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极限求法总结_图文

.
极限的求法
1、利用极限的定义求极限 2、直接代入法求极限 3、利用函数的连续性求极限 4、利用单调有界原理求极限 5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、 利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限 11、利用夹逼准则求极限 [3] 12、利用中值定理求极限 13、 利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限
15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限

1、利用极限的定义求极限

用定义法证明极限,必须有一先决条件,即事先得知道极限的猜测值A,这

种情况一般较困难推测出,只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限

值,然后再去用定义法去证明,在这个过程中,放缩法和含绝对值的不等式总是

密切相连的。

例: lim x ? x0

f ? x? ? A的ε-δ

定义是指:? ε>0,

? δ=δ( x0 ,ε)>0,0<|x- x0 |<δ

?|f(x)-A|<ε 为了求δ 可先对 x0 的邻域半径适当限制, 如然后适当放大|

f(x)-A|≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小),此时往往要用含绝对值的不等式:

|x+a|=|(x- x0 )+( x0 +a)|≤|x- x0 |+| x0 +a|<| x0 +a|+δ1 域|x+a|=|(x- x0 )+( x0 +a)|≥| x0 +a|-|x- x0 |>| x0 +a|-δ1 从φ(x)<δ2,求出δ2后,

取δ=min(δ1,δ2),当0<|x- x0 |<δ 时,就有|f(x)-A|<ε.

Word 资料

.

例: 设

lim
n??

xn

?

a

则有

lim
n??

x1

?

x2 ? ...xn n

?a

.

证明:因为

lim
n??

xn

?

a

,对

??

?

0,?N1

?

N1(? )

,当

n

?

N1

时,?xn -a??

? 2

于是当

n

?

N1

时,?x1

?

x2

? ... ? n

xn

? a???x1

?

x2

? ... ? n

xn

? na?

0?? ??

其中

A

??x1

?

a???x2

? a???xN1

? ??是一个定数,再由

A n

?

? 2



解得

n

?

2A ?

, 故取

N

?

max

? ? ?

N1

,

? ??

2A ?

? ??

? ? ?

当n

?

N时,x1

?

x2

? ... ? n

xn

??

?

? 2

+? 2

=?



2、 直接代入法求极限 适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为

例 1. 求

.

分析 由于

,

所以采用直接代入法. 解 原式=

3、利用函数的连续性求极限

定理 [2] :一切连续函数在其定义区间内的点处都连续,即如果 x0 是函数 f (x) 的

定义区间内的一点,则有 lim x?x0

f (x) ?

f (x0 ) 。

一切初等函数在其定义域内都是连续的,如果 f (x) 是初等函数, x0 是其定

义域内一点,则求极限 lim x?x0

f

(x) 时,可把 x0 代入

f (x) 中计算出函数值,即

Word 资料

.

lim
x?x0

f

(x) =

f

(x0 ) 。

对于连续函数的复合函数有这样的定理:若 u ? ?(x) 在 x0 连续且 u0 ? ?(x0 ) ,

y ? f (u) 在 u0 处连续,则复合函数 y ? f [?(x)]在 x0 处也连续,从而

x lim f ???x?? ? f ??? ?? 或 lim f ???x?? ? f lim ??x?。

x?xo

o

x?xo

x?xo

例: lim ln sin x x?? 2

解:复合函数 x= ? 在处是连续的,即有 lim ln sin x= ln sin ? ? ln1 ? 0

2

x??

2

2

4、利用单调有界原理求极限 这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限,先判断极限存在,进而求极限。 例:求 lim a a ? ... a
n??
解:令 xn ? a ? a ? ... ? a ,则 xn?1 ? a ? xn , a ? a ? a ,即 xn?1 ? xn ,所

以数列

?xn

?

单调递增,由单调有界定理知,

lim
n??

a

a ? ...

a 有限,并设为 A ,

lim
n??

xn?1

?

lim
n??

a ? xn

, 即 A= A ? a, A ? 1? 1? 4a 2

,所以

lim a a ? ... a ? 1? 1? 4a 。

n??

2

5、利用极限的四则运算性质求极限

定理 [1] :若极限 lim f (x) 和 lim g(x) 都存在,则函数 f (x) ? g(x) , f (x) ? g(x) 当

x?x0

x ? x0

x ? x0 时也存在且

① lim ? f (x) ? g(x)? ? lim f (x) ? lim g(x)

x?x0

x?x0

x?x0

② lim ? f (x) ? g(x)? ? lim f (x) ? lim g(x)

x?x0

x?x0

x?x0

又若

c?

0,则

f (x) g(x)



x

?

x0

时也存在,且有

lim
x ? x0

f (x) g(x)

?

lim
x ? x0
lim

f (x) g(x)

.

x ? x0

利用该种方法求极限方法简单,但要注意条件是每项或每个因子极限存在,

Word 资料

.

一般情况所给的变量都不满足这个条件, 例如出现 0 , ? , ? ? ? 等情况,都 0?
不能直接运用四则运算法则,必须对变量进行变形。变形时经常用到因式分解、

有理化的运算以及三角函数的有关公式。

总的说来,就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、

商。

例:求

lim( x?1 1

3 ? x3

? 1) 1? x

解:由于当 x

?

1

时,

1

3 ? x3

与1 1? x

的极限都不存在,故不能利用“极限的和等

于和的极限”这一法则,先可进行化简

3 ? 1 = 3 ? (1? x ? x2 ) ? (1? x)(2 ? x) ? (2 ? x) 这样得到的新函数当

1? x3 1? x

1-x3

(1? x)(1? x ? x2 ) (1? x ? x2 )

x ?1时,分子分母都有极限且分母的极限不为零,可用商的极限法则,即

lim( x?1 1

3 ? x3

?

1 1?

)= x

lim
x?1

(2 ? x) (1? x ? x2 )

=1

x ?1 lim 例2. 求 x?2 x ? 1 。

lim (x ? 1)



lim
x?2

x x

?1 ?1

?

x?2
lim (x
x?2

? 1)

?

1 3

6. 利用无穷小的性质求极限

我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量,有界变量乘无穷小是无

穷小,对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得,只能用这种方法来求。

例:求

lim
x?1

x2

4x-7 ? 3x ?

2

解:当时 x ?1,分母的极限为零,而分子的极限不为零,可先求处所给函数倒

数的极限

lim
x?1

x2

? 3x ? 4x-7

2

=0

,故

lim
x?1

x2

4x-7 ? 3x ?

2

=?



Word 资料

例 5. 求极限
分析 因为 恒等变形.
解 原式=

.
不存在,不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行 (恒等变形)

因为 当

时,

, 即 是当

时的无穷小,而

≤1,



是有界函数,由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小,



=0.

7、无穷小量分出法求极限 适用于分子、分母同时趋于 ,即

型未定式

例 3.

分析 所给函数中,分子、分母当

时的极限都不存在,所以不能直

接应用法则.注意到当

时,分子、分母同时趋于 ,首先将函数进行初

等变形,即分子、分母同除 的最高次幂,可将无穷小量分出来,然后再根据

运算法则即可求出极限.

为什么所给函数中,当

时,分子、分母同时趋于 呢?以当

说明:因为

,但是 趋于 的

速度要比 趋于 的速度快,所以

.不要认为

仍是 (因为 有正负之分).

解 原式

(分子、分母同除 )

Word 资料

.
(运算法则)

(当

时,

都趋于 .

无穷大的倒数是无穷小.)

8、消去零因子法求极限 适用于分子、分母的极限同时为 0,即 型未定式
例 4.

分析 所给两个函数中,分子、分母的极限均是 0,不能直接使用法则四,故采 用消去零因子法.

解 原式=

(因式分解)

=

(约分消去零因子

)

=

(应用法则)

=

9、 利用拆项法技巧求极限

例6:

lim n ??

(1 1.3

?

1 3.5

?

?

?

?

?

(2n

?

1 1)(2n

?

1)

)

1

) 1( 1 ? 1 )

分析:由于 (2n ?1)(2n ? 1) = 2 (2n ?1 2n ?1

Word 资料

.

原式=

lim n ??

1 [(1 ? 2

1) 3

?

(1 3

?

1) 5

?

?

??

?

(1 2n ?1

?

1 )] 2n ?1

?

1 lim 2 n??

(1

?

1 2n ?

) 1

?

1 2

10、换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时,可采用换元的方法加以变
形,使之简化易求。 例: 求 lim xx ?1
x?1 x ln x
解:令 t ? xx ?1 则 x ln x ? ln(t ?1)
lim xx ?1 ? lim t ? lim 1 ? 1 x?1 x ln x t?0 ln(t ?1) t?0 ln(t ?1)
t

例 7 求极限

.

分析 当

时,分子、分母都趋于 ,故可作变量替换.

,不能直接应用法则,注意到

解 原式 =

= =.

(令

,引进新的变量,将原来的关于 的极

限转化为 的极限.)

( 型,最高次幂在分母上)

11、利用夹逼准则求极限 [3]

已知{xn } , {yn } , {zn }为三个数列,且满足:

(1) yn ? xn ? zn , (n ? 1,2,3,? ) ;

(2) lim yn ? a , lim zn ? a 。

n??

n??

Word 资料

.

则极限 lim xn 一定存在,且极限值也是 a ,即 lim xn ? a 。利用夹逼准则求极

n??

n??

限关键在于从 xn 的表达式中,通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数

列使得 yn ? xn ? zn 。

例: xn ?

1 ?
n2 ?1

1 ? ... ?
n2 ? 2

1 n2 ? n

,求

xn 的极限

解:因为 xn 单调递减,所以存在最大项和最小项

1

1

1

n

xn ?

? n2 ? n

? ... ? n2 ? n

? n2 ? n

n2 ? n

xn ?

1? n2 ?1

1 ? ... ? n2 ?1

1? n2 ?1

n n2 ?1



n n2 ? n

?

xn

?

n n2 ?1

又因为 lim n??

n ? lim n2 ?1 n??

n n2 ?

n

,则 lim x??

xn

?1。

12、利用中值定理求极限

(1)微分中值定理 [1] :若函数 f (x) 满足①在?a,b? 连续,②在(a,b)可导;

则在(a,b)内至少存在一点 ? ,使得 f '(? ) ? f (b) ? f (a) 。 b?a

lim 例:求

sin(sin x) ? sin x

x?0

x3

解: sin(sin x) ? sin x ? (sin x ? x) ?cos[? ? (x ? sin x) ? x], (0 ? ? ? 1)

lim sin(sin x) ? sin x

x?0

x3

lim =

(sin x ? x) ? cos[? ? (x ? sin x) ? x]

x?0

x3

lim = cos? ?

x?0

cos x ?1 3x3

Word 资料

.



lim x?0

?

sin 6x

x

=? 1 6

(2)积分中值定理 [1] :设函数 f ? x? 在闭区间?a,b?上连续; g ? x? 在?a,b?上不变

号且可积,则在?a,b?上至少有一点? 使得

b
?a

f

? x?.g ? x?

?

f

??

?

b
.?a

g

?

x

?dx,

  ? a

?

?

?

b?

?

lim? 例:求

4 sinn xdx

n?? 0

?

lim? 解:

4 sinn xdx

n?? 0

lim =

sin

xn

??

?

? (

? 0)

n??

4

(0 ? ? ? ? ) 4

lim = ?

(sin ? )n

4 n??

=0

13、 利用罗必塔法则求极限 定理 [4] :假设当自变量 x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数 f (x) 和 g(x) 满足:
(1) f (x) 和 g(x) 的极限都是 0 或都是无穷大; (2) f (x) 和 g(x) 都可导,且 g(x) 的导数不为 0; (3) lim f ?(x) 存在(或是无穷大);
g ?( x)

则极限 lim f (x) 也一定存在,且等于 lim f ?(x) ,即 lim f (x) = lim f ?(x) 。

g(x)

g ?( x)

g(x)

g ?( x)

洛必达法则只能对 0 或 ? 型才可直接使用,其他待定型必须先化成这两种类 0?

型之一,然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 lim

f ' ? x? 等于
g ' ( x)

A

时,那

Word 资料

.

么 lim

f ? x? 也存在且等于 A.
g(x)

如果 lim

f ' ? x? 不存在时,并不能断定 lim
g ' ( x)

f ? x? 也不
g(x)

存在,只是这是不能用洛必达法则,而须用其他方法讨论 lim f ? x? 。
g(x)

例:求 lim ln sin mx x?0 ln sin nx

解:由 limln sin mx ? limln sin nx ? ?? 知

x?0

x?0

所以上述极限是 ? 待定型 ?
lim ln sin mx ? lim m ? cos mx ?sin nx ? m ? lim sin nx ? 1 x?0 ln sin nx x?0 n cos nx ?sin mx n x?0 sin mx

14、利用定积分求和式的极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 f (x) 。把所求极限的
和式表示成 f (x) 在某区间?a,b?上的待定分法(一般是等分)的积分和式的极限
[5] 。

lim 例:求 [1 ? n ? n ?L ?

n

]

n?? n n2 ?12 n2 ? 22

n2 ? (n ?1)2

解:由于

1 n

?

n2

n ?

12

?

n2

n ?

22

?L

? n2

n ? (n ?1)2

= 1[ 1 ? 1 ?L ? 1 ]

n 1? (1?1)2 1? ( 2 ?1)2

1? ( n ?1)2

n

n

n

可取函数

f

(x)

?

1 1? x2

,区间为 ?0,1? ,上述和式恰好是

f

(x)

?

1 1? x2

在?0,1?上 n 等分的积分和。

lim 所以

1n

n??

[ n

?

n2

? 12

n ? n2 ? 22

?L

n ? n2 ? (n ?1)2 ]

lim =

1[ 1 ? 1

?L ?

1]

n?? n 1? (1?1)2 1? ( 2 ?1)2

1? ( n ?1)2

n

n

n

? =

11 0 1? x2 dx

=? 4

Word 资料

.

15、利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式 [6] :若 f ? x? 在 x=0 点有直到 n+1 阶连续导数,那么

f (x) ?

f (0) ?

f ?(0)x ?

f ??(0) x2 ?L 2!

?

f

(n) (0) n!

xn

?

Rn

(

x)

其中 Rn (x) ?

f (n?1) (? ) xn?1 (n ?1)!

(其中 0 ? ? ??)

? x2

例:

lim
x?0

cos

x? x4

e

2

解:泰勒展开式 cos x ? 1? x2 ? x4 ? ?(x4 ) , 2! 4!

? x2
e2

?1? (?

x2 ) ?

1

(?

x2 )2 ??(x4)

2 2! 2

于是

cos

x

?

e

?

x2 2

??

1

x4 ??(x4)

12

? x2
所以 lim cos x ? e 2

? 1 x4 ??(x4)

? lim 12

??

1

x?0

x4

x?0

x4

12

16、分段函数的极限

例8 设

讨论

在点

处的极限是否存在.

分析 所给函数是分段函数, 从极限存在的充要条件入手.
解 因为

是分段点, 要知

是否存在,必须

Word 资料

.

所以

不存在.

注 1 因为 从 的左边趋于 ,则

,故

.

注 2 因为 从 的右边趋于 ,则

,故

.

Word 资料

. Word 资料

. Word 资料

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. Word 资料


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