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【步步高】2014-2015学年高中数学 第一章 解三角形章末导学案 新人教A版必修5

【步步高】 2014-2015 学年高中数学 第一章 解三角形章末复习 课新人教 A 版必修 5 课时目标 1.掌握正弦定理、余弦定理的内容,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际 问题. 一、选择题 1.在△ABC 中,A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B 等于( ) A.45°或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 答案 C sin A 2 解析 sin B=b· = ,且 b<a,∴B=45°. a 2 2.在△ABC 中,已知 cos Acos B>sin Asin B,则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 C 解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A+B)>0, ∴A+B<90°,∴C>90°,C 为钝角. 3.已知△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=k∶(k+1)∶2k,则 k 的取值范围是( A.(2,+∞) B.(-∞,0) ? 1 ? ?1 ? C.?- ,0? D.? ,+∞? 2 2 ? ? ? ? 答案 D 解析 由正弦定理得:a=mk,b=m(k+1), c=2mk(m>0), ? ? k+ mk ?a+b>c ?m 1 ∵? 即? ,∴k> . 2 ?a+c>b ?3mk>m k+ ? ? ) 1 4.如图所示,D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角 分别是 β 、α (β <α ).则 A 点离地面的高 AB 等于( ) A. asin α sin β α -β asin α cos β C. α -β 答案 A 解析 设 AB=h,则 AD= , sin α B. asin α sin β α -β acos α cos β D. α -β h 在△ACD 中,∵∠CAD=α -β ,∴ ∴ CD a α -β α -β sin β h asin α sin β = ,∴h= . sin α sin β α -β = AD . 5.在△ABC 中,A=60°,AC=16,面积为 220 3,那么 BC 的长度为( ) A.25 B.51 C.49 3 D.49 答案 D 1 1 3 解析 S△ABC= AC·AB·sin 60°= ×16×AB× =220 3,∴AB=55. 2 2 2 1 2 2 2 2 2 ∴BC =AB +AC -2AB·ACcos 60°=55 +16 -2×16×55× =2 401. 2 ∴BC=49. 2 2 6.(2010·天津)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c.若 a -b = 3bc, sin C=2 3sin B,则 A 等于( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 A 解析 由 sin C=2 3sin B,根据正弦定理,得 c=2 3b,把它代入 a2-b2= 3bc 得 a2-b2=6b2,即 a2=7b2. b2+c2-a2 b2+12b2-7b2 由余弦定理,得 cos A= = 2bc 2b·2 3b 4 3b 又∵0°<A<180°,∴A=30°. 二、填空题 2 7.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x -7x-6=0 的根,则 2 此三角形的面积是________cm . 答案 6 3 2 解析 由 5x -7x-6=0,解得 x1=- ,x2=2. 5 3 ∵x2=2>1,不合题意.∴设夹角为 θ ,则 cos θ =- , 5 4 1 4 2 得 sin θ = ,∴S= ×3×5× =6 (cm ). 5 2 5 = 6b 2 2 = 3 . 2 2 8.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 =____________. sin A 答案 解析 2 39 3 1 1 3 由 S= bcsin A= ×1×c× = 3,∴c=4. 2 2 2 2 2 2 2 a ∴a= b +c -2bccos A= 1 +4 -2×1×4cos 60° = 13. a 13 2 39 ∴ = = . sin A sin 60° 3 9.在△ABC 中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则 x 的取值范围是 ______________. 答案 2<x<2 2 解析 因为三角形有两解,所以 asin B<b<a, 2 即 x<2<x,∴2<x<2 2. 2 10.一艘船以 20 km/h 的速度向正北航行,船在 A 处看见灯塔 B 在船的东北方向,1 h 后船在 C 处看见灯塔 B 在船的北偏东 75°的方向上,这时船与灯塔的距离 BC 等于 ________km. 答案 20 2 解析 ∴BC= 如图所示, = sin 45° sin 30° BC AC 20 2 ×sin 45°= × sin 30° 1 2 2 AC =20 2 (km). 三、解答题 11.在△ABC 中,已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 sin A=2sin Bcos C,试确定△ ABC 的形状. 解 由(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 2 2 2 得 b +2bc+c -a =3bc, b2+c2-a2 bc 1 2 2 2 即 a =b +c -bc,∴cos A= = = , 2bc 2bc 2 π ∴A= . 3 a2+b2-c2 a2+b2-c2 又 sin A=2sin Bcos C.∴a=2b· = , 2ab a 2 2 ∴b =c ,b=c,∴△ABC 为等边三角形. 12.在△ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. (1)求最大角的余弦值; (2)求以此最大角为内角,夹此角的两边之和为 4 的平行四边

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