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2.3.3平面向量的坐标运算


2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示 复习引入 平面向量基本定理 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 , 使 a ? ?1e1 ? ?2e2 对于确定的一组基底,平面内的任一向量会和 一对实数对应 平面向量的坐标表示 如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向 同向的两个单位向量 i、 j 作基底. 平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数x,y,使 a ? xi ? y j 成立 则称(x,y)是向量 记作: a ? ( x, y ) 的坐标 a a y a a j O i x 平面向量的坐标表示 注意: (1)与 a 相等的向量的坐标均为(x, y) (2) i ? i ? 0 j ? (1, 0) 0 ? (0, 0) j ? 0i ? j ? (0,1) y j O 1 2 a A(x, y) a (3)两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) 相等的充要条件:a ? b ? x ? x i x 且y1 ? y2 (4)如图以原点O为起点作 OA ? a ,点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 (5)区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同 (6) a ? x 2 ? y 2 上节回顾 请回顾本堂课的教学过程,你能说说你学了哪些知识吗? 1.平面向量坐标的加.减运算法则 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 2.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则 a ?b a?b =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) =( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2) ? a ? ?( x, y) ? (? x, ? y) AB=(x2 - x1 , y2 – y1 ) 3.平面向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2) 则 新课 1. ? ? 向量 a 与非零向量 b 平行(共线) 的等价条件是有且 ? ? 只有一个实数 ? , 使得a ? ?b 设 即 2. 如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 会得到什么样的重要结论? ? ? ? ? a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 ? ? x2 , y2 中,至少有一个不为0 ,则由 a ? ?b 得 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 这就是说: x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? ? ? ? a // b (b ? 0) 的等价条件是 平面向量共线的坐标表示 a=(x1 ,y1), 3、 , b=(x2 ,y2) 其中a ≠ 0 → → ∥ b a∥ → → → → → ? 有且只有一个实数λ,使得 b=λ a → 即:(x2 , y2) =λ(x1 , y1) =(λx1 , λy1) 所以 ? x2=λx1 y2=λy1 消去λ得: x1y2- x2 y1=0 a∥ b (a ? 0) → → → b=(x2 ,y2) 其中 a=(x1 ,y1), → x1y2- x2 y1=0 向量共线的充要条件的两种表示形式: (1) ? (2) → a ∥ b(a ? 0) a ∥ b(a ? 0) 有且只有一个实数λ,

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