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2017-2018学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用学案苏教版选修1_1

3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 单 调 性 1 2 已知函数 y1=x,y2=x ,y3= . x 问题 1:试作出上述三个函数的图像. 提示:图像为 问题 2:试根据上述图像说明函数的单调性. 提示:函数 y1=x 在 R 上为增函数,y2=x 在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增 1 函数,y3= 在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数. 2 x 问题 3:判断它们导函数的正负. 提示:y1′=1>0;y2′=2x, 当 x>0 时,y2′>0, 1 当 x<0 时,y2′<0,y3′=- 2<0. x 问题 4:由问题 2、3 试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 提示:当 f′(x)>0 时,f(x)为增函数,当 f′(x)<0 时,f(x)为减函数. 问题 5:试用 y=e ,y=e 说明函数的单调性与其导函数正负的关系. 提示:y=e 的导函数 y′=e >0,所以 y=e 在 R 上为增函数,y=e 的导函数 y′=-e -x x -x x x x -x <0,所以 y=e 在 R 上为减函数. -x 一般地,在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系 导数 函数的单调性 单调递增 单调递减 常数函数 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)=0 1.函数的单调性与导数的关系可以利用导数的几何意义解释,导数大于零,切线的斜率 大于零,函数单调增加;即该函数是增函数;反之,函数为减函数. 2.在某个区间内 f′(x)>0(f′(x)<0)是函数在此区间内为增(减)函数的充分条件,而不 是必要条件, 若出现个别点的导数为零, 不影响函数在该区间上的单调性. 如 f(x)=x , f′(0) =0,而 f(x)=x 在 R 上是增函数. 3 3 -1- [对应学生用书P49] 判断或证明函数的单调性 ? π π? [例 1] 求证函数 f(x)=sin x+tan x 在?- , ?内为增函数. ? 2 2? ? π π? [思路点拨] 先利用求导法则求出导数 f′(x),再证明 f′(x)在?- , ?内恒正,得 ? 2 2? 出结论. [精解详析] ? π π? ∵函数 f(x)=sin x+tan x 在?- , ?内恒有意义,且 f′(x)=(sin ? 2 2? x 3 x)′+(tan x)′ =cos x+ x- 2 cos x x x 1 1+cos x =cos x+ 2 = . 2 cos x cos x ? π π? 又∵x∈?- , ?, ? 2 2? ∴0<cos x≤1, ∴f′(x)>0, ? π π? ∴y=f(x)在?- , ?内为增函数. ? 2 2? [一点通] 用导数判断函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的步骤: (1)求出 y=f(x)的导数 f′(x); (2)证明导数 y=f′(x)在区间(a,b)内恒正(恒负); (3)下结论 y=f(x)在区间(a,b)内为增函数(减函数). 1.已知函数 y=f(x),x∈[0,2π ]的导函数 y=f′(x)的图像如图所示,则 y=f(x)的单 调增区间为________. 解析:根据 f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, f′(x)<0 时,f′(x)单调递减, -2- 由图得到 x∈[0,π ]时,f′(x)>0, 故 y=f(x)的单调增区间为(0,π ). 答案:(0,π ) 2.讨论下列函数的单调性: (1)f(x)=x +ax; (2)f(x)=a -a (a>0 且 a≠1). 解:(1)f′(x)=3x +a. ①当 a≥0 时,f′(x)≥0,函数 f(x)单调递增. ②当 a<0 时,f′(x)=3(x+ 函数 f(x)单调递增. 当- 当 x≥ -3a - 3a <x< 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 3 3 -3a 时,f′(x)≥0,函数 f(x)单调递增. 3 -3a -3a -3a )(x- ).易知当 x≤- 时,f′(x)≥0, 3 3 3 2 3 x -x (2)∵函数 f(x)的定义域为 R, ∴f′(x)=a ln a+a ln a=(a +a )ln a. ∴当 a>1 时,ln a>0,a +a >0,∴f′(x)>0, ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. 当 0<a<1 时,ln a<0,a +a >0, ∴f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)上是减函数. x -x x -x x -x x -x 求函数的单调区间 [例 2] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=x -2x +3; (2)f(x)=3x -2ln x; (3)f(x)=x+ (b>0). [思路点拨] 先确定定义域,再求导数 f′(x).令 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求得单调区间. [精解详析] (1)函数 f(x)的定义域为 R. 2 4 2 b x f′(x)=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1). 令 f′(x)>0,则 4x(x+1)(x-1)>0, 解得-1<x<0 或 x>1, -3- ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+∞), 令 f′(x)<0,则 4x(x+1)(x-1)<0. 解得 x<-1 或 0<x<1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(0,1). (2)函数的定义域为(0,+∞). 3?? 3? ? 2 1? ? 6?x - ? 6?x+ ??x- ? 3? 3 ?? 3? 2 ? ? ∵f′(x)=6x- = = , x x x 又∵x>0,∴令 f′(x)<0,得 0<x< 令 f′(x)>0,得 x> 2 3 . 3 3 . 3 所以函数 f(x)=3x -2ln x 的单调递增区间为 3? ? 3

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