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江苏省金陵中学2011届高三第二次模拟考试试卷


届高三第二次模拟考试试卷 第二次模拟考试 江苏省金陵中学 2011 届高三第二次模拟考试试卷 数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第 1 至第 2 页,第Ⅱ 卷第 3 至第 4 页.全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 考生注意事项: 1. 答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题 卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致. 2. 答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3. 答第Ⅱ卷时,必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效. 4. 考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回. 参考公式: 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 球的表面积公式

S = 4πR 2

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 R 表示球的半径

P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果随机变量 ξ

球的体积公式

V=

4 3 πR 3

B(n, p), 那么

其中 R 表示球的半径

A.必做题部分
(本大题共 小题, 一、填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 填空题: ( 应答题线上 ) 应答题线上. 1.集合 A = {x | x 2 + x ? 2 ≤ 0 , x ∈ Z } ,则集合 A 中所有元素之和为 2.如果实数 p 和非零向量 a 与 b 满足 p a + ( p + 1)b = 0 ,则向量 a 和 b (填“共线”或“不共线”. ) 3.△ ABC 中,若 sin A = 2 sin B , AC = 2 ,则 BC = . . .

4.设 f ( x) = 3ax ? 2a + 1 , a 为常数.若存在 x0 ∈ (0,1) ,使得 f ( x0 ) = 0 ,则实数 a 的取 值范围是 .

5.已知复数 z1 = ?1 + ai , z 2 = b ? 3i , a, b ∈ R ,且 z1 + z 2 与 z1 ? z 2 均为实数,则

z1 = z2

. .
1

6.右边的流程图最后输出的 n 的值是

7.若实数 m 、 n ∈ { ? 1 ,1 , 2 , 3 },且 m ≠ n ,则曲线 双曲线的概率是 .

x2 y2 + = 1 表示焦点在 y 轴上的 m n

8. 已知下列结论: ①

? x + x2 > 0 x1 、 x 2 都是正数 ? ? 1 , ? x1 x 2 > 0
? x1 + x 2 + x3 > 0 ? x1 、 x 2 、 x3 都是正数 ? ? x1 x 2 + x 2 x3 + x3 x1 > 0 , ? x1 x 2 x3 > 0 ?
x1 + x2 + x3 + x4 > 0



则由①②猜想:

x1 、x 2 、x3 、x 4 都是正数 ?

x1 x 2 + x1 x 3 + x1 x 4 + x 2 x 3 + x 2 x 4 + x 3 x 4 > 0

x1 x2 x3 x4 > 0.

9.某同学五次考试的数学成绩分 别是 120, 129, 121,125,130,则这五次考试成绩的方差是 10.如图,在矩形 ABCD 中, AB =



3 , BC = 1 ,以 A 为圆心,1 为半径作四分之一个

圆 弧 DE , 在 圆 弧 DE 上 任 取 一 点 P , 则 直 线 AP 与 线 段 BC 有 公 共 点 的 概 率 是 . 11.用一些棱长为 1cm 的小正方体码放成一个几何体,图 1 为其俯视图,图 2 为其主视图则 这个几何体的体积最大是 cm3.

2

图 1(俯视图) 图 2(主视图) 12.下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据, 4.5 4 3 2.5 由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程 是 . 13.已知 xOy 平面内一区域 A ,命题甲:点 ( a, b) ∈ {( x, y ) || x | + | y |≤ 1} ;命题乙:点 月份 x 用水量 y 1 2 3 4

(a, b) ∈ A .如果甲是乙的充分条件,那么区域 A 的面积的最小值是
14.设 P 是椭圆



x2 y2 + = 1 上任意一点, A 和 F 分别是椭圆的左顶点和右焦点, 25 16
1 PA ? AF 的最小值为 4


则 PA ? PF +

(本大题共 小题,共 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 ) 二、解答题: 本大题共 6 小题 共 90 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 解答题: ( 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 15.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC = BC = BB1 = 1 , AB1 = (1)求证:平面 AB1C ⊥ 平面 B1CB ;

3.

(2)求三棱锥 A1 ? AB1C 的体积.

C1 A1 B1

C 16.某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理 设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费 一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以 后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (1)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (2) 问为使该企业的年平均污水处理费用最低, 该企业几年后需要重新更换新的污水处理设 备? A B

3

17.如图,已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 y = 另一圆 N 与圆 M 外切、且与 x 轴及直线 y =

3 x 分别相切于 A 、 B 两点,

3 x 分别相切于 C 、 D 两点.

(1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度.

y
D N B M O A C

x

18.已知函数 f ( x ) = sin x ? cos x , x ∈ R . (1)求函数 f (x ) 在 [0,2π ] 内的单调递增区间; (2)若函数 f (x ) 在 x = x0 处取到最大值,求 f ( x0 ) + f ( 2 x0 ) + f (3 x 0 ) 的值; (3)若 g ( x) = e x ( x ∈ R ) ,求证:方程 f ( x) = g ( x) 在 [0,+∞ ) 内没有实数解. (参考数据: ln 2 ≈ 0.69 , π ≈ 3.14 )

4

19.已知函数 f ( x ) =

1 3 x ? 2 x 2 + 3 x ( x ∈ R )的图象为曲线 C . 3

(1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标 的取值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件 的所有直线方程;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 18 分) 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 是 a n = 2 大的顺序排列构成的数列记为 {c n } . (1)若 c n = n , n ∈ N ,求数列 {bn } 的通项公式;
*

n ?1

, 数 列 {bn } 是 等 差 数 列 , 令 集 合

A = {a1 , a 2 , L , a n , L} , B = {b1 , b2 , L , bn , L} , n ∈ N * .将集合 A U B 中的元素按从小到

(2) A I B = φ , 若 数列 {c n } 的前 5 项成等比数列, c1 = 1 ,c9 = 8 , 且 求满足 的正整数 n 的个数.

c n +1 5 > cn 4

5

B.附加题部分
小题,其中第 题为必做题, 三、附加题部分(本大题共 6 小题 其中第 21 和第 22 题为必做题,第 23~26 题为选做题, 附加题部分( ~ 题为选做题, 个小题作答,如果多做,则按所选做的前两题记分. 请考生在第 23~26 题中任选 2 个小题作答,如果多做,则按所选做的前两题记分.解答应 ~ 写出文字说明,证明过程或演算步骤 ) 证明过程或演算步骤. 写出文字说明 证明过程或演算步骤. 21. (本小题为必做题,满分 12 分) ... 已知直线 y = 2 x + k 被抛物线 x 2 = 4 y 截得的弦长 AB 为 20, O 为坐标原点. (1)求实数 k 的值; (2)问点 C 位于抛物线弧 AOB 上何处时,△ ABC 面积最大?

22. (本小题为必做题,满分 12 分) ... 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分, 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生 (可在高考中加分录取) 两次考试过程相互独 , 立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别
6

是 0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是 0.5,0.6,0.75. (1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率; (2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为 ξ ,求随机变量 ξ 的期望 E (ξ ) .

23. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点, AE 的延长线交 BC 于 F . (1)求

BF 的值; FC

(2)若△ BEF 的面积为 S1 ,四边形 CDEF 的面积为 S 2 ,求 S1 : S 2 的值.
A

D E

B

F

C

24. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 已知直线 l 的参数方程: ?

x = t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程: ? ? y = 1 + 2t

π ρ = 2 2 sin(θ + ) .
4
(1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

7

25. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 试求曲线 y = sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式,其中 M = ?

?1 ? ?1 0? 0? ,N = ? 2 . ? ? 0 1? ?0 2 ? ? ?

26. (本小题为选做题,满分 8 分) ... 用数学归纳法证明不等式:

1 1 1 1 + + + L + 2 > 1(n ∈ N ?且n > 1) . n n +1 n + 2 n

8

参考答案
A.必做题部分
(本大题共 小题, 一、填空题: 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题: ( ) 1.? 2 2. 共线 3. 4 4.( ?∞, ?1) ∪ ( , +∞)

1 2

5.?

1 3 i ? 2 2

6. 5

7.

1 4

8. x1 x 2 x3 + x1 x 2 x 4 + x1 x3 x 4 + x 2 x3 x 4 > 0 13.2 14. ? 9

9.16.4 10.

1 3

11.7

? 12. y = ?0.7 x + 5.25

(本大题共 小题,共 二、解答题: 本大题共 6 小题 共 90 分. 解答题: ( ) 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC, 则 BB1⊥AB,BB1⊥BC,-----------------------------------------------------3 分 又由于 AC=BC=BB1=1,AB1= 3 ,则 AB= 2 , 则由 AC2+BC2=AB2 可知,AC⊥BC,---------------------------------------6 分 又由上 BB1⊥底面 ABC 可知 BB1⊥AC,则 AC⊥平面 B1CB, 所以有平面 AB1C⊥平面 B1CB;----------------------------------------------9 分 (2)三棱锥 A1—AB1C 的体积 V A1 ? AB1C = V B1 ? A1 AC = (注:还有其它转换方法) 16. (本小题满分 14 分) 解: (1) y =

1 1 1 × × 1 = .-----14 分 3 2 6

100 + 0.5 x + (2 + 4 + 6 + L + 2 x) x 100 即y = x+ + 1 .5 ( x > 0 ) ;------------------------------------------7 分 x
*

(不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ∈ N 也行) (2)由均值不等式得:

y = x+
当且仅当 x =

100 100 + 1.5 ≥ 2 x ? + 1.5 = 21.5 (万元)-----------------11 分 x x
100 ,即 x = 10 时取到等号.-----------------------------------13 分 x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.---------------------------------------14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上,
9

同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA 的平分线, ∵M 的坐标为 ( 3 ,1) ,∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 则⊙M 的方程为 ( x ? 3 ) + ( y ? 1) = 1 ,-------------------------------4 分
2 2

设⊙N 的半径为 r ,其与 x 轴的的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即

r 1 = ? r = 3, 3+ r r

则 OC= 3 3 ,则⊙N 的方程为 ( x ? 3 3 ) 2 + ( y ? 3) 2 = 9 ;----------8 分 (2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙ N 截得的弦 的长度,此弦的方程是 y =

3 ( x ? 3 ) ,即: x ? 3 y ? 3 = 0 , 3 3 ,--------------------- ------------------ -11 分 2

圆心 N 到该直线的距离 d= 则弦长= 2 r ? d
2

2

= 33 .----------------------------------------------------14 分

另解: 求得 B (

3 3 , ) 再得过 B 与 MN 平行的直线方程 x ? 3 y + 3 = 0 , , 2 2 3 2 2 ,则弦长= 2 r ? d = 33 . 2

圆心 N 到该直线的距离 d ′ =

(也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离,进而求得弦长)

18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x ) = sin x ? cos x = 令x?

2 sin( x ?

π
4

),

π
4

∈ [2kπ ?

π
2

,2kπ +

π
2

](k ∈ Z )

3π ] ,------------------------------------------------2 分 4 4 3π 7π 由于 x ∈ [0,2π ] ,则 f (x ) 在 [0,2π ] 内的单调递增区间为 [0, ] 和 [ ,2π ] ; 4 4 3π 7π (注:将单调递增区间写成 [0, ] U [ ,2π ] 的形式扣 1 分) 4 4 3π (k ∈Z ) ,-------------------------------------6 分 (2)依题意, x 0 = 2kπ + 4
则 x ∈ [ 2kπ ?

π

,2kπ +

10

由周期性, f ( x0 ) + f ( 2 x0 ) + f (3 x 0 )

= (sin

3π 3π 3π 3π 9π 9π ? cos ) + (sin ? cos ) + (sin ? cos ) = 2 ? 1 4 4 2 2 4 4
-----------------8 分



(3)函数 g ( x) = e x ( x ∈ R )为单调增函数, 且 当 x ∈ [0,

π
4

] 时 , f ( x) ≤ 0 , g ( x) = e x > 0 , 此 时 有 f ( x) < g ( x) ;
-------------10 分

当x∈?

π 1 ?π ? ,+∞ ? 时,由于 ln e 4 = ≈ 0.785 ,而 ln 2 = ln 2 ≈ 0.345 , 4 2 ?4 ?
π

π

则有 ln e 4 > ln 2 ,即 g ( ) = e 4 >

π

π

4

2,

又Q g ( x ) 为增函数,∴ 当 x ∈ ?

?π ? ,+∞ ? 时, g ( x) > 2 ?4 ?
2,

------12 分

而函数 f (x ) 的最大值为 2 ,即 f ( x ) ≤ 则当 x ∈ ?

?π ? ,+∞ ? 时,恒有 f ( x) < g ( x) , ?4 ?

综上,在 [0,+∞ ) 恒有 f ( x ) < g ( x ) ,即方程 f ( x ) = g ( x ) 在 [0,+∞ ) 内没有实数 解.--------------------------------------------------------------------------------------------14 分 19. (本小题满分 16 分) 解: (1) f ′( x ) = x 2 ? 4 x + 3 ,则 f ′( x ) = ( x ? 2) 2 ? 1 ≥ ?1 , 即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是 [? 1,+∞ ) ;------------4 分 (2)由(1)可知, ? 1

? k ≥ ?1 ? ---------------------------------------------------------6 分 ? ≥ ?1 ? k ?
2 2

解得 ? 1 ≤ k < 0 或 k ≥ 1 ,由 ? 1 ≤ x ? 4 x + 3 < 0 或 x ? 4 x + 3 ≥ 1 得: x ∈ ? ∞,2 ?

(

2 U (1,3) U 2 + 2 ,+∞ ;-------------------------------9 分

]

[

)

(3)设存在过点 A ( x1 , y1 ) 的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B ( x 2 , y 2 ) ,

x1 ≠ x 2 ,
11

则切线方程是: y ? ( x1 ? 2 x1 + 3 x1 ) = ( x1 ? 4 x1 + 3)( x ? x1 ) ,
3 2 2

1 3

2 3 2 x1 + 2 x1 ) ,--------------------------11 分 3 2 3 2 2 而过 B ( x 2 , y 2 ) 的切线方程是 y = ( x 2 ? 4 x 2 + 3) x + ( ? x 2 + 2 x 2 ) , 3
化简得: y = ( x1 ? 4 x1 + 3) x + ( ?
2

由于两切线是同一直线, 则有: x1 ? 4 x1 + 3 = x 2 ? 4 x 2 + 3 ,得 x1 + x 2 = 4 ,----------------------13 分
2 2

又由 ? 即?

2 3 2 3 2 2 x1 + 2 x1 = ? x 2 + 2 x 2 , 3 3

2 2 2 ( x1 ? x 2 )( x1 + x1 x 2 + x 2 ) + 2( x1 ? x 2 )( x1 + x 2 ) = 0 3

1 2 2 2 ? ( x1 + x1 x 2 + x 2 ) + 4 = 0 ,即 x1 ( x1 + x 2 ) + x 2 ? 12 = 0 3
即 ( 4 ? x 2 ) × 4 + x 2 ? 12 = 0 , x 2 ? 4 x 2 + 4 = 0
2 2

得 x 2 = 2 ,但当 x 2 = 2 时,由 x1 + x 2 = 4 得 x1 = 2 ,这与 x1 ≠ x 2 矛盾。 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点。----------------------------------16 分 20. (本小题满分 18 分) 解: (1)若 c n = n ,因为 5,6,7 ? A ,则 5,6,7 ∈ B , 由此可见,等差数列 {bn } 的公差为 1,而 3 是数列 {bn } 中的项, 所以 3 只可能是数列 {bn } 中的第 1,2,3 项, 若 b1 = 3 ,则 bn = n + 2 , 若 b2 = 3 ,则 bn = n + 1 , 若 b3 = 3 ,则 bn = n ;-----------------------------------------------------------4 分 (注:写出一个或两个通项公式得 2 分,全部写出得 4 分) (2)首先对元素 2 进行分类讨论: ①若 2 是数列 {c n } 的第 2 项,由 {c n } 的前 5 项成等比数列,得

c 4 = 2 3 = 8 = c9 ,这显然不可能;
②若 2 是数列 {c n } 的第 3 项,由 {c n } 的前 5 项成等比数列,得 b1 = 2 ,
2

因为数列 {c n } 是将集合 A U B 中的元素按从小到大的顺序排列构成的, 所以 bn > 0 ,则 b1 = 这样 bn =

2 ,因此数列 {c n } 的前 5 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4,

2n ,

则数列 {c n } 的前 9 项分别为 1, 2 ,2, 2 2 ,4, 3 2 , 4 2 , 5 2 ,8, 上述数列符合要求;---------------------------------------------------------10 分 ③若 2 是数列 {c n } 的第 k 项( k ≥ 4 ) ,则 b2 ? b1 < 2 ? 1 , 即数列 {bn } 的公差 d < 1 ,
12

所以 b6 = b1 + 5d < 2 + 5 = 7 ,1,2,4< c9 ,所以 1,2,4 在数列 {c n } 的 前 8 项中,由于 A I B = φ ,这样, b1 , b2 ,…, b6 以及 1,2,4 共 9 项, 它们均小于 8, 即数列 {c n } 的前 9 项均小于 8,这与 c9 = 8 矛盾。 综上所述, bn =

2n ,---------------------------------------------------------12 分
c n +1 5 = 2> , cn 4

其次,当 n ≤ 4 时,

c6 3 2 5 c7 4 5 = < , = > ,-------------------------------------------14 分 4 4 c6 3 4 c5
当 n ≥ 7 时, c n ≥ 4 2 ,因为 {bn } 是公差为 2 的等差数列, 所以 c n +1 ? c n ≤ 所以

2 ,----------------------------------------------------------16 分

c n +1 c n + c n +1 ? c n c ?c 2 5 = = 1 + n +1 n ≤ 1 + = , cn cn cn 4 2 4

此时的 n 不符合要求。所以符合要求的 n 一共有 5 个。-------------------18 分

B.附加题部分 附加题部分
三、附加题部分 附加题部分: 题部分 21. (必做题) (本小题满分 12 分) 解: (1)将 y = 2 x + k 代入 x 2 = 4 y 得 x ? 8 x ? 4k = 0 ,----------------------2 分
2

由△ = 64 + 16k > 0 可知 k > ?4 , 另一方面,弦长 AB =

5 × 64 + 16k = 20 ,解得 k = 1 ;-------------6 分

(2)当 k = 1 时,直线为 y = 2 x + 1 ,要使得内接△ABC 面积最大,

′ 则只须使得 y C =

1 × 2 xC = 2 ,-----------------------------------------------10 分 4

即 xC = 4 ,即 C 位于(4,4)点处.----------------------------------------12 分 22. (必做题) (本小题满分 12 分) 解: (1)分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件 A1 、 A2 、 A3 ;

E 表示事件“恰有一人通过笔试”
则 P ( E ) = P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 ) + P ( A1 A2 A3 )

= 0 .6 × 0 .5 × 0 .6 + 0 .4 × 0 .5 × 0 .6 + 0 .4 × 0 .5 × 0 .4 = 0.38 ---------------------------------------------------------------------6 分
13

(2)解法一:因为甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格的概率均为 p = 0.3 , ---------------------------------------------------------------------9 分 所以 ξ ~ B (3, ,故 E (ξ ) = np = 3 × 0.3 = 0.9 .-------------12 分 0.3) 解法二:分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件 A,B,C , 则 P ( A) = P ( B ) = P (C ) = 0.3 所以 P (ξ = 1) = 3 × (1 ? 0.3) × 0.3 = 0.441 ,
2

P(ξ = 2) = 3 × 0.32 × 0.7 = 0.189 , P(ξ = 3) = 0.33 = 0.027 .
于是, E (ξ ) = 1× 0.441 + 2 × 0.189 + 3 × 0.027 = 0.9 .

23. (选做题) (本小题满分 8 分) 证明: (1)过 D 点作 DG∥BC,并交 AF 于 G 点, -------------------------2 分 ∵E 是 BD 的中点,∴BE=DE, 又∵∠EBF=∠EDG,∠BEF=∠DEG, ∴△BEF≌△DEG,则 BF=DG, ∴BF:FC=DG:FC, 又∵D 是 AC 的中点,则 DG:FC=1:2, 则 BF:FC=1:2;----------------------------------------------4 分 (2)若△BEF 以 BF 为底,△BDC 以 BC 为底, 则由(1)知 BF:BC=1:3, 又由 BE:BD=1:2 可知 h1 : h2 =1:2,其中 h1 、 h2 分别为△BEF 和△BDC 的高, 则

S ?BEF 1 1 1 = × = ,则 S1 : S 2 =1:5. -----------------------8 分 S ?BDC 3 2 6
A

G E

D

B

F

C

24. (选做题) (本小题满分 8 分) 解: (1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y = 2 x + 1 ;-----------------------2 分

π ρ = 2 2 (sin θ + ) 即 ρ = 2(sin θ + cos θ ) ,
4
14

两边同乘以 ρ 得 ρ = 2( ρ sin θ + ρ cos θ ) ,
2

消去参数 θ ,得⊙ C 的直角坐标方程为:

( x ? 1) 2 + ( x ? 1) 2 = 2 --------------------------------------------------------------4 分
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d =

| 2 ?1+1| 2 +1
2 2

=

2 5 < 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交.---------------------------------------8 分 25. (选做题) (本小题满分 8 分) 解:MN = ?

?1 0? ? 1 0? ? 1 ? = ?2 ? ?2 ?0 2 ? ? 0 1 ? ? 0 ? ? ?

? 0? ,---------------------------------------------------4 分 ? 2?

?x? ? x ′′ ? ? 1 x ? 即在矩阵 MN 变换下 ? ? → ? ? = ? 2 ? ,-------------------------------------6 分 ? y? ? y ′′? ? 2 y ? ? ?


1 y ′′ = sin 2 x ′′ , 2

即曲线 y = sin x 在矩阵 MN 变换下的函数解析式为 y = 2 sin 2 x .----------8 分

26. (选做题) (本小题满分 8 分) 证明: (1)当 n = 2 时,左边=

1 1 1 13 + + = > 1 ,∴ n = 2 时成立 2 3 4 12 1 1 1 1 (2)假设当 n = k ( k ≥ 2) 时成立,即 + + +L + 2 > 1 k k +1 k + 2 k
那么当 n = k + 1 时,左边 =

----------2 分

1 1 1 1 +L + 2 + ( 2 +L + ) k +1 k k +1 (k + 1) 2

=

1 1 1 1 1 1 + +L + 2 + ( 2 +L + )? 2 k k +1 k k +1 (k + 1) k

> 1 + (2k + 1) ?

1 1 k 2 ? k ?1 ? = 1+ >1 k 2 +1 k k (k 2 + 1)

--------------------------------------------------7 分 根据(1) (2)可得不等式对所有的 n > 1 都成立 ----------------------------------8 分

∴ n = k + 1 时也成立

15



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