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高中数学人教B版必修4典型例题讲解第二章平面向量1

第二章 平面向量 1 一、向量的基本概念 课型 A 例 1.下列结论中:①互为相反向量的两个向量模相等; ②若向量 AB 与 CD 是共线的向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上; ③若 a ? b ,则 a ? b 或 ; ④若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ; 其中正确结论的个数是 ( D A.4 B. 3 ) C.2 D.1 ) 例 2. e1 , e2 是两个单位向量,下列命题中正确的是 ( C A. e1 ? e 2 ? 1 B. e1 ? e 2 2 C. e1 ? e2 2 D. e1 // e 2 例 3.下列命题中:①若 a 与 b 互为负向量,则 a+b=0;②若 k 为实数,且 k· a=0,则 a =0 或 k=0;③若 a· b=0,则 a=0 或 b=0;④若 a 与 b 为平行的向量,则 a· b=|a||b|;⑤ 若|a|=1,则 a=±1.其中假命题的个数为( C ) A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 例 4.设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ③ ?OA ? OC ? OB ? CO 解:①原式= ( AB ? BC) ? CD ? AC ? CD ? AD ②原式= ( DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ③原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 二、向量的运算:课型 B 例 5.在平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b , AN ? 3NC ,M 是 BC 的中点, 则 MN ? ____________. (用 a 、 b 表示) 1 1 ? a- b 4 4 例 6. 如图: 已知在平行四边形 ABCD 中, AH=HD, BF=MC= 试用 a 、 b 分别表示 AM 、 MH 、 AF 解:∵ ABCD 中,BF=MC= 1 BC, 设 AB = a ,AD = b , 4 1 BC, 2 B a A F M C H b D ∴FM= 1 1 BC= AD=AH ∴FM 2 2 AH ∴四边形 AHMF 也是平行四边形,∴AF=HM 3 3 3 1 1 BC ? AD ? a , 而 FB ? ? BC ? ? b 4 4 4 4 4 3 1 ∴ AM ? AB ? BM = a + b , MH ? FA ? FB ? BA = ? b ? a 4 4 1 1 AF ? ? FA ? ?(? b ? a ) = b+ a 4 4 又 BM ? 例 7.求证:起点相同的三个非零向量 a , b ,3 a -2 b 的终点在同一条直线上. 证明:设起点为 O, OA = a , OB = b , OC =3 a -2 b , 则 AC ? OC ? OA =2( a - b ), AB ? OB ? OA = b - a , AC ? ?2 AB , ∵ AC, AB 共线且有公共点 A,因此,A,B,C 三点共线, 即向量 a , b ,3 a -2 b 的终点在同一直线上 例 8.已知 a ? 4, b ? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120 。求: 0 (1) (a ? 2b) ? (a ? b) ; (2) a 与 a ? b 的夹角。 解: a ? b ? a ? b ? cos120 ? ?4 0 2 2 …………… (1) (a ? 2b) ? (a ? b) ? a ? a ? b ? 2b ? 16 ? (?4) ? 2 ? 4 ? 12 (2) a ? (a ? b) ? a ? a ? b ? 16 ? 4 ? 12 , a ? b ? (a ? b)2 ? 2 3 2 ? cos ? a, a ? b ?? a ? ( a ? b) a ? a?b ? 12 3 0 ,所以 a 与 a ? b 的夹角是 30 。 ? 2 4? 2 3 例 9.在 ?ABC 中, AC ? 4, BC ? 3 , ?ACB ? 90? ,点 D 在 AB 上,且 BD ? 2AD , 求 AB ? CD 的值. B D C A ∵ AB ? AC ? CB ? ?CA ? CB , BD ? 2AD , ∴ CD ? CA ? AD ? CA ? AB ? CA ? CB , ∵ AC ? 4 , BC ? 3 , ?ACB ? 90? , ∴ AC ? CB ? 0 , AC ?| AC |2 ? 16 , CB ?| CB |2 ? 9 . ∴ AB ? CD ? (?CA ? CB) ? ( CA ? CB) ? ? AC ? CB ? CA ? CB ? ? 例 10.已知非零向量 a 与 b 满足 a ? 1, ( a ? b) ? ( a ? b) ? (1)求 b ; (2)当 a ? b ? 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 3 2 3 1 3 1 3 2 1 3 23 3 1 2 1 时,求向量 a 与 b 的夹角 ? 的值. 2 1 1 a 2 ? b2 ? 2, 2 ,即 (a ? b ) ? (a + b ) ? 解: (1)因为 b ? a ? 所以 2 2 1 1 1 2 ? 1? ? b ? 2 2 2 ,故 2 . a?b 2 ? a b (2)因为 cos ? ? = 2 , 又 0 ? ? ? 180? , ? ? 4

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