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2018北师大版(理)数学练习:热点探究课4 立体几何中的高考热点题型含解析


热点探究课(四) [命题解读] 立体几何中的高考热点题型 1.立体几何是高考的重要内容,每年基本上都是一个解答题, 两个选择题或填空题.客观题主要考查空间概念,点、线、面位置关系的判定、 三视图.解答题主要采用“论证与计算”相结合的模式,即首先是利用定义、定 理、公理等证明空间的线线、线面、面面平行或垂直,再利用空间向量进行空间 角的计算.2.立体几何重点考查学生的空间想象能力、数学运算和逻辑推理论证 能力.考查的热点是以几何体为载体的平行与垂直的证明、二面角的计算,平面 图形的翻折,探索存在性问题,突出了转化化归思想与数形结合的思想方法. 热点 1 空间点、线、面间的位置关系 空间线线、线面、面面平行、垂直关系常与平面图形的有关性质及体积的计 算等知识交汇考查, 考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思 想,一般以解答题的形式出现,难度中等. 如图 1 所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1 =AC=2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. 图1 (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 EABC 的体积. [解] 分 又因为 AB⊥BC,BB1∩BC=B,所以 AB⊥平面 B1BCC1.又 AB ?平面 ABE, 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. 4分 (1)证明:在三棱柱 ABCA1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥AB. 2 ① ② (2)证明:法一:如图①,取 AB 中点 G,连接 EG,FG. 因为 G,F 分别是 AB,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC. 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形, 所以 C1F∥EG. 又因为 EG ?平面 ABE,C1F 所以 C1F∥平面 ABE. 法二:如图②,取 AC 的中点 H,连接 C1H,FH. 因为 H,F 分别是 AC,BC 的中点,所以 HF∥AB. 又因为 E,H 分别是 A1C1,AC 的中点, 所以 EC1∥ ═AH,所以四边形 EAHC1 为平行四边形, 所以 C1H∥AE,又 C1H∩HF=H,AE∩AB=A, 所以平面 ABE∥平面 C1HF. 又 C1F ?平面 C1HF, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC2-BC2= 3. 所以三棱锥 EABC 的体积 1 1 1 3 V= S△ABC· AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3 [规律方法] 12 分 10 分 8分 6分 平面 ABE, 8分 6分 1.(1)证明面面垂直,将“面面垂直”问题转化为“线面垂 直”问题,再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题. (2)证明 C1F∥平面 ABE:①利用判定定理,关键是在平面 ABE 中找(作)出直 线 EG,且满足 C1F∥EG.②利用面面平行的性质定理证明线面平行,则先要确定 一个平面 C1HF 满足面面平行,实施线面平行、面面平行的转化. 2.计算几何体的体积时,能直接用公式时,关键是确定几何体的高,而不 能直接用公式时,注意进行体积的转化. [对点训练 1] (2017· 天津联考)如图 2,四边形 ABCD 为直角梯形,AB∥CD, 1 AB⊥BC,△ABE 为等边三角形,且平面 ABCD⊥平面 ABE,C

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