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湖北省襄阳市第五中学学高二数学月月考试题理解析


襄阳五中高二年级三月月考 数学试题(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合 题目要求的。 2016 1、已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z(1―i)=1+i,则 z = A.1 B.―1 C .i D.―i 2、对满足 A? B 的非空集合 A、B,有下列四个命题: ①“若任取 x∈A,则 x∈B”是必然事件;②“若 x?A,则 x∈B”是不可能事件; ③“若任取 x∈B,则 x∈A”是随机事件;④“若 x?B,则 x?A”是必然事件. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C .3 D.4 3、要计算 1+

1 1 1 + +?+ 的结果,下面的程序框图中的横线上可以填 2 3 2016

A.n>2016? B.n≥2016? C.n<2016? D. n≤2016? 4、襄阳市教育局于 2014 年 2 月 24 日下发通知:全市中小学、幼儿园内禁止吸烟.美国癌症协会研究表 明, 开始吸烟年龄(X)分别为 16 岁、 18 岁、 20 岁和 22 岁, 其得肺癌的相对危险度(Y)依次为 15.10、 12.81、 9.72、3.21;每天吸烟(U)10 支、20 支、30 支者,其得肺癌的相对危险度(v)分别为 7.5、9.5 和 16.6.用 r1 表示变量 X 与 Y 之间的线性相关系数, 用 r2 表示变量 U 与 V 之间的线性相关系数, 则下列说法正确的是 A.r1<0< r2 B.0<r1<r2 C.r1>r2>0 D.rl=r2

S1 1 = ,推广到 S2 4 V 空间中可以得到类似结论:已知正四面体 P―ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则 1 = V2 1 1 1 1 A. B. C. D. 9 8 64 27 3 4 6、设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为 和 ,且各次射击相互独立,若按甲、乙、甲、乙 4 5
5、在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则 的次序轮流射击,直到有一人击中目标就停止射击,则停止射击时,甲射击了两次的概率是

19 400 1 2 7、已知| AB |=3,A、B 分别在 x 轴和 y 轴上运动,O 为原点, OP = OA + OB ,则动点 P 的轨迹方 3 3
A. B. C. D. 程是 A. x ?
2

9 20

9 25

3 80

y2 ?1 9

B.

x2 ? y2 ? 1 9

C. x ?
2

y2 ?1 4

D.

x2 ? y2 ? 1 4

8、方程 ( x ? ? y 2 ? 2 y ? 8 ) x ? y ? 0 表示的曲线为

1

A.一条线段与一段劣弧 C.一条射线与半圆 9、设 F1、F2 是椭圆 E:

B.一条射线与一段劣弧 D.一条直线和一个圆

x2 y 2 3a ? 2 =1( a > b >0)的左、右焦点,P 为直线 x ? 上一点,△F2PF1 是底 2 a b 2
3 4 2 3 1 2

角为 30? 的等腰三角形,则椭圆 E 的离心率为 A.

4 5

B.

C.

D.

1 ,则使得 f(x)>f(2x―1)成立的 x 的取值范围是 1? x2 1 1 1 A. (―∞,― )∪( ,+∞) B.(―∞, )∪(1,+∞) 3 3 3 1 1 1 C.(― , ) D.( ,1) 3 3 3
10、设函数 f(x)=ln(1+|x|)― 11、设椭圆

x2 y2 + =1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,点 P(a,b)满足|F1F2|=|PF2|,设直线 PF2 与椭 a2 b2

圆交于 M、N 两点,若|MN|=16,则椭圆的方程为 A.

x2 y2 + =1 144 108

B.

x2 y2 + =1 36 27
2

C.

x2 y 2 + =1 100 75

D.

x2 y2 + =1 16 12 f ( p ? 1) ? f (q ? 1) >1 p?q

12、已知 f(x)=aln(x+1)―x 在区间(0,1)内任取两个实数 p、q,且 p≠q,不等式

恒成立,则实数 a 的取值范围为 A.(―∞,15] B.[15,+∞) C.(―12,15] D.(12,30] 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在答题卡对应的位置上,答错位置, 书写不清,模棱两可均不得分。 13、曲线 y=2x―lnx 在点(1, 2)处的切线方程是 ;

14、由曲线 y= x ,直线 y=x―2 及 y 轴所围成的图形的面积为



15、已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,若 a=1,2cosC+c=2b, 则△ABC 的周长的取值范围是 ; 16、下列正确的是 ;

①已知命题 p:|5x―2|>3,命题 q:

1 >0,则?q 是?p 的必要不充分条件; x ? 4x ? 5
2

②在△ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 的充分不必要条件; ③在△ABC 中,tanAtanB>1 是△ABC 为锐角三角形的充要条件; ④在△ABC 中, AB ? BC >0 是△ABC 为钝角三角形的充要条件; ⑤在△ABC 中, AB ? AC = BA ? BC 是| AC |=| BC |的充要条件;

2

⑥两条直线互相平行是这两条直线斜率相等的充要条件;

3

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本题满分 12 分) x 已知 a∈R,设命题 p:函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)是 R 上的单调递减函数; 2 命题 q:函数 g(x)=lg(2ax +2ax+1)的定义域为 R.若“p?q”是真命题, “p?q”是假命题, 求实数 a 的取值范围.

18、 (本题满分 12 分) 2 2 已知圆 C:x +y =4 (Ⅰ)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 N,若向量 OQ = OM + ON , 求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

19、 (本题满分 12 分) 在 2 016 年 3 月份“湖北省重点中学八校联考”考试中对数学成绩数据统计显示,八校 10000 名学生 数学的成绩服从正态分布 N(120,25),襄阳五中高三随机抽取了 50 名学生的数学成绩分析,结果这 50 名同学的成绩全部介于 85 分到 145 分之间, 现将结果按如下方式分为 6 组, 第一组[85, 95) , 第二组[95, 105) ,?,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)试求出 a 的值; (Ⅱ)试估计襄阳五中学生数学的平均成绩; (Ⅲ)襄阳五中这 50 名学生中成绩在 125 分(含 125 分)以上的同学中任意抽取 3 人,该 3 人在八 校 10000 名学生前 13 名的人数记为 X,求 X 的分布列和期望. 2 附:若 X~N(??? ),则 P(?―3?<X<? +3?)=0.9974.

4

20、 (本题满分 12 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 3? ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 错误!未找到引用源。的离心率 e ? ,且过点 M ? 1, ? 2 2 a b ? 2?

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 到引用源。与直线 PA 、 PB 分别交于 M 、 N 两点,又 E ? 7,0? ,过 E 、 M 、 N 三点的圆是否过 x 错 误!未找到引用源。轴上不同于点 E 的定点?若经过,求出定点坐标;若不经过,请说明理由. (Ⅱ)椭圆 C 长轴两端点分别为 A 、 B ,点 P 为椭圆上异于 A 、 B 的动点,定直线 x ? 4 错误!未找

21、 (本题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? ln?2ax ? 1? ?

x3 ? x 2 ? 2ax?a ? R ? . 3

(I)若 x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,求实数 a 的值;
3

(II)若 y ? f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (III)当 a ? ?

1 ?1 ? x ? ? b 有实根,求实数 b 的最大值. 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 3 x

22、 (本题满分 10 分) 用分析法证明:.若△ABC 的三内角 A、B、C 成等差数列,求证:

1 1 3 + = 。 a?b b?c a?b?c

5

襄阳五中高二年级 3 月月考数学试题(理)参考答案 一、选择题(5?×12=60?) 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 号 答 A C D A B D C A B 案 二、填空题(5?×4=20?) 13、x―y+1=0;14、

10 D

1 1 C

12 B

16 ;15、(2,3];16、①③⑤; 3

三、解答题(12?+12?+12?+12?+12?+10?=70?) 17、解:若 p 为真,则 0 ? a ? 1 ,若 q 为真,则 a ? 0 或 ?

?a ? 0
2 ?? ? (2a) ? 4 ? 2a ? 0

? 0 ? a ? 2 ,????4

分 ∵ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,∴ p , q 一真一假, ???????????????????6 分 当 p 真 q 假时, ?

?0 ? a ? 1 ?a ? 0或a ? 1 ? a ? ? ,当 p 假 q 真时, ? ? 1 ? a ? 2或a ? 0 ,???10 ?a ? 0或a ? 2 ?0 ? a ? 2

分 综上所述:实数 a 的取值范围为 {a |1 ? a ? 2或a ? 0} 。 (注意:结果中没有 a=0 扣 2 分)??????12 分 18 、解: (Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x ? 1 , l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和

?1,? 3 ?, 其 距 离 为 2
kx ? y ? k ? 2 ? 0 .

3 , 满 足 题 意 .② 若 直 线 l 不 垂 直 于 x 轴 , 设 其 方 程 为 y ? 2 ? k ?x ? 1? , 即

?

?

2 设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 ? 2 4 ? d ,得 d ? 1 ∴ 1 ?

| ?k ? 2 | k 2 ?1

,k ?

3 ,故所求直线方程为 4

所求直线为 3x ? 4 y ? 5 ? 0 或 x ? 1 .(没有 x=1 扣 2 分)?????????? 3x ? 4 y ? 5 ? 0 .综上所述, 6分 (Ⅱ)设点 M 的坐标为 ?x0 , y0 ? , Q 点坐标为 ? x, y ? ,则 N 点坐标是 ?0, y0 ? .∵ OQ ? OM ? ON , ∴
2

??? ?

???? ? ????

? x, y ? ? ? x0 ,2 y0 ?



x0 ? x

,

y0 ?

y 2

.





2 2 x0 ? y0 ?4



y2 ? 4 .????????????8 分 ∴x ? 4
由已知,直线 m //x 轴,所以, y ? 0 ,∴ Q 点的轨迹方程是 10 分 轨迹是焦点坐标为 F 1 (0, ?2 3), F 2 (0,2 3) ,长轴为 8 的椭圆,并去掉 ( ?2, 0) 两点.????????? 12 分 19、解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为 1―(0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10)=0.12,∴ a=0.12?10=0.012 ??????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,估计襄阳五中高三年级全体学生的数学平均成绩约为 90×0.1+100×0.24+110×0.3+120×0.16+130×0.12+140×0.08=112 ?????????????? ????6 分

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) ,????????? 16 4

6

(Ⅲ) 由于

13 1 ? 0.9974 =0.0013, 根据正态分布: P(120―3×5<X<120+3×5)=0.9974, 故 P(x≥135)= 10000 2

=0.0013,即 0.0013?10000=13,所以前 13 名的成绩全部在 135 分以上根据频率分布直方图可知这 50 人 中成绩在 135 以上(包括 135 分)的有 50×0.08=4 人,而在[125,145)的学生有 50×(0.12+0.08)=10 ?????8 分 所以 X 的取值为 0,1,2,3.∴P(X=0)= 所以 X 的分布列为 X P 数学期望值为 EX=0× +1× +2× 20、解:(Ⅰ)∵e= 分 ∴椭圆的方程为: +3× =1.2. ????????????????????????12 分 0 1 = ,P(X=1)= 2 3 = ,P(X=2)= = ,P(X=3)= = ;

1 2 2 2 2 3 2 ?a=2c,∵a =b +c ?b = a ,???????????????????????2 2 4

3 x2 4y2 2 + =1,∵M(1, )在椭圆上,∴a =4,?????????????????? 2 2 2 a 3a

4分 ∴所求椭圆的方程为:错误!未找到引用 源。 ;?????????????????????????????6 分 (Ⅱ)设 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 则 PA:错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,PB:错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引 用源。 , ∴ 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。, 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ? 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。 ,?????????????????????8 分 设圆过定点 F ? m,0? ,则错误!未找到引用源。 ,则 m ? 1 或 m ? 7 (舍) 分 故过点 E、M、N 三点的圆是以 MN 为直径的圆过点 F ?1,0 ? 。??????????????????12

2a x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1 2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 , ???????????? ∵ x ? 2 为 f ?x ? 的极值点,∴ f ??2? ? 0 ,即 4a ? 1
21、解: (I) f ??x ? ? 4分 (II)因为函数 f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,所以 f ??x ? ?

?

?

??

x 2ax2 ? ?1 ? 4a ?x ? 4a 2 ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒 2ax ? 1

?

?

??

成立。 ①当 a ? 0 时, f ??x ? ? x?x ? 2? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立,∴ f ?x ? 在 ?3,??? 上为增函数,故 a ? 0 符合题 意。 ②当 a ? 0 时,由函数 f ?x ? 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 , ∴ 2ax ? ?1 ? 4a ?x ? 4a ? 2 ? 0 在 ?3,??? 上恒成立。令函数 g ?x? ? 2ax ? ?1 ? 4a ?x ? 4a ? 2 ,?? 6分
2 2 2 2

?

?

?

?

其对称轴为 x ? 1 ?

1 1 ? 1 ,要使 g ?x ? ? 0 在 ?3,??? 上恒成立,只要 g ?3? ? 0 即可, ,∵ a ? 0 ,∴ 1 ? 4a 4a

7

3 ? 13 3 ? 13 3 ? 13 。∵ a ? 0 ,∴ 0 ? a ? 。 ?a? 4 4 4 ? 3 ? 13 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? 0, ? 。??????????????????????????? 4 ? ?
即 g ?3? ? ?4a 2 ? 6a ? 1 ? 0 ,∴ 8分

1 ?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? ?1 ? x ?2 ? ?1 ? x ? ? b 。 时,方程 f ?1 ? x ? ? 2 x 3 x 2 2 3 问题转化为 b ? x ln x ? x?1 ? x? ? x?1 ? x? ? x ln x ? x ? x 在 ?0,??? 上有解,
3

(Ⅲ)当 a ? ?

即求函数 g ?x ? ? x ln x ? x 2 ? x3 的值域。 ??????????????????????????? 10 分 ∵函数 g ?x ? ? x ln x ? x ? x =x(lnx+x―x ),
2 3
2

?2 x ? 1??1 ? x ? , 1 ?1? 2x ? x x ∴当 0 ? x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时, h??x ? ? 0 ,从而函数 h?x ? 在 ?1,??? 上为减函数,因此 h?x ? ? h?1? ? 0 。 而 x ? 0 ,所以 b ? x ? h?x ? ? 0 ,因此当 x ? 1 时,b 取得最大值 0. ????????????????
令函数 h?x ? ? ln x ? x ? x ?x ? 0? ,则 h?? x ? ?
2

12 分 22、解:要证 b =ac
2

1 1 3 2 2 + = ?(a+b+c)(b+c)+(a+b+c)(a+b)=3(a+b)(b+c)? a +c ― a?b b?c a?b?c
1 2 2 2 ?a +c ―b =ac ????????????????????8 2

???5 分

∵A、B、C 成等差数列?B=60??cosB= 分 ∴

1 1 3 + = a?b b?c a?b?c

????????????????????????????????

10 分

8


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