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修改版高中数学必修+选修全部知识点精华归纳总结(新课标人教A版)


高中数学必修+选修知识点及方法归纳
新课标人教 A 特长班版

复习寄语:

引言
1.课程内容:
必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、 对、幂函数) 必修 2:立体几何初步、平面解析几何初步。 必修 3:算法初步、统计、概率。 必修 4:基本初等函数(三角函数) 、平面向量、 三角恒等变换。 必修 5:解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 知识和基本技能的主要部分,其中包括集合、 函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 好基础的同时,进一步强调了这些知识的发生、 发展过程和实际应用,而不在技巧与难度上做 过高的要求。 此外,基础内容还增加了向量、算法、概 率、统计等内容。 选修课程 选修 2—1:常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修 2—2:导数及其应用,推理与证明、数系 的扩充与复数 选修 2—3:计数原理、随机变量及其分布列, 统计案例。 选修 4—1:几何证明选讲。 选修 4—4:坐标系与参数方程。 选修 4—5:不等式选讲。 ⑶数列:数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数:有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量:有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式:概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程:直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程:椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用 ⑼直线、平面、简单几何体:空间直线、直线 与平面、平面与平面、棱柱、 棱锥、球、空间向量 ⑽排列、组合和概率:排列、组合应用题、二 项式定理及其应用 ⑾概率与统计:概率、分布列、期望、方差、 抽样、正态分布 ⑿导数:导数的概念、求导、导数的应用 ⒀复数:复数的概念与运算

2.重难点及考点:
重点:函数,数列,三角函数,平面向量, 圆锥曲线,立体几何,导数 难点:函数、圆锥曲线 高考相关考点: ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数:映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用

必修 1 数学知识点
第一章:集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无 序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合: N 或 N ? ,整数集合:
*

§1.3.1、单调性与最大(小)值 1、注意函数单调性的证明方法: (1)定义法:设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数; f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数.
步骤:取值—作差—变形—定号—判断 格 式 : 解 : 设 x1 , x2 ? ?a, b? 且 x1 ? x 2 , 则 : (2)导数法:设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导, 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数; 若 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

f ?x1 ? ? f ?x2 ? =?

Z ,有理数集合: Q ,实数集合: R .
4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中任 意一个元素都是集合 B 中的元素,则称集合 A 是 集合 B 的子集。记作 A ? B . 2、 如果集合 A ? B ,但存在元素 x ? B ,且 x ? A , 则称集合 A 是集合 B 的真子集.记作:A B. ? 3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作: .并规定: 空集合是任何集合的子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合 A 或集合 B 的元素组成 的集合,称为集合 A 与 B 的并集.记作: A ? B . 2、 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素 组成的集合,称为 A 与 B 的交集.记作: A ? B . 3、全集、补集? CU A ? x x ?U , 且x ? A

x ,都有 f ?? x ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数 f ?x ? 的定义域内任意一个

x ,都有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ,那么就称函数 f ?x ? 为
奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接:函数与导数 1、函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 相应的切线方 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 注: (1)知切点求切线:求导、求斜率、代方程。 (2)未给切点求切线:设点、求导数、写方程、 将已知点代入、 联立方程组求切点横坐标、 反代得纵 坐标、将切点坐标代入所设切线方程。 2、几种常见函数的导数
' n ' n?1 ①C ? 0 ;②( x ) ? nx ;

?

?

注: (1)数轴法、韦恩图是解题的直观方法。 (2) 集合的交、 并、 补的概念在函数、 概率、 解析几何中都有体现。 §1.2.1、函数的概念 1、 设 A、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系 f ,使对于集合 A 中的任意一个数 x ,在集 合 B 中都有惟一确定的数 f ?x ? 和它对应, 那么就 作: y ? f ?x ?, x ? A . 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同, 并且对应关系完 全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 注: (1)注意这几种表示方法相互之间的转换。 (2) 在求函数的值、 零点、 单调性、 奇偶性, 解不等式、方程等问题时常用图象法 称 f : A ? B 为集合 A 到集合 B 的一个函数,记

③(sin x) ? cos x ; ④(cosx) ? ? sin x ;
' '

⑤(a ) ? a ln a ;
x ' x

⑥(e ) ? e ;
x ' x

⑦(log a x ) ?
'

1 1 ' ;⑧(ln x ) ? x ln a x

3、导数的运算法则 (1) (u ? v)' ? u ' ? v' . (2) (uv)' ? u 'v ? uv' . (3) ( ) ?
'

当 n 为偶数时, a ? a .
n n

3、 我们规定:
n

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值 (1)极值定义: 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) < f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极大值; 极值是在 x 0 附近所有的点,都有 f (x) > f ( x 0 ) , 则 f ( x 0 ) 是函数 f (x) 的极小值. (2)判别方法: ① 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) >0,右侧 f ' ( x) <0, 那么 f ( x 0 ) 是极大值; ② 如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) <0,右侧 f ' ( x) >0, 那么 f ( x 0 ) 是极小值. 注: (1)导数值为零是函数极值点的必要不充分 条件! 即极值点处导数必为零; 而导数为零处 未必取得极值。 (2)极值点是使函数取得极值的 x 的值,不 可理解成一个点。 同样函数的零点也不是一个 点,而是使函数的值为零的 x 的值。 6、求函数的最值 (1)求 y ? f ( x) 在 ( a, b) 内的极值 (极大或者极小值) (2)将 y ? f ( x) 的各极值点与 f (a), f (b) 比较, 其中 最大的一个为最大值,最小的一个为极小值。 注:极值是在局部对函数值进行比较(局部性 质) ;最值是在整体区间上对函数值进行比 较(整体性质)。

⑴am ?

m

an
*

?a ? 0, m, n ? N
⑵a
?n

,m ?1 ;

?

?

1 ?n ? 0? ; an

4、 运算性质: ⑴ a r a s ? a r ?s ?a ? 0, r, s ? Q? ; ⑵ ar

? ?

s

? a rs ?a ? 0, r , s ? Q? ;

⑶ ?ab? ? a r b r ?a ? 0, b ? 0, r ? Q? .
r

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象: y ? a ?a ? 0, a ? 1?
x

2、性质:

a ?1
6

0 ? a ?1
6 5

图 象
1
-4 -2

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数

(5) x ? 0, a ? 1 ; x x ? 0, 0 ? a ? 1
x

(5) x ? 0,0 ? a x ? 1 ; x x ? 0, a ? 1

第二章:基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根。
n

注: (1)指数函数问题常用分类讨论 (2)指数函数的单调性常与不等式、交点、 零点等问题相关。图象法是常用方法。 §2.2.1、对数与对数运算 1、指数与对数互化式: a x ? N ? x ? loga N ; 2、对数恒等式: a
log a N

其中 n ? 1, n ? N ? . 2、 当 n 为奇数时, n a n ? a ;

?N.

3、基本性质: loga 1 ? 0 , loga a ? 1 .

4、运算性质:当 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 时: ⑴ loga ?MN ? ? loga M ? loga N ; ⑵ loga ?

§3.1.1、方程的根与函数的零点 1、方程 f ?x ? ? 0 有实根

? 函数 y ? f ?x ? 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ?x ? 有零点.
2、 零点存在性定理: 如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?a, b? 上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有 f ?a ? ? f ?b? ? 0 ,那么函数

?M ? ? ? loga M ? loga N ; ?N?

⑶ loga M n ? n loga M .

logc b 5、换底公式: loga b ? logc a

?a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0? .
m 6、重要公式: log a n b ? log a b n
m

y ? f ?x ?在区间 ?a, b ? 内有零点,即存在 c ? ?a, b ? ,
使得 f ?c ? ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ?x ? ? 0 的根. §3.1.2、用二分法求方程的近似解 二分法——通过应用零点存在性定理,反复取中点使 的区间变小来寻求方程近似解的方法。 §3.2.1、几类不同增长的函数模型 指数型、对数型、幂函数型 注: 常见的增长模式: 从快变慢、 均速、 由慢变快。 在图象的体现是图象的弯曲方向的区别。 §3.2.2、函数模型的应用举例 1、解决问题的常规方法:先画散点图,再用适当的函 数拟合,最后检验.

7、 倒数关系:loga b ?

1 ?a ? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1? . logb a

§2..2.2、对数函数及其性质 1、记住图象: y ? loga x?a ? 0, a ? 1? 2、 性质

a ?1
3
3

0 ? a ?1
2.5 2 1.5

2.5

2

1.5


-1

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5



-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2
-2.5

-2.5

(1)定义域: (0,+∞)
性 质

(2)值域:R (3)过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0
(4) (0,+∞)上是增函数

(5) x ? 1, loga x ? 0 ; (5) x ? 1, loga x ? 0 ; 0 ? x ? 1, loga x ? 0 0 ? x ? 1, loga x ? 0
§2.3、幂函数 1、 几种幂函数的图象:

(4) (0,+∞)上是减函数

必修 2 数学知识点
第一章:空间几何体 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有:棱柱、棱锥、棱台;常见的旋转体有: 第三章:函数的应用
圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围 成的多面体叫做棱柱。

线线平行) 。

10、面面平行: ⑴判定:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,
则这两个平面平行(简称线面平行,则面面平行) 。

⑶棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与
截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台。

⑵性质:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么
它们的交线平行(简称面面平行,则线线平行) 。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影,中心投影 的投影线交于一点;把在一束平行光线照射下的投影叫 平行投影,平行投影的投影线是平行的。

11、线面垂直: ⑴定义:如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,
那么就说这条直线和这个平面垂直。

3、空间几何体的表面积与体积

⑵判定:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,
则该直线与此平面垂直(简称线线垂直,则线面垂直) 。

⑶性质:垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直: ⑴定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面 ⑴圆柱侧面积; S侧面 ? 2? ? r ? l ⑵圆锥侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ⑶圆台侧面积: S 侧面 ? ? ? r ? l ? ? ? R ? l ⑷体积公式:
角,就说这两个平面互相垂直。

⑵判定:一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个
平面垂直(简称线面垂直,则面面垂直) 。

⑶性质:两个平面互相垂直,则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。 (简称面面垂直, 则线面垂直) 。

1 V柱体 ? S ? h ; V锥体 ? S ? h ; 3 1 V台体 ? S 上 ? S 上 ? S 下 ? S 下 h 3

?

?

⑸球的表面积和体积:

注: (1)在纯几何法证明中,过程和思路要套用对 应的定理,并按条理一一罗列或证明所需 条件。 (2)这几个定理也是向量法证明的基本依据。 向量的运算只是提供了求长度及平行与垂 直的代数方式。

4 S 球 ? 4?R 2,V球 ? ?R 3 . 3
第二章:点、直线、平面之间的位置关系 1、公理 1:如果一条直线上两点在一个平面内,那么这条
直线在此平面内。

第三章:直线与方程 1、倾斜角与斜率: k ? tan? ? 2、直线方程: ⑴点斜式: y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ⑵斜截式: y ? kx ? b

y 2 ? y1 x2 ? x1

2、公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 3、公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它
们有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理 4:平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这
两个角相等或互补。

6、线线位置关系:平行、相交、异面。 7、线面位置关系:直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。

⑶两点式:

y ? y1 y2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b

8、面面位置关系:平行、相交。 9、线面平行: ⑴判定:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则
该直线与此平面平行(简称线线平行,则线面平行) 。

⑷截距式:

⑸一般式: Ax ? By ? C ? 0

⑵性质:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行(简称线面平行,则

3、对于直线:

l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 有:

⑴ l1 // l 2 ? ?

?k1 ? k 2 ; b1 ? b2 ?

其中圆心为 ( ?

D

2 2 2、直线与圆的位置关系

,?

E

), 半径为 r ?

1 2

D2 ? E 2 ? 4F .

⑵ l1 和 l 2 相交 ? k1 ? k2 ;

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种:

?k1 ? k 2 ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ? ; ?b1 ? b2
⑷ l1 ? l 2 ? k1k 2 ? ?1 .

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
弦长公式: l ? 2 r 2 ? d 2 有:

4、对于直线:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l 2 : A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
⑴ l1 // l 2 ? ?

? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
3、两圆位置关系: d ? O1O2 ⑴外离: d ? R ? r ; ⑵外切: d ? R ? r ; ⑶相交: R ? r ? d ? R ? r ; ⑷内切: d ? R ? r ; ⑸内含: d ? R ? r . 3、空间中两点间距离公式:

? A1 B2 ? A2 B1 ; ?B1C 2 ? B2 C1

⑵ l1 和 l 2 相交 ? A1 B2 ? A2 B1 ; ⑶ l1 和 l 2 重合 ? ?

? A1 B2 ? A2 B1 ; B1C 2 ? B2 C1 ?

⑷ l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 .

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

5、两点间距离公式:

P1 P2 ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2

6、点到直线距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

7、两平行线间的距离公式:

l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 与 l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 平行,
则d ?

C1 ? C 2 A2 ? B 2

第四章:圆与方程 1、圆的方程: ⑴标准方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2
2 2

必修 3 数学知识点
第一章:算法 1、算法三种语言: 自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框: 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等 规范表示方法;

其中圆心为 ( a, b) ,半径为 r . ⑵一般方程: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .
2 2

3、算法的三种基本结构: 顺序结构、条件结构、循环结构 ?

?当型循环结构 ?直到型循环结构

第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意: N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本, 在 n 每个个体被抽到的机会(概率)均为 。 N 2、总体分布的估计: ⑴一表二图: ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 注:总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。 ⑵茎叶图: ①茎叶图适用于数据较少的情况,从中便于看出数据 的分布,以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶,十位数为茎,右侧数据按照从小到大 书写,相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计: x ? x ? x ? ?? xn ⑴平均数: x ? 1 2 3 ; n 取值为 x1 , x 2 , ? , x n 的频率分别为 p1 , p 2 , ? , p n ,则其 平均数为 x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ; 注意:频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差:一组样本数据 x1 , x 2 , ? , x n 方差: s 2 ?
1 n

n ? ? xi yi ? nx y ? ?b ? i ?1n ? 2 ? ? xi2 ? nx ? i ?1 ? ? a ? y ? bx ?

注意:线性回归直线经过定点 ( x, y ) 。 第三章:概率 1、随机事件及其概率: ⑴事件:试验的每一种可能的结果,用大写英文字母 表示; ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点; ⑶随机事件 A 的概率: P( A) ?
m ,0 ? P( A) ? 1 . n

2、古典概型: ⑴基本事件: 一次试验中可能出现的每一个基本结果; ⑵古典概型的特点: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式:一次试验的等可能基本事 件共有 n 个,事件 A 包含了其中的 m 个基本事件,则 事件 A 发生的概率 P( A) ?
m . n

3、几何概型: ⑴几何概型的特点: ①所有的基本事件是无限个; ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑵几何概型概率计算公式: P( A) ?
d的测度 ; D的测度

?
i ?1

n

2

( x i ? x) ;
2

标准差: s ?

1 n

?
i ?1

n

( x i ? x)

其中测度根据题目确定,一般为线段、角度、面积、 体积等。 4、互斥事件: ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件; ⑵如果事件 A1 , A2 , ? , An 任意两个都是互斥事件, 则称 事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥。 ⑶如果事件 A,B 互斥,那么事件 A+B 发生的概率, 等于事件 A,B 发生的概率的和, 即: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ⑷如果事件 A1 , A2 , ? , An 彼此互斥,则有:
P( A1 ? A2 ? ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An )

注:方差与标准差越小,说明样本数据越稳定。 平均数反映数据总体水平;方差与标准差反映数据的 稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系:函数关系与相关关系; ②制作散点图,判断线性相关关系 ③线性回归方程: y ? bx ? a (最小二乘法)
?

⑸对立事件:两个互斥事件中必有一个要发生,则称 这两个事件为对立事件。 ①事件 A 的对立事件记作 A
P( A) ? P( A) ? 1, P( A) ? 1 ? P( A)

②对立事件一定是互斥事件,互斥事件未必是对立事 件。

2、 设点 A? x , y

那么: ? 为角 ? 终边上任意一点, (设

r ? x2 ? y 2 )

sin ? ?

y x y , cos ? ? , tan ? ? r r x

5、 特殊角 0°,30°,45°,60°, 90°,180°,270 等的三角函数值. §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系: sin ? ? cos ? ? 1 .
2 2

2、 商数关系: tan ? ?

sin ? . cos ?

必修 4 数学知识点
第一章:三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角 ? 终边相同的角的集合:

§1.3、三角函数的诱导公式 (概括为“奇变偶不变,符号看象限” k ? Z ) §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:

y=sinx
-5? 2 -4? -7? -3? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

?? ? ? ? ? 2k? , k ? Z?.
§1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 的角. 2、 ? ?

1 o -1 y 1 o -1
? 2 ? ? 2

3? 2 2? 5? 3? 2

7? 2 4?

x

y=cosx
-5? -3? 2 -4? -7? 2 -2? -3? 2

? -? - 2

?

l . r

3? 2 2? 5? 2

7? 3? 2 4?

x

3、弧长公式: l ?

n?R ? ? R. 180

4、扇形面积公式: S ?

n?R 2 1 ? lR . 360 2

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、 奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.

§1.2.1、任意角的三角函数 1、 设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点

y ? sin x 在 x ? [0, 2? ] 上的五个关键点为:

y P?x, y ?,那么: sin ? ? y, cos ? ? x, tan ? ? x
?
sin ?
cos ?

? 3? (0,( ,, ,( ,) 2?, . 0) 1(? 0) , ) , -1( 0) , 2 2

0

? 6

? 4

? 3

? 2

2? 3

3? 4

?

3? 2

2?

tan ?

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、 记住正切函数的图象:

y

y=tanx

-

3? 2

-?

-

? 2

o

? 2

?

3? 2

x

2、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义:对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f ?x ? T ? ? f ?x ? ,那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域 值域
x ? 2 k? ?

R
[-1,1]
?
2 x ? 2 k? ? , k ? Z时,y max ? 1 , k ? Z时,y min ? ?1

R
[-1,1]
x ? 2k? , k ? Z时,ymax ? 1 x ? 2k? ? ? , k ? Z时,ymin ? ?1

{x | x ?

?
2

? k? , k ? Z }

R

最值

?
2



周期性 奇偶性

T ? 2?
奇 在 [2k? ? ? , 2k? ? ? ] 上单调递增
2 2

T ? 2?
偶 在 [2k? ? ? , 2k? ] 上单调递增 在 [2k? , 2k? ? ? ] 上单调递减

T ??
奇 在 (k? ? ? , k? ? ? ) 上单调递增 2 2

单调性

k ?Z

在 [2k? ? ? , 2k? ? 3? ] 上单调递减
2 2

对称性

对称轴方程: x ? k? ? 对称中心 ( k? , 0)

?
2

对称轴方程: x ? k? 对称中心 ( k? ?

无对称轴 对称中心 (

k ?Z

?
2

, 0)

k? 2

, 0)

平移 | B | 个单位 (上加下减)

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

§1.5、函数 y ? A sin ??x ? ? ?的图象 1、对于函数:

3、三角函数的周期,对称轴和对称中心 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A, ? , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? 数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? 常数,且 A≠0)的周期 T ?

2? ;函 |? |

y ? Asin ??x ? ? ? ? B ? A ? 0, ? ? 0? 有:振幅 A,周
期T ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为

2?

?

, 初相 ? , 相位 ?x ? ? , 频率 f ?

1 T

?

2?

?

.

2、能够讲出函数 y ? sin x 的图象与

? . |? |

y ? Asin ??x ? ? ? ? B 的图象之间的平移伸缩变
换关系. ① 先平移后伸缩:

( ? ) 对 于 y ? As i n? x ? 和 y ? A cos(? x ? ? ) 来 说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系. 求函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图像的对称轴与对称中心,
只需令 ? x ? ? ? k? ?

y ? sin x

平移

| ?|

个单位

y ? sin ? x ? ? ? y ? As i n x ? ? ? ? y ? Asin ??x ? ? ?

(左加右减) 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变 横坐标变为原来的 | 平移 | B | 个单位 (上加下减)

( k ? Z ) 与 ? x ? ? ? k? (k ? Z ) 2 解出 x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征: A ?

?

ymax ? ymin y ? ymin , B ? max . 2 2 ? 要根据周期来求, ? 要用图像的关键点来求.

§1.6、三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第三章、三角恒等变换 §3.1.1、两角差的余弦公式 记住 15°的三角函数值:

1

?

|倍

y ? Asin ??x ? ? ? ? B

? ?
12

sin ?
6? 2 4

cos?
6? 2 4

tan ?

2? 3

② 先伸缩后平移:

y ? sin x

横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 纵坐标不变

y ? A sin x y ? A sin ? x
1

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 sin?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 2、 sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? 3、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ? 4、 cos?? ? ? ? ? cos? cos? ? sin ? sin ?

横坐标变为原来的 | 平移
? ?

?

|倍

个单位

y ? As i n? x ? ? ? ?

(左加右减)

5、 tan ?? ? ? ? ? 6、 tan ?? ? ? ? ?

tan? ?tan ? . 1?tan? tan ? tan? ?tan ? . 1?tan? tan ?

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 sin 2? ? 2 sin ? cos ? , 变形: sin ? cos ? ? 1 sin 2? . 2 2、 cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

度等于 1 个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共 线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义 1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.

? 2 cos2 ? ? 1 ? 1? 2 sin 2 ? .
变形如下:

2、 a ? b ≤ a ? b . §2.2.2、向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. 2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.

?1 ? cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 升幂公式: ? 2 ?1 ? cos 2? ? 2sin ? ?

?cos 2 ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2 降幂公式: ? 2 ?sin ? ? 1 (1 ? cos 2? ) ? 2
3、 tan 2? 4、 tan ? ?

? 2 tan? . 1 ? tan2 ?
sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义 1、 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运 算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向 规定如下: ⑴

§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? )
( 其 中 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决 定, tan ? ?

?a ? ? a ,

b ). a

⑵当 ? ? 0 时,

? a 的方向与 a 的方向相同;当

第二章:平面向量 §2.1.1、向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三 个要素:起点、方向、长度. 2、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称

? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.
2、 平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当 且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a .

?

?

§2.3.1、平面向量基本定理 1、 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两 个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a ,

??? ? 模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长

有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 a ? xi ? y j ? ?x, y ? . §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ⑵ a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ⑶ ? a ? ??x1 , ?y1 ? , ⑷ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 . 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

⑷ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 2、 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则:

?

?

?

?

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y 12 ? x 2 2? y
2 2

3、 两向量的夹角公式

? ? a ?b co? ? ? ? ? s a b

§2.5.2、向量在物理中的应用举例 设直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a 、 ,则要证明 b

? ?

? ? ? ? l1 ? l2 ,只需证明 a ? b ,即 a ? b ? 0 .
即:两直线垂直 两直线的方向向量垂直。

AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ?.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则 ⑴线段 AB 中点坐标为

必修 5 数学知识点
第一章:解三角形 1、正弦定理:

?

x1 ? x2 ? x3 ⑵△ABC 的重心坐标为 3

?

x1 ? x2 2

, y1 ? y2 2

?

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C (其中 R 为 ?ABC 外接圆的半径)



,

y1 ? y2 ? y3 . 3

?

? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C. ? sin A ?
用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它 元素。 2、余弦定理:

§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义 1、 a ? b ? a b cos? . 2、 a 在 b 方向上的投影为: a cos? . 3、 a ? a . 4、 a ? a . 5、 a ? b ? a ? b ? 0 . §2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ⑴ a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ⑵a ?
2

2

2

?a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A, ? 2 2 2 ?b ? a ? c ? 2ac cos B, ?c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C. ?
? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? , ? 2bc ? a 2 ? c2 ? b2 ? , ?cos B ? 2ac ? ? a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . ? 2ab ?
用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素;

x12 ? y12

⑶ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0

?

?

? ?

⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式:

⑸常用性质: ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

am ? an ? a p ? aq ;
⑤单调性: ?an ? 的公差为 d ,则: ⅰ) d ? 0 ? ?an ? 为递增数列; ⅱ) d ? 0 ? ?an ? 为递减数列; ⅲ) d ? 0 ? ?an ? 为常数列; ⑥数列{ a n }为等差数列 ? an ? pn ? q(p,q 是常数) ⑦若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

4、三角形内角和定理: 在△ABC 中, A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 有

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2 sin A ? sin(B ? C ), ?

cos A ? ? cos(B ? C ), tan A ? ? tan(B ? C ).
5、一个常用结论: 在 ?ABC 中, a ? b ? sin A ? sin B ? A ? B; 若 sin 2 A ? sin 2 B, 则A ? B或A ? B ?

. 特别注意, 2 在三角函数中, sin A ? sin B ? A ? B 不成立。
注:解三角形问题核心是转化,以边换角,以角换 边。角多先试用正弦,边多应用余弦先。边多 沟通先平方,活用面积是关键。 第二章:数列 1、数列中 an 与 S n 之间的关系:

?

S3k ? S 2 k ? 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等 比数列。

G、 ⑵等比中项:若三数 a、 b 成等比数列 ? G2 ? ab,
( ab 同号) 。反之不一定成立。 ⑶通项公式: an ? a1qn?1 ? amqn?m

, (n ? 1) ? S1 注意通项能否合并。 an ? ? ? Sn ? Sn?1 , (n ? 2).
2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数,即 a n - a n ?1 =d , (n≥ 2,n∈N ) , 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数 a、A、b 成等差数列
?

? a1 (1 ? q n ) (q ? 1) ? ⑷前 n 项和公式: S n ? ? 1 ? q ?na (q ? 1) ? 1
⑸常用性质 ①若 m ? n ? p ? q???m, n, p, q ? N ? ? ,则

am ? an ? a p ? aq ;
⑤单调性:

a1 ? 0, q ? 1或a1 ? 0,0 ? q ? 1 ? ?an ? 为递增数列;

? A?

a?b 2

a1 ? 0,0 ? q ? 1或a1 ? 0, q ? 1 ? ?an ? 为递减数列; q ? 1 ? ?an ? 为常数列; q ? 0 ? ?an ? 为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 ⑦若等比数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,则 Sk 、 S2k ? Sk 、

⑶通项公式: an ? a1 ? (n ?1)d ? am ? (n ? m)d 或 an ? pn ? q ( p 、q是常数). ⑷前 n 项和公式:

Sn ? na1 ?

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d? 2 2

S3k ? S 2 k ? 是等比数列.
3、 非等差、等比数列通项公式的求法

类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列 的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从 而根据规律写出此数列的一个通项。 类型Ⅱ 公式法: 若已知数列的前 n 项和 Sn 与 an

的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式

, (n ? 1) ? S1 构造两式作差求解。 an ? ? ? Sn ? Sn ?1 , (n ? 2)
用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一 分为二” 即分段式; , 另一种是 “合二为一” 即 a1 和 an , 合为一个表达, 要先分 n ? 1 和 n ? 2 两种情况分别进 ( 行运算,然后验证能否统一) 。 类型Ⅲ 累加法:

? an ? a ? f (n ? 1) ? n ?1 ? an ?1 ? f (n ? 2) ? 中 f (n) 是关于 n 的函数) 可构造:? an ? 2 ?... ? ? a2 ? a ? f (1) ? 1

将上述 n ? 1 个式子两边分别相乘,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... ? f (2) f (1)a1,(n ? 2)
有时若不能直接用,可变形成这种形式,然后用这 种方法求解。 类型Ⅴ 构造数列法:

㈠形如 an?1 ? pan ? q (其中 p, q 均为常数且 p ? 0 ) 形如 an?1 ? an ? f (n) 型的递推数列(其中 f (n) 是关 型的递推式: (1)若 p ? 1 时,数列{ a n }为等差数列; (2)若 q ? 0 时,数列{ a n }为等比数列; (3) p ? 1 且 q ? 0 时, 若 数列{ a n }为线性递推数列, 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有 如下两种:

?an ? an ?1 ? f (n ? 1) ?a ? a ? f (n ? 2) ? n ?1 n ? 2 于 n 的函数)可构造: ? ?... ?a2 ? a1 ? f (1) ? 将上述 n ? 1 个式子两边分别相加,可得:

an ? f (n ?1) ? f (n ? 2) ? ... f (2) ? f (1) ? a1,(n ? 2)
①若 f ( n) 是关于 n 的一次函数, 累加后可转化为等差 数列求和; ② 若 f ( n) 是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等 比数列求和; ③若 f ( n) 是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ④若 f ( n) 是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和.

法一:设 an?1 ? ? ? p(an ? ? ) ,展开移项整理得

an?1 ? pan ? ( p ?1)? ,与题设 an?1 ? pan ? q 比较系
数(待定系数法)得

??

q q q , ( p ? 0) ? an?1 ? ? p(an ? ) p ?1 p ?1 p ?1

? an ?
以 a1 ?

? q q q ? ? p(an ?1 ? ) ,即 ?a n ? ? 构成 p ?1 p ?1 p ? 1? ?

q 为首项,以 p 为公比的等比数列.再利用 p ?1

类型Ⅳ

累乘法:

形如 an?1 ? an ? f (n) ?

? an ?1 ? ? f ( n) ? 型的递推数列 (其 ? an ?

等比数列的通项公式求出 ?a n ?

? ?

q ? ? 的通项整理可 p ? 1?

得 an .

法二:由 an?1 ? pan ? q 得 an ? pan?1 ? q(n ? 2) 两式

相减并整理得

?an?1 ? an ? 的通项再转化为类型Ⅲ(累加法)便可求
出 an . ㈡形如 an?1 ? pan ? f (n) ( p ? 1) 型的递推式: ⑴当 f ( n) 为一次函数类型(即等差数列)时:

an ?1 ? an ? p, 即 ?an?1 ? an ? 构成以 an ? an ?1 a2 ? a1 为首项,以 p 为公比的等比数列.求出

①②两式相减得 an?1 ? an q ? p(an ? qan?1 ) ,即

an ?1 ? qan ? p ,在转化为类型Ⅴ㈠便可求出 an . an ? qan ?1
法三:递推公式为 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均
为常数) an?1 ? pan ? rqn(其中 p, r 均为常数) 或 q, 时,要先在原递推公式两边同时除以 q n?1 ,得:

法一:设 an ? An ? B ? p ?an?1 ? A(n ?1) ? B? ,

B 通过待定系数法确定 A 、 的值, 转化成以 a1 ? A ? B
为首项,以 p 为公比的等比数列 ?an ? An ? B? ,再利 用等比数列的通项公式求出 ?an ? An ? B? 的通项整 理可得 an .

an?1 p an 1 ? ? ? ,引入辅助数列 ?bn ? (其中 q n?1 q q n q bn ? an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再应用类型Ⅴ㈠的方 n q q q

法解决。 ⑶当 f ( n) 为任意数列时,可用通法: 在 an?1 ? pan ? f (n) 两边同时除以 pn?1 可得到

法二:当 f (n) 的公差为 d 时,由递推式得:

an?1 ? pan ? f (n) , an ? pan?1 ? f (n ?1) 两式相减
得:an?1 ? an ? p(an ? an?1 ) ? d , bn ?an ?1 ? n 得: 令 a

an ?1 an f (n) a f ( n) ? n ? n ?1 , n ? bn , bn ?1 ? bn ? n ?1 , 令 n 则 n ?1 p p p p p
在转化为类型Ⅲ (累加法) 求出 bn 之后得 an ? pnbn . , 类型Ⅵ 对数变换法:

bn ? pbn?1 ? d 转化为类型Ⅴ㈠求出 bn ,再用类型Ⅲ
(累加法)便可求出 an . ⑵当 f ( n) 为指数函数类型(即等比数列)时:

形如 an?1 ? paq ( p ? 0, an ? 0) 型的递推式: 在原递推式 an?1 ? paq 两边取对数得

法一:设 an ? ? f (n) ? p ?an?1 ? ? f (n ?1)? ,通过
待定系数法确定 ? 的值, 转化成以 a1 ? ? f (1) 为首项, 以 p 为公比的等比数列 ?an ? ? f (n)? ,再利用等比数 列的通项公式求出 ?an ? ? f (n)? 的通项整理可得 an .

lg an?1 ? q lg an ? lg p ,令 bn ? lg an 得: bn?1 ? qbn ? lg p ,化归为 an?1 ? pan ? q 型,求出 bn
之后得 an ? 10 n .(注意:底数不一定要取 10,可根据
b

题意选择) 。 类型Ⅶ

倒数变换法:

法二:当 f (n) 的公比为 q 时,由递推式得:

形如 an?1 ? an ? pan?1an ( p 为常数且 p ? 0 )的递推 式:两边同除于 an?1an ,转化为

an?1 ? pan ? f (n) ——①,an ? pan?1 ? f (n ?1) ,两
边同时乘以 q 得 an q ? pqan?1 ? qf (n ?1) ——②,由

1 1 ? ? p 形式, an an ?1

化归为 an?1 ? pan ? q 型求出 1 的表达式,再求 an ;
an

设 an ?

?
an ? b1

?

?
an ? b2

, 通分整理后与原式相

还有形如 an ?1 ? man 的递推式,也可采用取倒数方 pan ? q 法转化成 1 ? m 1 ? m 形式, 化归为 an?1 ? pan ? q an?1 q an p 型求出 1 的表达式,再求 an .
an

比较,根据对应项系数相等得 ? ?

c ,从而可得 b2 ? b1

类型Ⅷ

形如 an?2 ? pan?1 ? qan 型的递推式:

c c 1 1 = ( ? ). (an ? b1 )(an ? b 2 ) (b2 ? b1 ) an ? b1 an ? b 2
常见的拆项公式有: ①

用待定系数法,化为特殊数列 {an ? an?1} 的形式 求解。方法为:设 an?2 ? kan?1 ? h(an?1 ? kan ) ,比较 系数得 h ? k ? p,?hk ? q ,可解得 h 、 ,于是 k

1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? ( a ? b ); a ? b a ?b
n ? log a n ? log a (n ? 1) n ?1



{an?1 ? kan } 是公比为 h 的等比数列,这样就化归为 an?1 ? pan ? q 型。
总之,求数列通项公式可根据数列特点采用以上 不同方法求解,对不能转化为以上方法求解的数列, 可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .
5、非等差、等比数列前 n 项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列 ?an ? 为等差数列,数列 ?bn ? 为等比数列, 则数列 ?an ? bn ? 的求和就要采用此法. ②将数列 ?an ? bn ? 的每一项分别乘以 ?bn ? 的公比, 然后在错位相减,进而可得到数列 ?an ? bn ? 的前 n 项 和.



④ log a

⑶分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列, 若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常 见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.一般分两 步:①找通向项公式②由通项公式确定如何分组. ⑷倒序相加法 如果一个数列 ?an ? , 与首末两项等距的两项之和等于 首末两项之和,则可用把正着写与倒着写的两个和式 相加,就得到了一个常数列的和,这种求和方法称为 倒序相加法。特征: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? ... ⑸记住常见数列的前 n 项和: ① 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方 法.
⑵裂项相消法

n(n ? 1) ; 2
2

② 1 ? 3 ? 5 ? ... ? (2n ? 1) ? n ;

c 一般地,当数列的通项 an ? (an ? b1 )(an ? b 2 )
时,往往可将 an 变成两项的差, (a, b1 , b2 , c为常数) 采用裂项相消法求和. 可用待定系数法进行裂项:

③ 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
2 2 2 2

1 n(n ? 1)(2n ? 1). 6

第三章:不等式 §3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c

③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

3、几个著名不等式 ①平均不等式:
?

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)
n n

a ⑧ (倒数法则) ? b ? 0 ?
2、几个重要不等式

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

① a2 ? b2 ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取

( a ? b) 2 a ?b ? . 2 ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ②设 ? , ? 是两个向量,则 ? ? ? ? ? ? , 当且仅当 ?
2 2

" ? " 号).

变形公式: ab ?

a 2 ? b2 . 2

是零向量,或存在实数 k ,使 ? ? k ? 时,等号成立. 4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、 分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法, 函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

? ?

? ?

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ? ,(当
2

且仅当 a ? b 时取到等号). 变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最 大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,如

b a ③ 若ab ? 0, 则 ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ④ ? a a?m b?n b
其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. 用途:常用于放缩证明 ⑤ 当a ? 0时, ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a; x

1 1 ? , 2 k k (k ? 1) ( 2 2 k ?

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑥绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b . 说明:也可理解成向量不等式.

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集.

规律: 当二次项系数为正时, 小于取中间, 大于取两边.

6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式的 解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中 取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要
2

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“ ( ? 或 ?” 时同理)

对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成
2

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 9、指数不等式的解法:
f ( x) ⑴当 a ? 1 时, a ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

⑵当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

?a

g ( x)

? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法 ⑴当 a ? 1 时,

?a ? 0 ?? ? 0.

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
⑵当 0 ? a ? 1 时,

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成 立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a;
⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a;

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)
2 2

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0);

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.
15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的 坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所

③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号.

以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特 殊点 ( x0 , y0 )(如原点) 由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可 , 判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的

平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选 原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的 符号与不等式开口的符号, 若同号, ? By ? C ? 0 ( Ax 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上 方的区域.即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的 平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常 数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域 中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标 代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数为 目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的 最小值 法二:画——移——定——求: 第一步, 在平面直角坐标系中画出可行域; 第二步, 作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域,将 直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解

②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最大值.

⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By;

②“斜率”型: z ?

y y ?b ; 或z ? x x?a
x2 ? y 2 ;

③“距离”型: z ? x 2 ? y 2 或 z ?

z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线 性规划与代数式的几何意义求解, 从而使问题简单化.

( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ? 纵截距.

A z z x ? , 为直线的 B B B

选修数学知识点
①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直 线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的 纵截距最小的角点处, z 取得最小值;

专题一:常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词: “或” “且” “非”这些词就叫做逻辑 联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题;

复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,??表示命题. 2、四种命题及其相互关系

4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) p 且 q ; ( p ? q) ;非 p ( ? p ). ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称 量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题,叫 做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做 存在量词, 并用符号 ? ” “ 表示.含有存在量词的命题, 叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ① 全 称 命 题 p : ?x ??, p( x) , 它 的 否 定 ? p :

四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 没有关系. 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的 充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q , p 是 q 的充分必要条件, 则 简称充要条件. ⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命 题的条件 p 与结论 q 之间的关系: Ⅰ、从逻辑推理关系上看: ①若 p ? q , p 是 q 充分条件,q 是 p 的必要条件; 则 p , p 是 q 充分而不必要条件; ②若 p ? q , q 但 则 ③若 p q , q ? p , p 是 q 必要而不充分条件; 但 则 ④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; ⑤若 p

?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题.
②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ? p :

?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.

q 且q

p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要

条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看: 已知 A ? x x 满足条件 p? , B ? x x 满足条件 q? : ①若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ②若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件; ③若 A ④若 B B,则 p 是 q 充分而不必要条件; A,则 p 是 q 必要而不充分条件;

?

?

⑤若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件; ⑥若 A ? B 且 B ? A , p 是 q 的既不充分也不必要 则 条件.

专题二:圆锥曲线与方程
1.椭圆 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上

图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围

到两定点 F 、2 的距离之和等于常数 2 a ,即 | MF | ? | MF2 |? 2a ( 2a ?| F1F2 | ) F 1 1 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (0 ? e ? 1) d
?b ? x ? b 且 ? a ? y ? a

? a ? x ? a 且 ?b ? y ? b

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?
顶点

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ? ?1 ? ?b,0? 、 ?2 ? b,0?

?1 ? 0, ?b? 、 ?2 ? 0,b ?

轴长 对称性 焦点 焦距

长轴的长 ? 2a 短轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e? c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a (0 ? e ? 1)
a2 c

离心率

准线方程

x??

a2 c

y??

焦半径

左焦半径: MF ? a ? ex0 1 右焦半径: MF2 ? a ? ex0

下焦半径: MF ? a ? ey0 1 上焦半径: MF2 ? a ? ey0

M ( x0, y0 )
焦点三角形面积

S?MF1F2 ? b 2 tan

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ' ?

2b 2 a

(焦点)弦长公式

A( x1, y1 ), B( x2, y2 ) , AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2
焦点在 y 轴上

焦点的位置

焦点在 x 轴上

图形 图形

标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2

第一定义 第二定义 范围 顶点 轴长 对称性 焦点 焦距

到两定点 F1 、 2 的距离之差的绝对值等于常数 2a ,即 | MF1 | ? | MF2 | ? 2a ( 0 ? 2a ?| F1 F2 | ) F 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e ,即

MF ? e (e ? 1) d
y ? ?a 或 y ? a , x ? R

x ? ?a 或 x ? a , y ? R

?1 ? ?a,0? 、 ?2 ? a,0?

?1 ? 0, ?a ? 、 ?2 ? 0, a ?

实轴的长 ? 2a 虚轴的长 ? 2b 关于 x 轴、 y 轴对称,关于原点中心对称

F1 ? ?c,0? 、 F2 ? c,0?

F1 ? 0, ?c ? 、 F2 ? 0, c ?

F1F2 ? 2c (c2 ? a2 ? b2 )
e?
a2 x?? c
y?? b x a

离心率

c c2 a 2 ? b2 b2 ? ? ? 1? 2 a a2 a2 a

(e ? 1)
a2 y?? c
y?? a x b

准线方程

渐近线方程

焦半径

?左焦: 1 ? ex0 ? a MF ? M 在右支 ? MF ?右焦: 2 ? ex0 ? a ? ?左焦: 1 ? ?ex0 ? a MF ? M 在左支 ? MF ?右焦: 2 ? ?ex0 ? a ?
S?MF1F2 ? b 2 cot

?左焦: 1 ? ey0 ? a MF ? M 在上支 ? MF ?右焦: 2 ? ey0 ? a ? ?左焦: 1 ? ?ey0 ? a MF ? M 在下支 ? MF ?右焦: 2 ? ?ey0 ? a ?

M ( x0, y0 )

焦点三角形面积

?
2

(? ? ?F1MF2 )

通径 2.双曲线 3.抛物线

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径: HH ' ?

2b 2 a

y 2 ? 2 px
标准方程

y 2 ? ?2 px

x2 ? 2 py

x 2 ? ?2 py

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

? p ? 0?

定义 顶点 离心率 对称轴 范围

与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点 F 不在定直线 l 上)

? 0, 0?
e ?1

x轴
x?0 x?0

y轴

y?0

y?0

焦点

? p ? F ? ,0? ?2 ?
x?? p 2

? p ? F ? ? ,0? ? 2 ?
x? p 2

p? ? F ? 0, ? 2? ?
y?? p 2

p? ? F ? 0, ? ? 2? ?
y? p 2

准线方程 焦半径

M ( x0, y0 )
通径 焦点弦长 公式 参数 p 的几 何意义

MF ? x0 ?

p 2

MF ? ? x0 ?

p 2

MF ? y0 ?

p 2

MF ? ? y0 ?

p 2

过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径: HH ? ? 2 p

AB ? x1 ? x2 ? p
参数 p 表示焦点到准线的距离, p 越大,开口越阔

关于抛物线焦点弦的几个结论: 设 AB 为过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点的弦, A( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,直线 AB 的倾斜角为 ? ,则 B ⑴ x1 x2 ?

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; 4

⑵ AB ?

2p ; sin 2 ?

⑶ 以 AB 为直径的圆与准线相切;

B ⑷ 焦点 F 对 A 、 在准线上射影的张角为


? ; 2

1 1 2 ? ? . | FA | | FB | P
⑶复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 2、复数的分类 复数 z ? a ? bi

专题五:数系的扩充与复数
1、复数的概念 ⑴虚数单位 i ; ⑵复数的代数形式 z ? a ? bi

? a, b ? R?

(a, b ? R) ;

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? 虚数(b ? 0) ? ? ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ?
3、相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

一一对应 复数z ? a ? bi ???? 平面向量OZ ?

??? ?

知识结构 1、基本概念 ⑴互斥事件:不可能同时发生的两个事件. 如果事件 A、B、C ,其中任何两个都是互斥事 件,则说事件 A、B、C 彼此互斥. 当 A、B 是互斥事件时, 那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 中有一个发生) 的概率, 等于事件 A、B 分别发 生的概率的和,即

a 2 ? b2

⑷ z ? a ? bi z, z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共 轭复数). 4、复数运算 ⑴复数加减法:?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法:

P( A ?

B? )

P A ( ) ?

. ) P B (

⑵对立事件: 其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A 的对立事件通常记着 A .
对立事件的概率和等于 1. P( A) ? 1 ? P( A) . 特别提醒:“互斥事件”与“对立事件”都是就 两个事件而言的,互斥事件是不可能同时发生的两个 事件,而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件, 因此,对立事件必然是互斥事件,但互斥事件不一定 是对立事件,也就是说“互斥”是“对立”的必要但 不充分的条件. ⑶相互独立事件:事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,(即其中一个事件是 否发生对另一个事件发生的概率没有影响) .这样的两 个事件叫做相互独立事件. 当 A、B 是相互独立事件时,那么事件 A ? B 发生 (即 A、B 同时发生) 的概率, 等于事件 A、B 分别发 生的概率的积.即

? a ? bi ??c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;
⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分 母实数化) 5、常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
若 A、B 两事件相互独立,则 A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B 也都是相互独立的. ⑵两点分布

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;

1? i 1? i ?1? i ? (7)(1 ? i) ? ?2i; (8) ? i, ? ?i, ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?
2

2

专题八:统计案例
1、回归分析

(9 ) 设 ? ?
2

? 1 ? 3i 是 1 的立方虚根,则 2
3n?1

? 回归直线方程 y ? a ? bx ,
n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? ?b ? i ?1 n ? 2 其中 ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

1? ? ? ? ? 0 , ?

? ?, ?

3n ? 2

? ? ,?

3n ? 3

?1

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫 做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? 复平面内的点Z ? (a,b)

?x
i ?1

2

i

? nx 2

相关系数: r

?

?? x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
2 n 2

? ? xi ? x ? ? ? yi ? y ?
i ?1

?

? x y ? nxy
i ?1 i i

n

? n 2 ?? n ? xi ? nx 2 ?? ? yi2 ? ny 2 ? ?? ? i ?1 ?? i ?1 ?

点 M 的极坐标:设 M 是平面内一点,极点 O 与 点 M 的距离 | OM | 叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极 轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的 ?xOM 叫做点 M 的极角, 记为 ? 。 有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标, 记为 M M ? M ( ? ,? ) . M ? a ? 注: a ? ? 极坐标
O x

?

O

x

2、独立性检验 假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的值域分另为{x1, x2}和{y1, y2},其样本频数 2 ? 2 列联表为: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

O

a

x

( ? ,? ) 与 图1 ( ? ,? ? 2k? )(k ? Z) ? a ?
表示同一个 点。极点 O 的 坐标为
a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

M

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

若要推断的论述为 H1:“X 与 Y 有关系”,可以利 用独立性检验来考察两个变量是否有关系,并且能较 精确地给出这种判断的可靠程度.
2 具体的做法是, 由表中的数据算出随机变量 K 的

(0,? )(? ? R )
. 若? ? 0,

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

则 ? ? ? 0 ,规定点 (?? ,? ) 与点 ( ? ,? ) 关于极点对称, 即 (?? ,? ) 与 ( ? , ? ? ? ) 表示同一点。 如果规定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平 面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示(即一一对应 的关系) ;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定 的。 极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面 上一个点,在极坐标系下,一对有序实数 ? 、 ? 对应 惟一点 P( ? , ? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不 惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律 可循的,P( ? ,? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? ,? + (2k ? 1)? ) k ? Z).极点的 ,( 极径为 0,而极角任意取.若对 ? 、 ? 的取值范围加 以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点

n(ad ? bc)2 2 值K ? ,其中 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
n ? a ? b ? c ? d 为样本容量,K 的值越大,说明“X
2

与 Y 有关系”成立的可能性越大. 随机变量 K 越大, 说明两个分类变量, 关系越强; 反之,越弱。
2

K ? 3.841 时,X 与 Y 无关; K ? 3.841 时,X
2 2

与 Y 有 95%可能性有关; K ? 6.635 时 X 与 Y 有 99%
2

可能性有关.

专题九:坐标系与参数方程
2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点 O ,叫做极点;自极点 O 引 一条射线 Ox 叫做极轴; 再选定一个长度单位、 一个角 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向),这样就建立了一个极坐标系。 M ( ? ,? )

与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐标是一 多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) , 极坐标是 ( ? ,? ) ,从图中可以得出:

?
?
O 图1

x

M(? , ?
?



M

?
0

M

?
?

y ? ? sin? y ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan? ? ( x ? 0). x
y

x ? ? cos? ,

O

x

?

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? ,?


M

?

a

?
?

?
M

O

a

a
O

N (a,? ) p

N

x

M

O

? ?
? ? ? ? ? ? ?

图4
a sin ?

图5
a ? ?? sin?

图6
??
a cos( ? ?) ?

y

??

x ? ? cos?

O
? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
tan? ? y ( x ? 0) x

H

y ? ? sin?

注: 处理选做题极坐标方程, 可先将其化为直角坐 标或方程进行解决再按要求以极坐标形式回 答。

(直极互化 图) 4、简单曲线的极坐标方程 ⑴圆的极坐标方程 ①以极点为圆心, a 为半径的圆的极坐标方程是

6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标

? ?a; (如图 1)
②以 ( a, 0) (a ? 0) 为圆心, a 为半径的圆的极坐标方 程是 ? ? 2acos? ; (如图 2)

? x ? f (t ), 并且对于 t 的 ? y ? g (t ), 每一个允许值,由这个方程所确定的点 M ( x, y ) 都在
x, y 都是某个变数 t 的函数 ?
这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方 程,联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数,简称参数。 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程。 7、常见曲线的参数方程 (1)圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的参数方程为
2 2 2

) (a ? 0) 为圆心,a 为半径的圆的极坐标方 2 程是 ? ? 2asin? ; (如图 4)
③以 ( a, ⑵直线的极坐标方程 ①过极点的直线的极坐标方程是 ? ? ? ( ? ? 0) 和

?

? x ? a ? r cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b ? r sin ?
(2)椭圆

? ? ? ? ? ( ? ? 0) . (如图 1)
②过点 A(a,0)(a ? 0) ,且垂直于极轴的直线 l 的极坐 标方程是 ?cos? ? a . 化为直角坐标方程为 x ? a . (如图 2) ③过点 A(a,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a 2 b2

? x ? a cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? b sin ?
y 2 x2 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程为 a b

?
2

) 且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程

是 ? sin ? ? a . 化为直角坐标方程为 y ? a . (图 4)

? x ? b cos ? ( ? 为参数) ; ? ? y ? a sin ?

x2 y2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程 a b

? ?x ? a s e c ( ? 为参数) ; ? ? ?y ? b t a n
y2 x2 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的参数方程 a b

迎考是一个冶炼的过程, 须经历烈火与锻造的折腾, 只要你经得住考验, 钢铁就是这样练成。 迎考是一个登山的过程, 须经历曲折和坎坷的困境, 只要你不停地登攀, 就会尽情享受美景。 这里就是战场 没有炮火硝烟, 却似乎看到一场场激战; 没有鼓号铮鸣, 却仿佛听见一阵阵呐喊! 这里就是战场, 迎考就是作战, 老师前线在指挥, 家长后方来支援。 坚定必胜信念, 何惧重重难关, 同学们,拼了吧! 胜利在向你召唤。 高三是什么, 高三是一部传奇小说, 叙述着主人公的悲欢离合; 高三是一篇抒情散文, 抒写着考生们激情燃烧的岁月; 高三是一册悲壮的史书, 记载着创业者的艰难坎坷; 高三是一道充满未知数的数学题, 答案取决于解题过程的对错; 高三是一场体育决赛, 优胜劣汰竞争残酷而激烈; 高三是一个生死存亡的战场, 胜利靠的是顽强拼搏!

t ?x ? b c o ? ( ? 为参数) ; ? y ? ac s c ? ?
? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(4)抛物线 y 2 ? 2 px 参数方程 ? 数, t ?

(t 为参

1 ) ; tan ?

参数 t 的几何意义: 抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数. (6)过定点 P( x0 , y0 ) 、倾斜角为 ? (? ? 的参数方程 ?

?
2

) 的直线

? x ? x 0 ? t cos ? ( t 为参数). ? y ? y 0 ? t sin ?

8、参数方程与普通方程之间的互化 注:在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数 的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须 使 x, y 的取值范围保持一致. 参数方程化为普通方程的关键是消参数, 并且要保 证等价性。若不可避免地破坏了同解变形,则一定要 通过 x ? f (t ), y ? g (t ) 。根据 t 的取值范围导出 x, y 的取值范围.

寄语高三学子
迎考是一个化蝶的过程, 须经历破茧时剧烈的阵痛, 只要你耐心地坚持, 终能自由飞舞天空。 高考是这样一个机会: 一个非常难得的机会, 一个培养毅力的机会,

一个证实自己的机会, 一个挑战自己的机会, 一个完善自己的机会, 一个超越自己的机会, 一个改变人生的机会, 面对高考这样的机会, 该怎样抓住这个机会! 录取名单尚未确定, 一切皆有可能, 一切伟大正在形成, 让我们就从现在开始, 以坚定的信念, 饱满的热情, 顽强的毅力, 不懈的努力, 去铸就人生的辉煌, 拼出灿烂辉煌的明天!


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