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2018高考数学大一轮复习第五章平面向量第二节平面向量基本定理及坐标表示课件理


第二节 平面向量基 本定理及坐 标表示
本节主要包括2个知识点: 1.平面向量基本定理; 2.平面向量的坐标表示.

突破点(一)
基础联通

平面向量基本定理

抓主干知识的“源”与“流”

平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线 向量,那么对 于这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1,λ2,

λ1e1+λ2e2 使a=___________.
其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组 基底 .

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”
基底的概念

[例1]

如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列 )

四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是( A.e1与e1+e2 C.e1+e2与e1-e2 B.e1-2e2与e1+2e2 D.e1+3e2与6e2+2e1

[解析]

? ?1=λ, 选项A中,设e1+e2=λe1,则? ? ?1=0

无解;

? ?1=λ, 选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则? ? ?-2=2λ ? ?1=λ, 选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则? ? ?1=-λ

无解;

无解;

1 选项D中,e1+3e2= 2 (6e2+2e1),所以两向量是共线向 量,不能作为平面内所有向量的一组基底. [答案] D

[易错提醒]

某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的 向量,不能含有零向量.

平面向量基本定理的应用

(2016· 江西南昌二模)如图,在△ ??? ? ???? ABC中,设 AB =a, AC =b,AP的中点为 ??? ? Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P,则 AP = 1 1 A.2a+2b 2 4 C.7a+7b 1 2 B.3a+3b 4 2 D.7a+7b ( )

[例2]

??? ? ???? [解析] 如图,连接BP,则 AP = AC + ??? ? ??? ? CP =b+ PR ,① ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? AP = AB + BP =a+ RP - RB ,② ??? ? ??? ? ①+②,得2 AP =a+b- RB ,③ ? ? ? 1 ??? ??? ? 1 ??? ? ???? 1? 1 ??? 又 RB =2 QB =2( AB - AQ )=2?a-2 AP ?,④
? ?

? ? ??? ? 1 ??? 1? 将④代入③,得2 AP =a+b-2?a-2 AP ?,
? ?

??? ? 2 4 解得 AP =7a+7b.
[答案] C

[易错提醒] 平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用 平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数 乘运算. (2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择 一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的 形式,再通过向量的运算来解决.

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

1. [考点二] (2017· 潍坊模拟)在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的

??? ? ???? 1 1 三等分点,且AP=3AB,BQ=3BC,若 AB =a, AC =b,则 ??? ? PQ = ( )
1 1 A.3a+3b 1 1 C.3a-3b 1 1 B.-3a+3b 1 1 D.-3a-3b

??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? 1 ??? ? ? 2 ??? 解析:由题意知 PQ = PB + BQ =3 AB +3 BC =3 AB +

? 1 ??? ? 1 ???? 1 1 1 ???? ??? 3( AC - AB )=3 AB +3 AC =3a+3b,故选A.
答案:A

2. [考点一] (2016· 泉州调研)若向量a,b不共线,则下列各组向 量中,可以作为一组基底的是 A.a-2b与-a+2b C.a-2b与5a+7b B.3a-5b与6a-10b 1 3 D.2a-3b与2a-4b ( )

解析:不共线的两个向量可以作为一组基底.因为a-2b 与5a+7b不共线,故a-2b与5a+7b可以作为一组基底. 答案:C

3. [考点二] 如图,在△OAB中,P为线段 ??? ? ??? ? ??? ? AB上的一点, OP =x OA +y OB ,且 ??? ? ??? ? ( ) BP =2 PA,则 2 1 A.x=3,y=3 1 3 C.x=4,y=4 1 2 B.x=3,y=3 3 1 D.x=4,y=4

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 解析:由题意知 OP = OB + BP ,又 BP =2 PA ,所以

? ??? ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? ? OP = OB + 3 BA = OB + 3 ( OA - OB )= 3 OA + 3 OB ,
2 1 所以x=3,y=3. 答案:A

???? 1 ???? 4. [考点二](2017· 绵阳诊断)在△ABC 中, AN =2 AC ,P 是 BN ??? ? ??? ? 3 ???? 上一点,若 AP =m AB +8 AC ,则实数 m 的值为________.
解析:∵B,P,N三点共线,

??? ? ??? ? ???? ??? ? 1 ???? ∴ AP =t AB +(1-t) AN =t AB +2(1-t) AC ,
? ??? ? ??? ? 3 ???? ?m=t, 1 又∵ AP =m AB +8 AC , ∴?1 解得m=t=4. 3 ?1-t?=8, ? ?2 1 答案:4

突破点(二)
基础联通

平面向量的坐标表示

抓主干知识的“源”与“流”

1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则:

(x1+x2,y1+y2),a-b=______________ (x1-x2,y1-y2) ,λa= a+b=______________
2 2 ( λx , λy ) x + y 1 1 1 1 _________,|a|=________.

(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向

??? ? 量的坐标.一般地,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB
= (x2-x1,y2-y1) . 2.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b ? x1y2-x2y1=0 .

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”
平面向量的坐标运算

??? ? [例 1] 已知 A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 AB =a,

??? ? ??? ? ???? ? ???? BC =b, CA=c,且 CM =3c, CN =-2b,
(1)求 3a+b-3c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n;

???? ? (3)求 M,N 的坐标及向量 MN 的坐标.

[解]

由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).

(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3, -15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),
? ?-6m+n=5, ∴? ? ?-3m+8n=-5, ? ?m=-1, 解得? ? ?n=-1.

即所求实数 m 的值为-1,n 的值为-1.

???? ? (3)求 M,N 的坐标及向量 MN 的坐标.
[解] 设 O 为坐标原点, ???? ? ???? ? ??? ? ∵ CM = OM - OC =3c, ???? ? ??? ? ∴ OM =3c+ OC =(3,24)+(-3,-4)=(0,20), 即 M(0,20). ???? ???? ??? ? 又∵ CN = ON - OC =-2b, ???? ??? ? ∴ ON =-2b+ OC =(12,6)+(-3,-4)=(9,2), 即 N(9,2). ???? ? ∴ MN =(9,-18).

[方法技巧]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运 算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐 标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一 原则,通过列方程(组)来进行求解.

平面向量共线的坐标表示

[例 2]

已知 a=(1,0),b=(2,1).

(1)当 k 为何值时,ka-b 与 a+2b 共线;

[解]

∵a=(1,0),b=(2,1),

∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1), a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵ka-b 与 a+2b 共线,∴2(k-2)-(-1)×5=0, 1 ∴k=-2.

??? ? ??? ? (2)若 AB =2a+3b, BC =a+mb,且 A,B,C 三点共
线,求 m 的值. ??? ? [解] AB =2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), ??? ? BC =a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). ??? ? ??? ? ∵ A, B, C 三点共线, ∴ AB ∥ BC , ∴8m-3(2m+1)=0,

3 ∴m=2.

[方法技巧] 向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1= 0,这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在 于不需要引入参数“λ”,从而减少了未知数的个数,而 且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征. x1 y1 (2)当x2y2≠0时,a∥b? x = y ,即两个向量的相应坐 2 2 标成比例,这种形式不易出现搭配错误. (3)公式x1y2-x2y1=0无条件x2y2≠0的限制,便于记 x1 y1 忆;公式 x = y 有条件x2y2≠0的限制,但不易出错.所以 2 2 我们可以记比例式,但在解题时改写成乘积的形式.

能力练通
1. [考点一]若向量

抓应用体验的“得”与“失”
? 5? a=(2,1),b=(-1,2),c=?0,2?,则 ? ?

c 可用 ( )

向量 a,b 表示为 1 A.2a+b 1 B.-2a-b 3 1 C.2a+2b
? 5? ?0, ? 2? ?

3 1 D.2a-2b

解析:设c=xa+yb,则

=(2x-y,x+2y),所以

1 ? ? ?2x-y=0, ?x= , 1 2 ? 解得? 则c=2a+b. 5 x+2y=2, ? ? ? ?y=1,

答案:A

???? ? 2. [考点一] 已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 MN =
-3a,则点N的坐标为 ( )

A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0) ???? ? 解析: MN =-3a=-3(1,-2)=(-3,6), ???? ? 设N(x,y),则 MN =(x-5,y+6)=(-3,6),
? ?x-5=-3, 所以? ? ?y+6=6, ? ?x=2, 解得? ? ?y=0,

即N(2,0).

答案:A

??? ? ??? ? ??? ? 3. [考点二] 已知向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(-
k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是 2 A.-3 ( )

4 1 1 B.3 C.2 D.3 ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 解析: AB = OB - OA =(4-k,-7), AC = OC - OA = ??? ? ???? (-2k,-2).∵A,B,C三点共线,∴ AB , AC 共线,
2 ∴-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-3. 答案:A

4. [考点二] 已知梯形ABCD,其中AB∥DC,且DC=2AB,三个 顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________. ???? 解析:∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥DC,∴ DC = ??? ? ??? ? ???? 2 AB .设点D的坐标为(x,y),则 DC =(4-x,2-y), AB =
(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
? ?4-x=2, ∴? ? ?2-y=-2, ? ?x=2, 解得? ? ?y=4,

故点D的坐标为(2,4).

答案:(2,4)

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5. [考点二] 已知 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, OE =
e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),那么t为何值时, C,D,E三点共线? ??? ? ??? ? ??? ? 解:由题设知, CD = OD - OC =d-c=2b-3a, ??? ? ??? ? ??? ? CE = OE - OC =e-c=t(a+b)-3a=(t-3)a+tb.
C,D,E三点共线的充要条件是存在实数k, ??? ? ??? ? 使得 CE =k CD , 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.

若a,b共线,则t可为任意实数;
? ?t-3+3k=0, 若a,b不共线,则有? ? ?2k-t=0,

6 解得t=5. 综上,可知a,b共线时,t可为任意实数;a,b不共 6 线时,t=5.

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

???? 1.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量 AC = ??? ? (-4,-3),则向量 BC = ( )
A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4)

???? 解析:设C(x,y),则 AC =(x,y-1)=(-4,-3),所以
? ?x=-4, ? ? ?y-1=-3,

解得

? ?x=-4, ? ? ?y=-2,

??? ? 从而 BC =(-4,-2)-
答案:A

(3,2)=(-7,-4).故选A.

2.(2016· 全国甲卷)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且 a∥b,则m=________.

解析:∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,∴-2m-4×3 =0.∴m=-6. 答案:-6


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