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数学必修5第一章《解三角形》1.1 正弦定理与余弦定理(习题课)


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数学必修 5 第一章《解三角形》 1.1 正弦定理与余弦定理(习题课)
一、课前练习: 1、在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( A. 30 或60
0 0


0

B. 45 或60

0

0

C. 120 或60

0

D. 30 或150

0

0

2、在△ABC 中,若 sin A ∶ sin B ∶ sin C ? 7 ∶ 8 ∶ 13 ,则角 C ? ___________。 3、三角形△ABC 中 AB=14,角 C ? 60 ,AC:BC=8:5,求△ABC 的面积 S。
?

二、课堂练习:

a?b?c 1、在 ?ABC 中,若 A ? 60 , a ? 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C 等于(
?



A、 2;

1 B、 2 ;

C、 3 ;

3 D、 2 。

2、在 ?OAB 中, O 为坐标原点, A(1, cos? ), B(sin ? ,1),? ? (0, 大值时, ? ? 。

?
2

] ,则当 ?OAB 的面积达最

3、在 ?ABC 中, A : B ? 1: 2 , C 的平分线 CD 把三角形面积分成 3: 2 两部分,求 cosA。

4、在△ABC 中, b ? c ? bc ? a ,且
2 2 2

c 1 ? ? 3 ,求角 A 和 tanB 的值。 b 2

三、课后练习:

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) D、 150
?

1、在 ?ABC 中, (a ? c)( a ? c) ? b(b ? c) ,则 A=( A、 30 ;
?

B、 60 ;

?

C、 120 ;

?

2、在△ABC 中,角 A, B 均为锐角,且 cos A ? sin B, 则△ABC 的形状为(



A、钝角三角形; B、锐角三角形; C、直角三角形; D、无法确定其形状。 3、在 ?ABC 中,∠A=60°, a= 6 , b=2, 那么满足条件的 ?ABC 共有 个。 。

S ? 16 3 4、在 ?ABC 中, b ? 8 , c ? 8 3 , ?ABC ,则 a=
5、在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 cos A ? (1)求 sin
2

B?C ? cos 2 A 的值; (2)若 a ? 3 ,求 bc 的最大值。 2

1 。 3

6、在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3abc , sin A sin B ?

3 ,试判断三角形的形状. 4

7、已知 ?ABC 的周长为 6, BC , CA , AB 成等比数列,求 (1) ?ABC 的面积 S 的最大值; (2) BA ? BC 的取值范围.
?? ? ???

??? ??? ???

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参考答案

1.1 正弦定理与余弦定理(习题课)
一、课前练习: 1、D; 2、1200; 3、设 AC ? 8x, BC ? 5x ,? AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cosC
2 2 2

?196 ? 64 x 2 ? 25 x 2 ? 40 x 2 ? 49 x 2 ? x ? 2 ? AC ? 16, BC ? 10

? S? ?

1 AC ? BC ? sin C ? 40 3 。 2

二、课堂练习: 1、A; 2、450;

3、? S ?ADC : S ?BDC ? 3 : 2,? AD : BD ? 3 : 2 ,于是设 AD ? 3x, BD ? 2 x
AD CD BD CD ? , ? sin ?ACD sin A sin ?BCD sin B 3x CD 2x CD ? ? , ? ? 3 sin A ? 2 sin 2 A ? 4 sin A cos A sin ?ACD sin A sin ?ACD sin 2 A 3 所以, cos A ? 。 4
在△ADC 与△BDC 中,由正弦定理得, 4、? b ? c ? bc ? a ,? cos A ?
2 2 2

b2 ? c2 ? a2 1 ? ? A ? 60 ? 2bc 2

又由 b 2 ? c 2 ? bc ? a 2 得,

a2 c2 c a 15 c 1 ? 1 ? ? ,? ? ? 3 ,? ? 2 2 b 2 b b 2 b b



sin A 15 5 2 5 ? ? sin B ? ? cos B ? ? sin B 2 5 5 a 15 2 5 sin B 1 ? ? 1,? a ? b ? b ? (0,90 ? ) ? c o s B? ,所以 tan B ? ? 。 b 2 5 cos B 2
3、1; 4、8;

?

三、课后练习: 1、C; 2、B; 5、(Ⅰ) sin
2

B?C 1 ? cos 2 A = [1 ? cos(B ? C )] ? (2 cos2 A ? 1) 2 2 1 2 = (1 ? cos A) ? (2 cos A ? 1) 2 1 1 2 1 = (1 ? ) ? ( ? 1) = ? 2 3 9 9


(Ⅱ) ∵

b2 ? c2 ? a2 1 ? cos A ? , 2bc 3

2 bc ? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc ? a 2 , 3

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又∵ a ? 3 , ∴ bc ? 故 bc 的最大值是

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9 9 3 , 当且仅当 b ? c ? 时, bc = 2 4 4

9 . 4
2 2 2 2 2

6、由(a+b+c)(a+b-c)=3ab ? (a ? b) ? c ? 3ab ? a ? b ? c ? ab, ∴ cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2

∵0°<C<180°,∴C=60°,A+C=120°,

∴cos(A+B)=- ∴cosAcosB=

1 1 3 ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? , ∴sinAsinB= ①, 2 2 4

1 ②, ①+②得 cos(A-B)=1,? ?? ? A ? B ? ? , ∴A-B=0, 4

∴A=C=B=60°,故△ABC 为正三角形.

2 7、设 BC , CA , AB 依次为 a, b, c ,则 a ? b ? c ? 6, b ? ac ,由余弦定理得
??? ? ??? ? ??? ?

a2 ?c2 ?b2 a2 ?c2 ?ac 2ac ?ac 1 cos B? ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
故有 0? B?

?
3

,又 b ? ac ?

a ? c 6 ?b ? , 从而 0?b?2 2 2

(1)所以 S ? ac sin B? b sin B? ?2 ?sin ? 3 ,即 Smax ? 3

1 2

1 2 2

1 2 2

?

3

2 2 ??? ? ???? a 2 ? c 2 ?b2 ? ( a ? c ) ? 2 ac ?b (2)所以 BA? BC ? ac cos B ? 2 2

?

(6?b)2 ?3b2 ??(b?3)2 ? 27 2

?0 ? b ? 2

? 2 ? BA ? BC ? 18

???? ? ???? ?

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