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2019年高中数学《1.1.1 正弦定理》教案 新人教A版必修5

2019 年高中数学《1.1.1 正弦定理》教案 新人教 A 版必修 5
●教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法: 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中, 边与其对角的关系, 引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实 践操作。 情感态度与价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识 间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程: 一、复习准备: 1. 讨论:在直角三角形中,边角关系有哪些?(三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角 函数)如何解直角三角形?那么斜三角形怎么办? 2. 由已知的边和角求出未知的边和角,称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关 系?(内角和、大边对大角) 是否可以把边、角关系准确量化? →引入课题:正弦定理 二、讲授新课: 1. 教学正弦定理的推导: a b ① 特 殊 情 况 : 直 角 三 角 形 中 的 正 弦 定 理 : sinA= sinB= sinC=1 即 c c

c=

a b c . ? ? sin A sin B sin C

② 能否推广到斜三角形? (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形) 当 ? ABC 是 锐 角 三 角 形 时 , 设 边 AB 上 的 高 是 CD , 根 据 三 角 函 数 的 定 义 , 有
CD ? a sin B ? b sin A ,则

a b a c . 同理, ? ? sin A sin B sin A sin C 1 2 1 2 1 2

③*其它证法: 证明一: (等积法)在任意△ABC 当中 S△ABC= ab sin C ? ac sin B ? bc sin A . 两边同除以 abc 即得:

1 2

c a b = = . sin A sin B sin C a a ? ? CD ? 2R , sin A sin D

C

a b
A O B D

证明二: (外接圆法)如图所示,∠A=∠D,∴

c

c b 同理 =2R, =2R. sin C sin B
证明三;过点 A 作单位向量 j ? AC , 由向量的加法可得 则 C

AB ? AC ? CB

j ? AB ? j ?(AC ? CB )

A

B

∴ j ? AB ? j ? AC ? j ? CB

j AB cos?900 ? A? ?0 ? j CB cos?900 ?C ?
a c ? c sin A ? a sin C sin A sin C ∴ ,即
同理,过点 C 作 j ? BC ,可得

b c ? sin B sin C

a
sin A

从而 类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) ④ 正弦定理内容:

?

b
sin B

?

c
sinC

c a b = = =2R sin A sin B sin C

简单变形; 基本应用: 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边; 已知三角形的任意两边与其 中一边的对角可以求其他角的正弦值. 2. 教学例题: ① 例 1:在 ?ABC 中,已知 A ? 450 , B ? 600 , a=10cm,解三角形. ② 例 2: ?ABC中,c ? 6, A ? 450 , a ? 2, 求b和B, C . 讨论:已知两边和其中一边的对角解三角形时,如何判断解的数量?思考后见(P8-P9 ) 3. 小结:正弦定理的探索过程;正弦定理的两类应用;已知两边及一边对角的讨论.


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