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浙江省金华市2013-2014学年高一下学期期末考试 数学 (含解析)


浙江省金华市 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试卷(带 解析)
1.集合 A={0,1,2,3,4},B={x|x<2},则 A∩B=( ). A、 ? 【答案】B 【解析】 B、{0,1} C、{0,1,2} D、{x|x<2}

试题分析:因为集合 A={0,1,2,3,4},B={x|x<2},所以 A ? B ? ?0,1?;故选 B. 考点:集合间的运算. 2.函数 f ( x) ? log3 (2 ? x) 的定义域是( ). A.[2,+∞) C. (﹣∞,2] 【答案】D 【解析】 B. (2,+∞) D. (﹣∞,2)

试题分析: 要使 f ( x) ? log3 (2 ? x) 有意义, 则2? x ? 0, 即x ? 2, 所以定义域为 ?? ?,2? . 考点:函数的定义域. 3.已知平面向量 =(1,2) , =(﹣2,﹣4) ,则 2 +3 =( A. (﹣4,﹣8) C. (﹣3,﹣6) 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 B. (﹣5,﹣10) D. (﹣2,﹣4) ).

= ( 1 , 2 ),

= ( ﹣ 2 , ﹣ 4 ),

?2a ? 3b ? 2(1,2) ? 3(?2,?4) ? (2,4) ? (?6,?12) ? (?4,?8) .
考点:平面向量的坐标运算. 4.直线 x+y﹣1=0 的倾斜角为( ). A. 【答案】B 【解析】 试题分析: x ? y ? 1 ? 0 可化为 y ? ? x ? 1 ,即直线的斜率 k ? ?1 ,所以倾斜角为 考点:直线的倾斜角. 5.下列函数中,图象如图的函数可能是( ). B. C. D.

3? . 4

1

A.y=x 【答案】C 【解析】

3

B.y=2

x

C.y=

D.y=log2x

试题分析:由图像可知,函数的定义域为 ?0,??? ,且过点 (1,1) ;而选项 A: y ? x3 的定义域 为 R ,选项 B: y ? 2 x 的定义域为 R ,选项 C: y ? 项 D: y ? log2 x 的定义域为 ?0,??? ;故选 C. 考点:函数的图像. 6.设 x、y 满足约束条件 ,则 z=2x﹣y 的最大值为( ).

x 的定义域为 ?0,??? ,且过点 (1,1) ,选

A.0 【答案】D 【解析】

B.2

C.3

D.

试题分析:作出可行域和目标函数基准线 y ? 2 x (如图) ,将 z ? 2 x ? y 化为 y ? 2 x ? z ; 当直线 y ? 2 x ? z 向右下方平移时,直线在 y 轴上的截距 ? z 减小,即 z 增大;当直线过点 B 时, z 取到最大值;联立 ?

?y ? x 1 1 1 1 1 ,得 B ( , ) ,此时 z max ? 2 ? ? ? . 2 2 2 2 2 ?x ? y ? 1

考点:简单的线性规划. 7.在等差数列{an}中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a1+a9 的值等于( ) A.45 B.75 C.180 D.300

2

【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : ? a3 ? a7 ? a4 ? a6 ? 2a5且a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 450 , 5a5 ? 450 , 即

a5 ? 90 ;
则 a1 ? a9 ? 2a5 ? 180. 考点:等差数列. 8.若 a, b, c ? R ,且 a>b,则下列不等式一定成立的是( ). A.a+c≥b﹣c C. >0 B.ac>bc D. (a﹣b)c ≥0
2

【答案】D 【解析】 试题分析:选项 A:当 a ? 1, b ? ?1, c ? ?5 时, a ? c ? ?4 ? b ? c ? 4 ,故 A 错误; 选项 B:当 a ? 1, b ? ?1, c ? ?5 时, ac ? ?5 ? bc ? 5 ,故 B 错误; 选项 C:当 a ? 1, b ? ?1, c ? 0 时,

c2 ? 0 ,故 C 错误; a ?b
2 2

选项 D:? a ? b, c ? R ,? a ? b ? 0, c ? 0 ,则 (a ? b)c ? 0 成立;故选 D. 考点:不等式的性质. 9.要得到函数 y=2sin2x 的图象,只需将函数 y=2sin(2x﹣ A.向左平移 C.向左平移 【答案】A 【解析】 试题分析:? y ? 2 sin( 2 x ? 将函数 y=2sin(2x﹣ 个单位 个单位 B.向右平移 D.向右平移 个单位 个单位 )的图象( ).

) ? 2 sin[ 2( x ? )] ,? 要得到函数 y=2sin2x 的图象,只需 4 8 ? )的图象向左平移 个单位. 8

?

?

考点:三角函数的图像变换. 10.已知 x,y 均为正数且 x+2y=xy,则( ). A.xy+ 有最小值 4 B.xy+ 有最小值 3

3

C.x+2y+ 【答案】C 【解析】

有最小值 11

D.xy﹣7+

有最小值 11

试题分析:由 x ? 2 y ? xy ,得 y ? 则 xy ?

x ,由 x ? 0, y ? 0 得 x ? 2 , x?2

x2 4 4 4 ,即 ? ( x ? 2) ? ? 4 ? 2 ( x ? 2) ? ? 4 ? 8 (当且仅当 x ? 2 ? x?2 x?2 x?2 x?2
4 4 ? t ? 在 ?8,??? 上为增函数, x ? 2y t

x ? 4 时取等号) , ? xy ? 8 ;令 t ? xy ,则 xy ?
4 4 17 ? (t ? ) min ? 8 ? ? ,排除 A,B; t 8 2
而选项 D: xy ? 7 ? 选

4 4 4 17 3 ? xy ? ? 7 ? t ? ? 7 ? ? 7 ? ; x ? 2y xy t 2 2
项 C :

x ? 2y ?

4 4 4 4 ? xy ? ? ( xy ? 7) ? ? 7 ? 2 ( xy ? 7) ? ? 7 ? 11(当且 xy ? 7 xy ? 7 xy ? 7 xy ? 7

4 ? ?x ? 6 ?x ? 3 ? ? xy ? 7 ? xy ? 7 ,即 ? 仅当 ? 或? 3 时取等号;故选 C. ?y ? 3 ?y ? ? x ? 2 y ? xy 2 ? ?
考点:基本不等式.

11.log212﹣log23= 【答案】2. 【解析】



试题分析: log2 12 ? log2 3 ? log2 4 ? 2 log2 2 ? 2 . 考点:对数的运算法则. 12.若直线 mx+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,则 m= 【答案】 ? 6 . 【解析】 试题分析:因为直线 mx+2y+2=0 与直线 3x﹣y﹣2=0 平行,所以 ? 考点:两直线平行的判定. 13.若向量 、 的夹角为 , = =1,则 = . .

?? m ? 6 ? 0 ,得 m ? ?6 . ?? 2m ? 6 ? 0

4

【答案】 【解析】

1 . 2
, = =1 所以 a ? (a ? b) ? a ? a ? b ? a ? a b cos?
2 2

试题分析: 因为向量 、 的夹角为

1 ? 1? 1?

1 1 ? . 2 2

考点:平面向量的数量积. 14.已知 cosα =﹣ , ? ? (

?
2

, ? ) ,则 sin(α ﹣

)=



【答案】 【解析】 试 题

3? 4 3 . 10







4 ?? ? ?c ? o ?s ? ,? ? ? , ? ? 5 ?2 ?



sin ? ? 1 ?

16 3 ? 25 5





? 1 3 s i ?? n )(? s ? i ?n c ? o 3 2 2
1 3 3 4 3? 4 3 . ? ? ? ? (? ) ? 2 5 2 5 10
考点:两角和的正弦公式. 15. f ( x) ? ? 【答案】 【解析】 试 题 分 析 : 因 为

s

?log2 x( x ? 0) ?3 ( x ? 0)
x

,则 f ? f ( )? ? _________ . 2

? ?

1 ? ?

1 . 3

?log2 x( x ? 0) 1 1 , 所 以 f ( ) ? l o2 g ? ?1 ; 则 f ( x) ? ? x 2 2 ?3 ( x ? 0)

1 ? 1 ? f ? f ( )? ? f (?1) ? 3?1 ? . 3 ? 2 ?
考点:分段函数. 16.函数 f ( x) ?

1 3 ? ? ?? cos2 x ? sin x cos x 在 ?? , ? 的取值范围是 2 2 ? 6 3?



【答案】 ?0, ? . 4 【解析】

? 3? ? ?

5











f ( x) ?
??

1 3 1 cos2 x 3 sin 2 x 1 ? 1 cos2 x ? sin x cos x ? ? ? ? sin(2 x ? ) ? , 2 2 4 4 4 2 6 4

?
6

?x?

?
3

,? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 1 ? 3 ,? ? ? sin( 2 x ? ) ? 1 ,则 0 ? f ( x ) ? . 6 2 6 4

考点:三角函数的值域.

?2.1? ? 2 ; ?? 2.2? ? ?3 , 17. 对于任意实数 x, 符号 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数, 例如 ?2? ? 2 ,
那么 ?log3 1? ? ?log3 2? ? ?log3 3? ? ? ? ? ? ?log3 243 ?的值为 【答案】857. 【解析】 试题分析:由题意可设 ?log3 a? ? b ,则 log3 a ? b ? x, a ? N * , b ? Z , a ? 3
b? x



,0 ? x ? 1 ;

? y ? 3x 为 增 函 数 , 当 a ? ?1,2? 时 , ?30 ? 1,31 ? 3 , 则 0 ? b ? x ? 1 , ? b ? 0 时 ,

?l o g 3 1? ? ?l o g 3 2? ? 0

; 当 a ? ?3,8? 时 , 同 理 1 ? b ? x ? 2 , b ? 1 时 ,

?l

? ? ?l o3 4g ? ? ? ? ? ? ?l o3 8g ? ? 1; o3 3g

b ? 2 时, ?log3 9? ? ?log3 10? ? ? ? ? ? ?log3 26? ? 2 ; b ? 3 时, ?log3 27? ? ?log3 28? ? ? ? ? ? ?log3 80? ? 3 ; b ? 4 时, ?log3 81? ? ?log3 82? ? ? ? ? ? ?log3 242? ? 4 ; b ? 5 时, ?log3 243? ? 5 ;

??log3 1? ? ?log3 2? ? ?log3 3? ? ? ? ? ? ?log3 243? ? 1? 6 ? 2 ?18 ? 3? 54 ? 4 ?162? 5 ? 857
考点:对数的性质、归纳推理. 18.已知全集 U=R,A={x|﹣3<x≤6, x ? R },B={x|x ﹣5x﹣6<0, x ? R }.求: (1)A∪B;
2

(2) (CU B) ? A . 【答案】 (1) ?x | ?3 ? x ? 6?; (2) ?x | ?3 ? x ? ?1?. 【解析】 试题分析: 解题思路:由题意,先解出一元二次不等式,化简集合 B,再求出集合 B 的补集,再由交、 并的运算法则解出即可. 规律总结:在处理集合间的运算问题时,往往先化简集合,再结合数轴求集合间的交、并、

6

补集. 试题解析: (1) 则 A ? B ? ?x | ?3 ? x ? 6?; B ? x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? R ? ?x | ?1 ? x ? 6?, (2) CI B ? x | x ? ?1, 或x ? 6 ,则 (CI B) ? A ? ?x | ?3 ? x ? ?1? . 考点:交、并、补集的运算. 19.已知等差数列{an}满足 a3=5,a5﹣2a2=3,又等比数列{bn}中,b1=3 且公比 q=3. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若 cn=an+bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

?

?

?

?

3n ?1 ? 3 【答案】 (1) an ? 2n ? 1, bn ? 3 ; (2) n ? . 2
n
2

【解析】 试题分析: 解题思路: (1)利用等差数列的通项公式及已知条件求出首项与公差,即得 ?an ? 的通项公 式,由等比数列的通项公式求 ?bn ?的通项公式; (2)由 cn ? (2n ? 1) ? 3n ,可利用分组求和 法求数列的前 n 项和 Sn . 规律总结:涉及等差数列或等比数列的通项问题,往往列出关于基本量的方程组,进而求出 基本量;数列求和的方法主要有:倒序相加法、分组求和、错位相减法、裂项抵消法. 试题解析: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则有题意得 ?

?a1 ? 2d ? 5 , ?(a1 ? 4d ) ? 2(a1 ? d ) ? 3

即?

?a1 ? 1 ,? an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1; ?d ? 2

??bn ? 是以 b1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列,?bn ? 3n ;
(2)由(1)得 cn ? (2n ? 1) ? 3n , 则 Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? ? (2n ?1) ? (3 ? 32 ? 33 ? ? ? ? ? 3n )

?

n(1 ? 2n ? 1) 3(1 ? 3n ) 3n?1 ? 3 ? ? n2 ? . 2 1? 3 2

考点:1.等差数列;2.等比数列;3.数列的求和. 20.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,cos (1)求 cosB 的值; (2)若 a+c=2 ,b=2 【答案】 (1) = .

,求△ABC 的面积.

1 ; (2) 2 2 . 3
7

【解析】 试题分析: 解题思路: (1) 将已知条件利用诱导公式进行化简, 再利用二倍角公式求出 cos B 的值即可; (2)利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形后,将 a ? c 的值代入求出 ac 的 值,再由 sin B 的值,利用三角形的面积公式求 ?ABC 的面积. 规律总结:解三角形,要注意已知条件的特点合理选择定理;因为正弦定理、余弦定理中涉 及的角是三角形的内角,所以要降次升角. 试题解析: (1) ? cos

1 A?C 3 ? ?B B 3 2 B ? ; , ,cos B ? 1 ? 2 sin ? ? cos ? sin ? 2 3 2 3 2 2 3 4 ac ,? a ? c ? 2 6 ,?ac ? 6 , 3

2 (2)由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 可得 ( a ? c ) ? 8 ?

则 S ?ABC ?

1 1 2 2 ac sin B ? ? 6 ? ?2 2 . 2 2 3

考点:1.正弦定理;2.余弦定理. 21.在△ABC 中,AB=4,AC=3,M,N 分别是 AB,AC 的中点. (1)用 , 表示 , ? ; 的值;

(2)若∠BAC=60°,求

(3)若 BN⊥CM,求 cos∠BAC.

【答案】 (1)BN ? AN ? AB ?

1 1 AC ? AB , CM ? AM ? AC ? AB ? AC ; (2) -5; (3) 2 2

5 . 6
【解析】 试题分析: 解题思路: (1)利用向量的三角形法则和共线定理即可解得; (2)利用平面向量的数量积定 义可得 AB ? AC ? AB AC cos ?BAC ,再利用数量积的性质求解即可; (3)由平面向量的 垂直关系推出数量积为 0,结合第(2)问的夹角公式求解. 规律总结: 对于以平面向量为载体考查三角函数问题, 要正确利用平面向量知识化为三角函 数关系式,再利用三角函数的有关公式进行变形. 试题解析: (1) BN ? AN ? AB ?

1 1 AC ? AB , CM ? AM ? AC ? AB ? AC ; 2 2

8

2 2 5 1 1 AC ? AB ? AB ? AC ? ?5 ; 4 2 2 2 2 5 1 1 (3)由(2)得 BN ? CM ? AC ? AB ? AB ? AC ? 0 ,? AB ? AC ? 10 , 4 2 2 5 得 cos ?BAC ? . 6

(2) BN ? CM ? ( AC ? AB ) ? ( AC ? AB ) ?

1 2

1 2

考点:平面向量的数量积运算. 2 22.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=n ﹣n. (1)求 an; (2)设数列{bn}满足 bn+1=2bn﹣an 且 b1=4, (i)证明:数列{bn﹣2n}是等比数列,并求{bn}的通项; 2 (ii)当 n≥2 时,比较 bn﹣1?bn+1 与 bn 的大小.
2 【答案】 (1)an ? 2n ? 2 ; (2) (i)bn ? 2n ? 2n , (ii) 当 n ? 2 或 n ? 3 时,bn?1 ? bn?1 ? bn , 2 当 n ? 4 时, bn?1 ? bn?1 ? bn .

【解析】 试题分析: 解题思路: (1)利用 an ? ?

?S n (n ? 1) 求解即可; (2) (i)由 bn?1 ? 2bn ? 2n ? 2 构造 S ? S ( n ? 2 ) n ?1 ? n

新数列 ?bn ? 2n?,并证明新数列为等比数列,进一步求 bn ; (ii)利用作差法判定两式的大 小. 规律总结:求数列的通项公式一般有三种类型:①利用等差数列、等比数列的基本量求通项 公式;②已知数列的首项与递推式,求通项公式;③利用 Sn 与 an 的关系求通项公式;比较 大小,往往使用作差法. 试 题 解 析 : ( 1 ) 当

n ?1



a1 ? S1 ? 0





n?2





an ? Sn ? Sn?1 ? (n2 ? n) ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n ? 2 ;
? n ? 1 满足上式, an ? 2n ? 2
(2) (i)由已知得 bn?1 ? 2bn ? 2n ? 2 ,即 bn?1 ? 2(n ? 1) ? 2(bn ? 2n) .且 b1 ? 2 ? 2 , 所以数列 ?bn ? 2n?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列 , 则 bn ? 2n ? 2n ,所以 bn ? 2n ? 2n ;
n ?1 n ?1 n (ii)当 n ? 2 时,? bn ?1 ? bn ?1 ? bn ? 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) ? 2 ? 2n 2

?

?

?

??

? ?

?

2

? 22n ? 2n (n ? 1) ? 2n ? 4(n ?1) ? 4(n2 ?1) ? (22n ? 4n ? 2n ? 4n2 )

9

? 2n (n ? 3) ? 4 ,
2 2 所以当 n ? 2 或 n ? 3 时, bn?1 ? bn?1 ? bn ,当 n ? 4 时, bn?1 ? bn?1 ? bn .

考点:1. a n 与 Sn 的关系;2.等比数列;3.不等式的证明.

10


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