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高一上学期期中考试数学试题 Word版及答案

高一第一学期期中考试数学试卷
第Ⅰ卷(选择题 60 分)

一、填空题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中, 仅有一个是正确选项) 1. 已知全集错误!未找到引用源。,集合错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 为 A. 错误!未找到引用源。 未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!

D.错误!未找到引用源。

2.已知集合 M ? ?? 1,0,1,2,3,4? , N ? ?? 1,2,3,5?, P ? M ? N ,则 P 的子集共有 A.8 个 B.6 个 C. 4 个 D.2 个

3.下列函数中,与函数 y ? x 表示同一函数的是 A. f ( x ) ?

x2
2

B. f ( x ) ?

5

x5
0.3

C. f ( x) ? ( x ) 2 之间的大小关系是 C. a ? b ? c

D. f ( x) ? x

4.三个数 a ? 0.3 , b ? log2 0.3 , c ? 2 A. a ? c ? b 5.已知函数 f ( x ) ? ? A. 4 或 ? 4 或 5 B. b ? c ? a

D. b ? a ? c

? x 2 ? 1, x ? 0 , 若 f ( x) ? 15 ,则 x ? ?3 x, x ? 0
B. 4 或 ? 4 C. ? 4 或 5 D. 4 或 5

6. 函数 y ? f ( x) 的定义域是 ?? 1,1? ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 A. ?0,1? B. ?? 1,1? C. ?? 3,1? D. ?? 1,0?

7.下列函数中,是偶函数且在区间 ?0,??? 单调递增的是 A. y ? ? x B. y ? log0.5 x C. y ? 2 x D. y ? 2 x 2

x 8. 方程 2 ? x ? 2 ? 0 的解所在的区间为

A. ?? 1,0?

B. ?0,1?

C. ?1,2?

D. ?2,3?

9. 幂函数 f ( x) 的图像过点 3, 3 9 ,则 f (8) ? A. 8 B. 6 C. 4 D. 2

?

?

1

10. 函数 f ( x) ? 1 ? log2 x 与 g ( x) ? 2 ? x ?1 在同一直角坐标系下的图象大致是

A

B

C

D

11.函数 f ( x) ? log3 (? x 2 ? 2x) 的单调递减区间为 A. (1,??) B. (1,2) C. (0,1) D. (??,1)

12.若不等式 x 2 ? loga x ? 0 对 x ? ? 0, ? 恒成立,则实数 a 的取值范围是

? ?

1? 2?

A. ?

?1 ? ,1? ?16 ?

B. ?0,1?

C. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

D. ?1,???

第Ⅱ卷 (非选择题
?1 ? ,x ? 0 13.已知 f ( x ) ? ? x ,则 f ( f (?1)) ? x ? ?2 , x ? 0

90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)



3x 的定义域为 x ?1 15. 已知 f ( x ) 是函数 g ( x ) ? log2 x 的反函数,则 f (2) ?
14. 函数 f ( x ) ?

x ?1 ?

. .

16.下列命题: ①函数 f ( x) ? loga (2 x ? 1) ? 1 的图象过定点 ?1,?1? ; ②定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 必满足 f (0) ? 0 ; ③ A ? R, B ? R , f : x ? y ?
x

1 ,则 f 为 A 到 B 的映射; x ?1
?x

④在同一坐标系中, y ? 2 与 y ? 2

的图象关于 y 轴对称.

其中真命题的序号是________(把你认为正确的命题的序号都填上).

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? x 0 ? x ? 1 ? 2 ,, B ? x log2 x ? 1 . (1)求 A ? B , A ? B ; (2)已知集合 C ? x 1 ? x ? a, a ? R ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18.(本小题满分 12 分) (1) (
log 1 2 8 3 ) ? (9.6) 0 ? (1.5) ?2 ? 2 2 27 2

(2) (log2 3 ? log8 3)(log9 2 ? log3 2)

19.(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 0 ? x ? 3 时, y ? x ;当 x ? 3 时,

1 y ? ? ( x ? 3) 2 ? 3 3
(1)在下面的直角坐标系中直接画出函数 f ( x) 的图像; (2)根据函数图像写出 f ( x) 的单调区间和值域.

o

3

20. (本小题满分 12 分) 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出,当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? log2 (3x ? 1) , f ( x) ? log2 ( x ? 1) , (1) 求不等式 g ( x) ? f ( x) 的解集; (2)在(1)的条件下求函数 y ? g ( x) ? f ( x) 的值域.
[Z-XK]

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ?

2 ?a ? R ?; 2 ?1
x

(1)求函数 f ( x) 的定义域; (2)判断函数 f ( x) 在区间 ?0,??? 的单调性,用定义给出证明; (3)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数,若存在求出 a ,不存在说明理由.

4

高一第一学期期中考试数学试题答案
一、1-5 CABDC 二、13. 2 6-10 ADBCC 15. 4 11-12BA 16.①②④ 14. ?x x ? ?1且x ? 1?

三、17 解:(1) A ? ?x 0 ? x ? 1 ? 2? ? ?x1 ? x ? 3?, ………………… 1 分
B ? ?x log2 x ? 1? ? ?x x ? 2?,

………………… 3 分

A ? B ? ?x 1 ? x ? 3? ? ?x x ? 2? ? ?x 2 ? x ? 3?…………………4 分 A ? B ? ?x 1 ? x ? 3? ? ?x x ? 2? ? ?x x ? 1?

………………… 5 分

(2)①当 a ? 1 时, C ? ? ,此时 C ? A ,所以符合题意 a ? 1 ;…… 7 分 ②当 a ? 1 时, C ? A ,则1 ? a ? 3 ; 综合①②,可得 a 的取值范围是 ?? ?,3?. ……………10 分

(如果学生没有讨论空集, 答案正确的情况, 下酌情扣分即可) 18.解:(1) 原式 ? (
? 1?
log 1 2 2 3 8 3 ) ? (9.6) 0 ? (1.5) ?2 ? 2 2 ? ( ) 2 ? 1 ? ( ) ? 2 ? 2 ?log2 2 3 2 27 2

1 1 ? 2 2

……………………6 分
1 3 1 2

(2) (log2 3 ? log8 3)(log9 2 ? log3 2) ? (log 2 3 ? log 2 3)( log 3 2 ? log 3 2)
? 4 3 log 2 3 ? log 3 2 ? 2 3 2

………………12 分

19.解(1)先作出当 x ? 0 时, f ( x) 的图象, 利用偶函数的图象关于 y 轴对称, 再作出当 x ? 0 时, f ( x) 的图象,如图所示
o

…………… 6 分 (2) 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,?3?, ?0,3? , 单调递减区间为 ?? 3,0? , ?3,??? ……………… 10 分

5

函数 f ( x) 的值域为 ?? ?,3?

…………… 12 分

20. 解 : ( 1 ) 当 每 辆 车 月 租 金 为 3600 元 时 , 未 租 出 的 车 辆 数 为
3600 ? 3000 ? 12 , 50
100 ? 12 ? 88 , 所以这时租出了 88 辆.

………………5 分

(2)设每辆车的月租金定为 x 元,公司月收益为 y 元,则
y ? (100 ? x ? 3000 x ? 3000 )( x ? 150 ) ? ? 50 50 50

整理得: y ? ?

x2 1 ? 162x ? 2100 ? ? ( x ? 4050 ) 2 ? 307050 ……9 分 50 50

当 x ? 4050 时, y 最大,最大值为 ymax ? 307050元 答:当每辆车的月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大为
307050元.…………12 分

21.解: (1)由 g ( x) ? f ( x) 得 log2 (3x ? 1) ? log2 ( x ? 1) 则有
? x ?1 ? 0 ? x ? ?1 ? ? 1 ? 3x ? 1 ? 0 ? ? x ? ? x ? 1 3 ?3x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?

∴不等式 g ( x) ? f ( x) 的解集为 ?x x ? 1?.

………………5 分

(如果学生忽视了定义域,答案正确的情况,酌情扣分即可) (2) y ? g ( x) ? f ( x) ? log2 (3x ? 1) ? log2 ( x ? 1) ? log2 (3x ? 1)(x ? 1)
? log2 (3x 2 ? 2x ? 1)

………………7 分

令 t ? 3x 2 ? 2 x ? 1 ,则 y ? log2 t 由(1)可得 ?x x ? 1?,函数 t ? 3x 2 ? 2 x ? 1 的对称轴为 x ? ? ? ?1,?? ?
1 3

所以 t ? 1 时, t min ? 4 ,即 t ? 4 又∵ y ? log2 t 在 t ? ?4,??? 上单调递增,∴当 x ? 1 时,y ? log2 4 ? 2

6

∴所求函数的值域为 ?2,??? . 22 解: (1)由 2 x ? 1 ? 0 解得 x ? 0 , 所以函数 f ( x) 的定义域为 ?x x ? 0?

…………………12 分

…………………2 分 ………………3 分

(2)函数 f ( x) 在区间 ?0,??? 的单调递减; 证明如下:任取 x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x2 ,则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

2 2 2(2 x2 ? 1) ? 2(2 x1 ? 1) ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

?

2(2 x2 ? 2 x1 ) , (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

? x1 , x2 ? (0,??) ,且 x1 ? x 2 ,? (2 x2 ? 1) ? 0, (2 x2 ? 1) ? 0 ,
2 x2 ? 2 x1 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

故函数 f ( x) 在区间 ?0,??? 的单调递减.

…………………7 分

(3)假设存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数, 由(1)可知函数 f ( x) 的定义域 ?x x ? 0?关于原点对称, 则对定义域内的任意 x 有 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f (? x) ? f ( x) ? 0
2 2 2 ? 2x 2 ? x ? 0, 所以 a ? ? x ? a ? x ? 0 ,得 2a ? x 2 ?1 2 ?1 1? 2 2 ?1

2a ?

2 ? (2 x ? 1) ? 0, 1? 2x

2a ? 2 ? 0 解得 a ? 1

所以存在实数 a ? 1 使函数 f ( x) 为奇函数. ………………12 分

7


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