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河北省邯郸市2013届高三第二次模拟考试数学文科试题2010.4


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河北省邯郸市 2013 届高三第二次模拟考试数学文科试题 2013.3
说明: 1. 2. 本试卷共 4 页,包括三道大题,22 道小题,共 150 分。其中第一道大题为选择题。 所有答案请在答题卡上作答,在本试卷和草稿纸上作答无效。答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意 事项”的规定答题。 3. 4. 做选择题时,如需改动,请用橡皮将原选涂答案擦干净,再选涂其他答案。 考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A,B 相互独立,那么

S ? 4πR2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P( A?B) ? P( A)?P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V?

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
k P (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k (k ? 01, 2, ,n) , ? n

其中 R 表示球的半径

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题 目要求的) 1.已 知 M ? ?1,2,3,4? ,且 M ? ?1, 2? ? ?1, 2? 则集合 M 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知函数 y ? f ( x) 的反函数 f ?1 ( x) ? A. 1 B. 3 C. 5

x ?1 ,则 f (2) 等于
D. 10

3.设 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a3 ? a5 ? 4 ,则 S7 等于 A. 13 4.函数 y ? tan( x ? A. (? B. 14 C. 15 D. 16

?
5

) 的单调递增区间是
B. (? D. (?

?

2 2 3? 7? ? k? , ? k? ), k ? Z C. (? 10 10

? k? ,

?

? k? ), k ? Z

7? 3? ? k? , ? k? ), k ? Z 10 10

?

5

? k? ,

?

5

? k? ), k ? Z 1 2 1 2

2 5.如果函数 f ( x) ? x ? bx ? c 对任意的实数 x,都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,那么

A. f (?2) ? f (0) ? f (2)

B. f (0) ? f (?2) ? f (2)

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C. f (2) ? f (0) ? f (?2)

D. f (0) ? f (2) ? f (?2)

6. 在冬奥会比赛中,要从 4 名男运动员和 5 名女运动员中,任选 3 人参加某项比赛,其中男女运动员至 少各有一名的不同选法共有 A.140 种 B.80 种 C.70 种 D.35 种 7.直线 2 x ? y ? 3 ? 0关于直线 ? y ? 2 ? 0 对称的直线方程是 x B . x ? 2 y ? 3 ? 0 C. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 A .

x ? 2y ? 3 ? 0

8. ?ABC 中已知 BC ? 1, AC ? 2, A ? 30? ,则 AB 等于

A.

6? 2 2

B.

6? 2 2

C.

3? 2 6? 2 6? 2 或 D. 2 2 2

9.在一个 45? 的二面角的一个半平面内有一条直线与二面角的棱成 45? 角,则此直线与二面角的另一个半 平面所成的角为 A. 30? B. 45? C. 60? D. 90? 10.已知向量 a, b 为单位向量,且 a ? b ? ?

1 ,向量 c 与 a + b 共线,则 a + c 的最小值为 2
D.

A.1

B.

1 2

C.

3 4

3 2

? x ? 1, ? 11.设二元一次不等式组 ? y ? 4, 所表示的平面区域为 M,使函数 y ? a x ? a ? 0, a ? 1? 的图 ?x ? y ? 6 ? 0 ?

象过区域 M 的 a 的取值范围是 A. [1,3] B.[2,5] C.[2,9] D.[ 10 ,9]

12.已知椭圆的一个焦点为 F,若椭圆上存在点 P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF
的中点,则该椭圆的离心率为

A.

5 3

B.

2 3

C.

2 2

D.

5 9

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.二项式 ( x ?
2

1 6 ) 的展开式中,常数项为 x
2

14.已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 x ? 2 py 相切,则常数 p ? 15.在 ?ABC 中, sin ( A ? B) ? sin A ? sin B , 则 A ? B ?
2 2 2

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16.三棱锥 A ? BCD , AB ? a, CD ? b , ?ABD ? ?BDC , M , N 分别为 AD, BC 的中点, P 为 BD 上一 点,则 MP ? NP 的最小值是 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 17. (本小题满分 10 分)

b 已知向量 a ? ( cos x, 3 sin x) , b ? (4cos x, 2cos x) ,函数 f ( x) ? a? ? k ,(k ? R)
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调增区间; (Ⅱ)若 x ? [0, ? ] 时, f ( x ) 的最大值为 4,求 k 的值.

1 2

18. (本小题满分 12 分) 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 27 个同样大小的小正方体 (Ⅰ)从这些小正方体中任取1个,求其中至少有两面涂有颜色的概率; (Ⅱ)从中任取2个小正方体,求2个小正方体涂上颜色的面数之和为4的概率。 19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,底面边长为 a ,侧棱长为 (Ⅰ)求证: BC1 // 平面 AB1D ; (Ⅱ)求二面角 A ? AB1 ? D 的大小; 1 (Ⅲ)求点 C1 到平面 AB1D 的距离.

2 a , D 是棱 AC1 的中点. 1 2

C1 D A1 C B1

A

B

20. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 为等差数列,且 a5 ? 14 , a7 ? 20 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 1 ? ? ? (n ? N * ) , (Ⅰ)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 cn ? an ? bn , n ? 1,2,3, ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

?1? ? 3?

n

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21. (本小题满分 12 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a, b, c, d ,? R) 的图像关于原点对称,且 x=1 时,f(x)取 极小值 ?

2 . 5

(Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x∈[-1,1]时,图像上是否存在两点,使得在此两点处的切线互相垂直?证明你的结 论.

22. (本小题满分 12 分) 已知点 C (4, 0) 和直线 l : x ? 1 ,作 PQ ? l , 垂足为 Q,且 ( PC ? 2PQ) ? (PC ? 2PQ) ? 0. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ) 过点 C 的直线 m 与点 P 的轨迹交于两点 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ? x1 ? x2 ? 0? 点 B(1, 0) , ?B N 的 若 M 面积为 36 5 ,求直线 m 的方 程.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

河北省邯郸市 2010 届高三第二次模拟考试 数学文科试题参考答案及评分标准 一、选择题 1-5 DCBBD 二、填空题 13.15 三、解答题 17.解:

6-10 CACAD

11-12 BA

14. 2

15.

? 2

16.

a?b 2

f ( x) ? a ? b ? 2 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? k ? 2sin(2 x ? ) ? k ? 1 6
????3 分

?

(Ⅰ)? 2m? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2m? ?

?
2

? m? ?

?
3

? x ? m? ?

?
6

所以 f ( x ) 的单调增区间为 [m? ?

?

, m? ? ](m ? Z ) ; 3 6

?

????5 分

(Ⅱ) f ( x ) 在 ? 0,

?? 2 ? ? ?? ?2 ? 上单调递增, f ( x ) 在 ? , ? ? 上单调递减, f ( x ) 在 ? ? , ? ? 上单调递增, ? ?6 3 ? ? 6? ?3 ?

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f ( ) ? k ? 3 > f (? ) ? k ? 2, 所 以 f ( x) 的 6 k ? 1 ????????????????????10 分

?









k ?3? 4







18. 解:依题意可知,锯成的 27 个小正方体中,有三面有色的有 8 个,二面有色的有 12 个 ,一面有色的 有 6 个,没有色的有 1 个。??????3 分 (Ⅰ) 从这些小正方体中任取1个,含有面数为 i 的事件为 Ai ( i ? 0,1, 2,3 ) ,则其中至少有两面涂颜色的 概率 P= P ( A2 ) ? P ( A3 ) ?

12 8 20 ? ? ;????????6 分 27 27 27

(Ⅱ)根据题意,设从中任取 2 个小正方体,2 个小正方体涂上颜色的面数之和是 2 的事件为 B 则

p ? B? ?

1 1 2 C8C6 ? C12 114 38 ? ? 2 C27 351 117 ????????12 分

19. 解:(Ⅰ) 连结 A B 与 AB1 交于 E , 1 则 E 为 A B 的中点,? D 为 AC1 的中点,? DE 为 ?A BC1 的中 1 1 1 线 , ? BC1 // DE . 又 DE ? 平 面 A B D, BC1 ? 平 面 1

C1
D


A1

F

B1

A B D BC1 //平面 AB1D ??????4 分 ? 1
(Ⅱ)(解法 1)过 D 作 DF ? A1B1 于 F ,由正三棱柱的性质可

E A

C
B
知,

DF ? 平 面 AB1 , 连 结 EF, DE , 在 正 ?A1 B1C1 中 ,

? B1 D ?

3 A1 B 2

在直角三角形 AA D 中,? AD ? 1

AA12 ? A1 D 2 ?

3 a, ? AD ? B1 D. ? DE ? AB1 , 2

由三垂线定理的逆定理可得 EF ? AB1 .则 ? DEF 为二面角 A1 ? AB1 ? D 的平面角, 又得 DF ?

3 a, 4

? ?B1 FE ∽ ?B1 AA1 ,?
∴ ?DEF ?

EF B1E 3 ? ? EF ? a AA1 A1B1 4

?
4

.故所求二面角 A1 ? AB1 ? D 的大小为

? .??????8 分 4

解法(2) (向量法)

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建立如图所示空间直角坐标系,则 A(0,?

1 a,0), 2
D

z
C1 B1
E

1 2 3 2 1 2 B1 (0, a, a), C1 (? a,0, a), A1 (0,? a, a) 2 2 2 2 2 2 D(? 3 1 2 a , ? a, a). 4 4 2 2 3 3 a), B1 D ? (? a,? a,0) 。 2 4 4

A1
C

A

? AB1 ? (0, a,

O

B

y

x

设 n1 ? ( x, y, z) 是平面 AB1 D 的一个法向量,则可得

? 2 ? 2 az ? 0 ?ay ? ?n1 ? AB1 ? 0 z?0 ?y ? ? ? 2 ,所以 ? 即? 取 2 ? 3 3 ?n1 ? B1 D ? 0 ?x ? 3y ? 0 ?? ? ? 4 ax ? 4 ay ? 0 ? ?
y ? 1 可得 n1 ? (? 3,1,? 2 ).
又平面 AB1 的一个法向量 n2 ? OC ? (?

3 a,0,0), 设 n1与n2的夹角是 , ? 则 2

cos? ?

n1 ? n2 n1 ? n2

?

2 . 又 知 二 面 角 A1 ? AB1 ? D 是 锐 角 , 所 以 二 面 角 A1 ? AB1 ? D 的 大 小 是 2

? . ??????????????????????????8 分 4
( Ⅲ ) 设 求 点 C1 到 平 面 A B D的 距 离 h ; 因 AD2 ? DB1 2? AB1 2, 所 以 A D? D1 B 故 , 1

1 3 3 1 3 2 S?ADB1 ? ( a)2 ? a 2 ,而 S?C1B1D ? S?A1B1C1 ? a ??????10 分 2 2 8 2 8
由 VC1 ? AB1D ? VA?C1B1D ? S?AB1D ? h ?

1 3

1 6 S?C1B1D ? AA1 ? h ? a ?????12 分 3 6
1 (a7-a5 ) ? 3 ,可得 an ? 3n ? 1???2 分 2
n n ?1

20.解:(Ⅰ) 数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ?

2 2 ?1? ?1? n ? 1 b1 ? s1 ? , 当n ? 2时, bn ? sn ? sn?1 ? ? ? ? ? ? ? ? n , 3 3 ? 3? ? 3? 2 显然 n=1 时也适合.所以 bn ? n .?????????????????????4 分 3 2 1 (Ⅱ) a n ? 3n ? 1 bn ? n 得 c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? n . 由 ????????????? , 3 3

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7分

1 1 1 1 ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 ? ? 1 Tn ? 2?2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n?1 ? 3 3 3 3 ? ? 3 2 1 1 1 1 1 1 两式相减得 Tn ? 2[3 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] . ???10 分 3 3 3 3 3 3 3 7 7 1 n 所以 Tn ? ? ? n ? n ?1 ?????????12 分 2 2 3 3
∴ Tn ? 2[2 ? 21.解:(Ⅰ) 因为函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a, b, c, d ,? R) 的图像关于原点对称, 所以 f (? x) ? f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 即 ?ax ? bx ? cx ? d ? ax ? bx ? cx ? d ? 0 对任意 x ? R 恒成立,
3 2 3 2 2 所以 2bx ? 2d ? 0 恒成立,故 b ? d ? 0 ,???????3 分

故 f ( x) ? ax ? cx ,
3

又 x ? 1 时, f ( x ) 取极小值 ?

2 2 ,所以 f ?(1) ? 0 ,且 f (1) ? ? , 5 5

所以 3a ? c ? 0 ??????①

2 a ? c ? ? ????????② 5 1 3 解得: a ? , c ? ? ; 5 5 1 3 3 所以 f ( x) ? x ? x , x ? R )???????????????????6 分 ( 5 5
(Ⅱ)当 x ?[?1,1] 时,图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直. 证明如下: (方法 1,用反证法) ①假设在 f ( x ) 的图像上存在两点 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,使得在此两点处的切线互相垂直,由(Ⅰ) 可知

3 f ?( x) ? ( x 2 ? 1) ,且在 P, Q 两点处的切线斜率均存在. 5 3 2 2 2 由假设 则有 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? ( ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ?1 ,??????????8 分 5 25 2 2 ?0, 从而 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ? 9
2 2 2 2 另一方面, x1 , x2 ?[?1,1] ,所以 x1 ? 1, x2 ? 1 ,所以 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? 0 ,

与前式显然矛盾.所以, 当 x ?[?1,1] 时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直.??????12 分

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(方法 2) 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) 为 f ( x ) 的图像上两点,由(Ⅰ) 可知 f ?( x) ? 且在点 P( x1 , y1 ) 和点 Q( x2 , y2 ) 处的两条切线的斜率均存在. 不妨设在点 P( x1 , y1 ) 处的切线斜率为 k1 ,在点 Q( x2 , y2 ) 处的切线斜率为 k2 , 则 k1 ? 所以

3 2 ( x ?1) , 5

3 2 3 ( x1 ? 1) , k2 ? ( x2 2 ? 1) ;??????8 分 5 5 3 k1 k2 ? ( )2 ( x21 ? 1 ) x22 ? , ) ( 1 5

由题意, x1, x2 ?? ?1,1? , 所以 k1k2 ? ( ) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,即 k1k2 ? ?1
2 2 2

3 5

综上所述,当 x ?[?1,1] 时,图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直. ??12 分 22.解:(Ⅰ) 由已知 ( PC ? 2PQ) ? ( PC ? 2PQ) ? 0, 知 PC ? 4 PQ ? 0 . 所以 PC ? 2 PQ 设 P( x, y) ,代入上式得 ( x ? 4) ? y ? 2 x ? 1
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1. ??????????????????????4 分 平方整理得. 4 12
(Ⅱ)由题意可知设直线 m 的斜率不为零,且 C (4, 0) 恰为双曲线的右焦点, 设直线 m 的方程为 x ? ty ? 4 ,

? x2 y 2 ?1 ? ? 由 ? 4 12 ? (3t 2 ? 1) y 2 ? 24ty ? 36 ? 0 ?????????????6 分 ? x ? ty ? 4 ?
若 3t ? 1 ? 0 ,则直线 m 与双曲线只有一个交点,这与 x1 x2 ? 0 矛盾,故 3t ? 1 ? 0 .
2 2

?24t ? ? y1 ? y2 ? 3t 2 ? 1 ? 由韦达定理可得 ? ? y y ? 36 ? 1 2 3t 2 ? 1 ?

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? x1 x2 ? (ty1 ? 4)(ty2 ? 4) ? t 2 y1 y2 ? 4t ( y1 ? y2 ) ? 16 ? t2 36 ?24t 3t 2 ? 4 1 ??????????8 分 ? 4t 2 ? 16 ? 0 ? 2 ? 0 ? t2 ? , 3t 2 ? 1 3t ? 1 3t ? 1 3
2 2 1 3 (24t ) ? 4 ? 36 ? 3t ? 1? 18 1 ? t 2 18 1 ? t 2 ? BC y1 ? y2 ? ? ? ? 36 5 2 2 1 ? 3t 2 3t 2 ? 1 3t 2 ? 1

? S?ABC
? t2 ?

19 1 1 1 1 或t 2 ? ,? t 2 ? , ? t 2 ? ? t ? ? . ????????????10 分 45 4 3 4 2

故直线 l 的方程为 2 x ? y ? 8 ? 0或2 x ? y ? 8 ? 0 .????????????12 分


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