2

?

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中也成立, DB EC

? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;

5

(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? ? 3 ? 324 ? 3 2 3 2 3 ? ?
2 2 19. 解: (1)当 n ? 1 时, 4a1 ? a2 ? 5, a2 ? 4a1 ? 5 ,? an ? 0 ? a2 ?

4a1 ? 5

2 2 2 (2)当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an ? 4 ? n ?1? ?1, 4an ? 4Sn ? 4Sn?1 ? an?1 ? an ? 4
2 2 an ?1 ? an ? 4an ? 4 ? ? an ? 2 ? ,? an ? 0 ? an?1 ? an ? 2 2

? 当 n ? 2 时, ?an ? 是公差 d ? 2 的等差数列.
2 ? a2 , a5 , a14 构成等比数列,?a5 ? a2 ? a14 , ? a2 ? 8 ? ? a2 ? ? a2 ? 24 ? ,解得 a2 ? 3 ,
2

2 由(1)可知, 4a1 ? a2 ? 5=4,?a1 ? 1

? a2 ? a1 ? 3 ?1 ? 2 ?

?an ? 是首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 的等差数列.

? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 1.
(3)

1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ?1?? 2n ? 1?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ?? ? ? ?? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ?1 ? ? . 2 ? 2n ? 1 ? 2 ?
20. 解: (1)依题意 d ?

0?c?2 2

?

3 2 ,解得 c ? 1 (负根舍去) 2

? 抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ;
(2)设点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , P( x0 , y0 ) , 由 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 1 2 x ,得 y? ? x . 4 2 x1 ( x ? x1 ) , 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y ? y1 ?

即y?

x1 1 x ? y1 ? x12 . 2 2

6

∵ y1 ?

x 1 2 x1 , ∴ y ? 1 x ? y1 . 4 2
∴ y0 ?

∵点 P( x0 , y0 ) 在切线 l1 上,

x1 x0 ? y1 . 2



同理, y 0 ?

x2 x0 ? y 2 . ② 2
x x0 ? y . 2

综合①、②得,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 的坐标都满足方程 y 0 ? ∵经过 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y 0 ?

x x0 ? y ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ; 2

(3)由抛物线的定义可知 AF ? y1 ?1, BF ? y2 ?1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ?1?? y2 ?1? ? y1 ? y2 ? y1 y2 ? 1

? x2 ? 4 y 2 联立 ? ,消去 x 得 y 2 ? ? 2 y0 ? x0 ? y ? y0 2 ? 0 , ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0
2 2 ? y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0

? x0 ? y0 ? 2 ? 0
2 2 2 ? AF ? BF ? y0 ? 2 y0 ? x0 ? 1=y0 ? 2 y0 ? ? y0 ? 2 ? ? 1 2

1? 9 ? =2 y ? 2 y0 +5=2 ? y0 ? ? + 2? 2 ?
2 0

2

1 9 ? 当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值为 2 2
21. 解: f
'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x? ? 3x2 ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0
k -k
k 3

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
' 2 (2) k ? 0 时,f ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1, 当 其开口向上, 对称轴 x ?

k , 3

1? 且过 ? 0,
(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

x?

?

??k? 3 ?? 0 ,即 ?
7

' 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调

k

递增,

从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3 3

(ii)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3
2

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即 k ? ?

' 2 3 时,令 f ? x ? ? 3x ? 2kx ?1 ? 0

解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3
1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结合图像判断) , x1 ? x2 ? 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ?

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ?? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0 故

f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k 3 ? k ? 0
所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k

8


推荐相关:

2013年高考真题——文科数学(广东卷A)含答案

2013年高考真题——文科数学(广东卷A)含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区...2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科 A 卷)解析本试卷共 ...


2013年高考广东卷(文)数学试题及答案

2013年高考广东卷(文)数学试题及答案 - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分...


2013年广东高考文科数学试题与答案解析

2013年广东高考文科数学试题答案解析_高考_高中教育_教育专区。想突破广东高考...2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科 A 卷)解析从今以后,...


2013年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)

2013年高考广东理科数学试题及答案(word解析版)_高考_高中教育_教育专区。2013年...() 3 5 (A) (B)2 (C) (D)3 2 2 【答案】A 3 3 1 15 3 【...


2015年广东高考数学(文科)A卷 解析版

2015年广东高考数学(文科)A卷 解析版 - qindi94@126.com 绝密★启用前 试卷类型:A 2015 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 一、选择题(...


2013年广东高考文科数学试题及答案修订版

2013年广东高考文科数学试题及答案修订版 - 绝密★启用前 试卷类型:A 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分...


2013年高考数学文(广东A卷)WORD解析版

2013年高考数学文(广东A卷)WORD解析版 - 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科 A 卷)解析 从今以后,不再是大学特学综合科,而是大学特学...


2013广东高考文科数学试题及答案(完美版)

2013广东高考文科数学试题及答案(完美版) - 2013 广东高考文科数学试卷及答案 一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的...


2013年高考文科数学广东卷试题与答案word解析版

2013年高考文科数学广东卷试题答案word解析版 - 2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,...


2013年高考真题——文科数学(广东卷)解析版 Word版含答...

2013年高考真题——文科数学(广东卷)解析版 Word版含答案 - 2013年高考真题,附详细解析,为你讲述高考背后的故事,带你领略高考的考点热点,助你升学一臂之力!

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com