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商丘市2013—2014学年度第一学期期末考试参考答案高二(文科)数学答案

商丘市 2013—2014 学年度第一学期期末考试参考答案

高二数学(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) DDCB BAAB ACBB

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13)5 (14) a ? ?3 三、解答题: (15) [

?
3

,? )

(16)

3 2 x ? 3 y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0) 2

?m ? 0 ? (17)解:若 p 真,则 ?m ? 2 ? 0 ,得 m ? 2 ; ?m ? m ? 2 ?

……………………………2 分

若 q 真,则 (m ? 1)( m ? 3) ? 0 ,得 1 ? m ? 3 ;……………………………4 分 由题意知, p 、 q 一真一假. 若 p 真 q 假,则 ?

?m ? 2 ,得 m ? 3 ; ……………………………6 分 ?m ? 1或m ? 3

若 p 假 q 真,则 ?

?m ? 2 ,得 1 ? m ? 2 ,……………………………8 分 ?1 ? m ? 3

综上, m ? ?1, 2? ? ?3, ?? ? .…………………………………………………10 分 (18)解:(Ⅰ)由 2 cos

A ? cos A ? 0 ,得 1 ? cos A ? cos A ? 0, 2 1 2? 即 cos A ? ? ,? 0 ? A ? ? ,? A ? . …………………………6 分 2 3 2? 2 2 2 (Ⅱ)由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A , A ? , 3
2

则 a ? (b ? c) ? bc ,又 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,
2 2

有 12 ? 4 ? bc ,则 bc ? 4 ,
2

……………………………10 分 ……………………………12 分

故 S?ABC ?

1 bc sin A ? 3 . 2

(19 解:(Ⅰ)由已知数列 {a n } 是等比数列,且 an ? 0 , a1 ? 2, a3 ? 8 , 设其公比为 q ? 0 ,有 q ?
2

a3 ? 4 , q ? 2 ;…………………………2 分 a1
……………………………4 分
第 1 页 共 3 页

2 得 an ? 2?

n ?1

? 2n ;

高二数学(文科)答案

又因为 bn ? 2log 2 an ? 1 , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

所以 bn ? 2n ? 1 .

……………………6 分

1 1 , ? bn ? bn ?1 (2n ? 1)(2n ? 1)

Sn ?

1 1 1 ? ??? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
………………………12 分

1 ?1 1 1 1 1 1 ? n . ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? 2 ?1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1
(20)解: (Ⅰ)由已知 xy ? 3000 ,∴ y ?

3000 ,其定义域是 (6,500) .……………2 分 x S ? ( x ? 4)a ? ( x ? 6)a ? (2x ? 10)a ,

y 1500 ?3 ? ? 3, 2 x 1500 15000 ∴ S ? (2 x ? 10)a ? (2 x ? 10) ? ( ? 3) ? 3030 ? ( ? 6 x) , x x
∵ 2a ? 6 ? y ,∴ a ? (其定义域为 (6,500) ) . ……………………………6 分

(Ⅱ)∵

15000 15000 ? 6x ? 2 ? 6 x ? 600 , x x

……………………………8 分

∴ S ? 3030 ? 600 ? 2430 , 当且仅当

15000 ? 6 x ,即 x ? 50 ? (6,500) 时,上述不等式等号成立,………10 分 x

此时, x ? 50, y ? 60, Smax ? 2430 . 答:设计 x ? 50m, y ? 60m 时,运动场地面积最大, 最大值为 2430 平方米.
2

……………………………12 分

(21)解: (Ⅰ)依题意,可设抛物线 C 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) , 其准线 l 的方程为 y ? ?
2 2

p . 2

………………………… 2 分

∵准线 l 与圆 x ? y ? 1相切, ∴所以圆心 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ? 0 ? (? 故抛物线 C 的方程为: x ? 4 y .
2

p ) ? 1 ,解得 p ? 2 . 2

……… 4 分

………………………… 5 分

? x12 ? 4 y1 , (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ? 2 …………① ? x2 ? 4 y 2 .

…………………… 6 分

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第 2 页 共 3 页

∵ F (0,1) , FB ? ( x2 , y2 ? 1) , OA ? ( x1 , y1 ) , FB ? 2OA , ∴ ( x2 , y2 ? 1) ? 2( x1 , y1 ) ? (2 x1 , 2 y1 ) , 即 ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? x2 ? 2 x1 , ? y2 ? 2 y1 ? 1.
2

…………②

………………… 9 分

②代入①,得 4 x1 ? 8 y1 ? 4 , x1 ? 2 y1 ? 1 ,
2

又 x1 ? 4 y1 ,所以 4 y1 ? 2 y1 ? 1 ,解得 y1 ?
2

1 , x1 ? ? 2 , 2
………………………… 12 分 …………………………1 分 ……………3 分

即 A( 2, ) 或 (? 2, ) . (22)解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? ?2e 时, f ?( x) ? 2 x ?

1 2

1 2

2e 2( x ? e )( x ? e ) ? , x x

当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下:

x
f ?( x) f ( x)

(0, e )


e
0 极小值

( e , ??)
+

?

?

……………………………………………………5 分 ∴ f ( x) 的单调递减区间是 (0, e ) ,单调递增区间是 ( e , ??) .……………6 分 (Ⅱ)由 g ( x) ? x ? a ln x ? 2 x ,得 g ?( x) ? 2 x ?
2 2

a ?2, x

………………7 分

又函数 g ( x) ? x ? a ln x ? 2 x 为 [1, 4] 上的单调减函数,则 g ?( x) ? 0 在 [1, 4] 上恒成立,所以不等式 2 x ? 即 a ? 2 x ? 2 x 在 [1, 4] 上恒成立 .
2
2

a ? 2 ? 0 在 [1, 4] 上恒成立, x

………9 分

……………………………10 分

设 ? ( x) ? 2 x ? 2 x ,显然 ? ( x) 在 [1, 4] 上为减函数, 所以 ? ( x) 的最小值为 ? (4) ? ?24 , ∴ a 的取值范围是 a ? ?24 . ………………………………11 分 ………………………………………12 分

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