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5第三章 系的扩充与复数

《数学选修 2-2》数系的扩充与复数
524500 广东省吴川市第一中学命题:冯奕尖 审稿:柯厚宝
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是最符合题目要求的.)
1、下面有四个命题:① a,b 是两个相等的实数,则 (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数;②任何两个

复数不能比较大小;③若 z1 , z2 ?C ,且 z12 ? z22 ? 0 ,则 z1 ? z2 ? 0 ;④两个共轭虚数的差为纯虚数.

其中正确的有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

2、设 z ? (2t2 ? 5t ? 3) ? (t2 ? 2t ? 2)i , t ?R ,则下列命题中正确的是( )

A. z 的对应点 Z 在第一象限 C. z 不是纯虚数

B. z 的对应点 Z 在第四象限 D. z 是虚数

3、 (1 ? i)20 ? (1 ? i)20 的值是( )

A. 64

B. 32

C. 0

D. ?4

4、已知 3 ? 3i ? z ? (?2 3i) ,那么复数 z 在平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

5、若? ? ? 1 ? 3 i ,则?4 ? ?2 ?1 等于( ) 22

A.1 B. 0 C. 3 ? 3i D. ?1 ? 3i

6、复数 z ? (a2 ? 2a) ? (a2 ? a ? 2)i 对应的点在虚轴上,则( )

A. a ? 2 或 a ? 1

B. a ? 2 且 a ? 1

C. a ? 0 D. a ? 2 或 a ? 0

7、若1? i 是实系数方程 x2 ? bx ? c ? 0 的一个根,则方程的另一个根为( )

A. ?1? i

B. ?1? i

C.1? i

D. i

8、设 i 是虚数单位,复数 z = tan 45o - i×sin 60o ,则 z2 等于( )

A. 7 ? 3 i 4
C. 7 ? 3 i 4

B. 1 ? 3 i 4
D. 1 ? 3 i 4

ab

z 1? 2i

9、定义运算

? ad ? bc ,则符合条件

? 0 的复数 z 对应的点在

cd

1? 2i 1? i

( ).

A.第四象限 B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限

10、投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为

(

)

A、 1 3

B、 1 4

C、 1 6

D、 1 12

11、i 是虚数单位,若 1? 7i ? a ? bi(a,b ? R) ,则乘积 ab 的值是(

)

2?i

A.-15

B.-3

C.3

D.15

12、已知复数 z 满足 z 2 ? 2 z ? 3 ? 0 的复数 z 的对应点的轨迹是( )

A.1 个圆

B.线段

C.2 个点

D.2 个圆

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上.)

13、若复数 i ??2 ? bi? 是纯虚数,则实数 b=



14、若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位),则其共轭复数 z =_____________ .
15、设 z=-1+( 1? i )2010,则 z=__________. 1? i
16、复平面内,已知复数 z=x- 1 i 所对应的点都在单位圆内,则实数 x 的取值范围是 3
_______.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及 演算步骤.)
17、(12 分)

已知复数 z ? (m2 ? 5m ? 6) ? (m2 ? 2m ?15)i ,当实数 m 为何值时,

(1) z 为实数;

(2) z 为虚数;

(3) z 为纯虚数.

18、(12 分) 已知 z ?1? i , a , b?R ,若 z2 ? az ? b ? 1? i ,求 a , b 的值.
z2 ? z ?1

19、(12 分)
已知 M ? {1,(m2 ? 2m) ? (m2 ? m ? 2)i}, P ? {1, ?1, 4i}, 若 M U P ? P,求实数 m.

20、(12 分) 已知 z 是复数, z ? 2i 与 z 均为实数,且复数 (z ? ai)2 在复平面上对应的点在第一象限,
2?i 求实数 a 的取值范围.
21、(12 分)
uuur 已知复平面内平行四边形 ABCD , A 点对应的复数为 2 ? i ,向量 BA
uuur 对应的复数为1? 2i ,向量 BC 对应的复数为 3 ? i .
(1)求点 C, D 对应的复数; (2)求平行四边形 ABCD 的面积.

22、(14 分)
设等比数列 z1, z2 , z3 ,? , zn ,其中 z1 ? 1, z2 ? a ? bi , z3 ? b ? ai (a,b ? R, a ? 0) . (1)求 a , b 的值;

(2)求使 z1

?

z2

??

?

zn

?

0 的最小正整数 n 的值.(参考数据: ( ?1 ? 2

3i )3 ? 1)

参考答案
1.A ① (a ? b) ? (a ? b)i ? 2ai ,∴ a ? b ? 0 时, (a ? b) ? (a ? b)i 是纯虚数;②当两个复数

都为实数时可以比较大小;③例如 z1 ? 1, z2 ? i ,显然 z12 ? z22 ? 0 ,但 z1 ? z2 ? 0 ; ④正确. 2.D ∵ 2t2 ? 5t ? 3 ? 2(t ? 5)2 ? 49 ? ? 49 , t2 ? 2t ? 2 ? (t ?1)2 ?1 ? 1 ? 0
48 8 3.C (1 ? i)20 ? (1 ? i)20 ? [(1 ? i)2 ]10 ? [(1 ? i)2]10 ? (2i)10 ? (?2i)10 ? (2i)10 ? (2i)10 ? 0

4.A ∵ z ? 3 ? 3i ? 3i ? 3 ? 1 ? 3 i , 1 ? 0, 3 ? 0 , ?2 3i 2 3 2 2 2 2
∴ z 在平面内对应的点位于第一象限. 5.B 可得?3 ? 1,?2 ? ? ? 1 ? 0 ,∴?4 ? ?2 ?1 ? ? ? ?2 ?1 ? 0

6.D 因复数对应的点在虚轴上,所以 a2 ? 2a ? 0,?a ? 0或a ? 2

7.C

依题意得 (1? i)2

? b(1? i) ? c

?

(2

?

b)i

?

(b

?

c)

?

0

,∴

?2 ??b

? ?

b c

? ?

0 0

,

∴ b ? ?2,c ? 2, 即方程 x2 ? 2x ? 2 ? 0 ,易得方程的另一个根为1? i .

8.B z ? tan 45o ? i sin 60o ? 1 ? 3 i , 2

2



z2

?

(tan 45o

?

i sin 60o)2

?

? ?1 ?

?

3 2

i

? ? ?

?1? 4

3i .

z 1? 2i

9. D

? 0 ? z(1? i) ? (1? 2i)(1? 2i) ? 0 ,? z(1? i) ? 5

1? 2i 1? i



z

?

x

?

yi

,?

z(1?

i)

?

(x

?

yi)(1

?

i)

?

5

,

(x

?

y)

?

(

y

?

x)i

?

5

,

? ? ?

x y

? ?

y x

? ?

5 0

即x? y? 5?0 2

10.C 因为 (m ? ni)(n ? mi) ? 2mn ? (n2 ? m2 )i 为实数,所以 n2 ? m2 故 m ? n 则可以取 1、2 ? ? ? 6,

共 6 种可能,所以 P ? 6 ? 1 6?6 6

11.B 1? 7i ? (1? 7i)(2 ? i) ? ?1? 3i ,∴ a ? ?1,b ? 3, ab ? ?3 .

2?i

5

12.A 由 z 2 ? 2 z ? 3 ? 0 ,得| z |? 3或 | z |? ?1(舍) ,所以它表示以原点为中心,半径为 3 的圆.

13. 0 Q i(2 ? bi) ? ?b ? 2i 为纯虚数,?b ? 0

14.i



z=a+bi,则(a+bi

)(1+i)

=1-i,即

a-b+(a+b)i=1-i,由

?a ??a

? ?

b b

?1 ? ?1

,解得

a=0,

b=-1,所以 z=-i, z =i

15. -2 z=-1+( 1 ? i )2010=-1+i2010=-1+i4×502+2=-1+i2=-1-1=-2. 1- i

16. - 2 2 ? x ? 2 2 ∵z 对应的点 z(x,- 1 )都在单位圆内,

3

3

3

∴|Oz|<1,即 x2 ? (? 1)2 <1. ∴x2+ 1 <1.∴x2< 8 . ∴- 2 2 ? x ? 2 2 .

3

9

9

3

3

17.解:(1)若 z 为实数,则 m2 ? 2m ?15 ? 0 ,解得 m ? ?3 或 m ? 5 ; (2)若 z 为虚数,则 m2 ? 2m ?15 ? 0 ,解得 m ? ?3 或 m ? 5 ;

(3)若

z

为纯虚数,则

??m2 ???m2

? ?

5m 2m

? 6 ? 0,解得 ? 15 ? 0,

m?

?2 .

18.解:∵z ?1? i ,∴z2 ? 2i ,



z2 ? ax ? b z2 ? z ?1

?

2i ? a ? ai ? b 2i ?1? i ?1

?

(a

?

2)i

? i

(a

?

b)

?

a

?

2

?

(a

?

b)i

?1?

i

,



?a ??a

? ?

2 b

? ?

11,,∴ ???ba

? ?

?1, 2.

19.解:由 M U P ? P,知 M 是 P 的子集,从而可知

(m2 ? 2m) ? (m2 ? m ? 2)i =-1 或 4 .



(m2

?

2m)

?

(m2

?

m

?

2)i

=-1,得

??m 2

? ??m

2

? ?

2m ? ?1 m?2?0

,解之得:m=1,

由 (m2 ? 2m) ? (m2 ? m ? 2)i =4,得

??m 2 ???m 2

? ?

2m ? 0 m?2?

4

,解之得:m=2

,

综上可知:m=1 或 m=2.

20.解:设 z ? x ? yi(x,y ?R) , z ? 2i ? x ? (y ? 2)i 为实数,∴ y ? ?2 .

z ? x ? 2i ? 1 (2x ? 2) ? 1 (x ? 4)i 为实数,∴x ? 4 ,则 z ? 4 ? 2i .

2?i 2?i 5

5

∵(z

?

ai)2

?

(12

?

4a

?

a2 )

?

8(a

?

2)i

在第一象限,∴

?12 ? 4a ? a2 ? ??8(a ? 2) ? 0,

0,解得

2

?

a

?

6.

uuur

uuur

21.解:(1u)u∵ur向量 BA 对应的复数为1? 2i ,向量 BC 对应的复数为 3 ? i ,

∴向量 AC 对应的复数为(1? 2i )-( 3 ? i )= 2 ? 3i ,

uuur uuur uuur

又 OuuCur ? OuuuAr ? uAuCur ,∴点 C 对应的复数为( 2u?uuri )+(u2uur? 3iuu)u=r 4 ? 2i .

又 BD ? BA ? BC =(1? 2i )+( 3 ? i )= 4 ? i , OB ? OA ? BA ? 2 ? i ? (1? 2i) ? 1? i ,

uuur uuur uuur

∴ OD ? OB ? BD ? 1? i ? (4 ? i) ? 5 ,∴点 D 对应的复数为 5.

uuur uuur (2) ∵ BAgBC ?

uuur BA

uuur BC cos B,?cos B ?

uuur uuur BAgBC uuur uuur

?

3?2

?1,

BA BC 5 ? 10 5 2

∴ sin B ?

7

uuur uuur ,∴ S ? BA BC sin B ?

5 ? 10 ?

7

? 7.

52

52

∴平行四边形 ABCD 的面积为 7.

22.解:(1)由

z

2 2

?

z1

?

z3 ,得 (a

?

bi)2

? 1? (b

?

ai) , a2

?

b2

?

2abi

?

b

?

ai

,



?a2 ? b2 ? ??2ab ? a

b

,又

a

?

0 ,得 b

?

1 2

,于是

a

?

3
.
2

∴a ? 3 ,b ? 1 . 22

(2)由(1)得 q ?

3 2

?

1 2

i

,而

z1

?

z2

?

???

?

zn

?

0

,

∴ q ? z2 ? 3 ? 1 i z1 2 2

sn

?

1?

? ?1 ? ??

????

1? ????

3 2

3? 2

i

????

n

? ? ??

?

1 2

i

????

?

0

?

????

3?i 2

?n ?? ?

?1?

?? i?n

? ????

?1? 2

3i

?n ??

?1

?



(

?1

? 2

3i )3 ? 1,且

(?i)4 ? 1,∴ nmin ? 12 .


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