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2015年陕西省西安八十三中高考数学二模试卷(理科)解析


2015 年陕西省西安八十三中高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. ) 1. (5 分) (2015?陕西校级二模)已知集合 M={x||x﹣3|<4},集合 N={x| A.{x|﹣1<x≤1} A.1 B. B.{﹣1,0} C.﹣ C.{0} D. D.{0,1} ) ≤0,x∈Z},那么 M∩ N=( )

2. (5 分) (2015?陕西校级二模)已知 =(cos40°,sin40°) , =(cos80°,﹣sin80°) ,则 ? =(

3. (5 分) (2011?蓝山县校级模拟)如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的正 三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( ) A. B. C. D.

4. (5 分) (2015?陕西校级二模)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a5+a8=12,则 S9 等于( A.18 B.36 C.72 D.无法确定 2 2 5. (5 分) (2015?陕西校级二模)圆(x+2) +y =5 关于直线 x﹣y+1=0 对称的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣2) +y =5 B.x +(y﹣2) =5 C. (x﹣1) +(y﹣1) =5 D. (x+1) +(y+1) =5 6. (5 分) (2012?孝感模拟)已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 心率为( A. ) B. C. D.3 等于( )
2



的一个焦点重合,则该双曲线的离

7. (5 分) (2009?汕头一模)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 A.﹣3 B.5 C.﹣31 D.33

8. (5 分) (2015?陕西校级二模)P 是△ ABC 所在平面内一点,若 ,其中 λ∈R,则 P 点一定( ) A.△ ABC 内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 9. (5 分) (2015?安徽二模)定义运算 a?b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则 的值为( A.4 B.3 ) C.2 D.﹣1

10. (5 分) (2010?湖北模拟)在△ ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ ABC 一定是( ) A.直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D. 正三角形 11. (5 分) (2015?陕西校级二模)两个三口之家,共 4 个大人,2 个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆 轿车结伴郊游,每辆车最多只能乘坐 4 人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是( ) A. 40 B. 48 C. 60 D. 68 12. (5 分) (2012?昌图县校级模拟)已知函数 两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,1] B. (0,1) C.[0,+∞) ,若方程 f(x)=x+a 有且只有

D. (﹣∞,1)

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二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. ) 2 9 2 13. (5 分) (2015?陕西校级二模) 在 1+ (1+x) + (1+x)+…+ (1+x) 的展开式中, x 项的系数是 数字作答) 14. (5 分) (2015?陕西校级二模)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 不等式组

. (用

给定.若 M(x,

y)为 D 上的动点,点 N 的坐标为(1,3) ,则 z= ? 的最小值为 . 15. (5 分) (2015?陕西校级二模)把边长为 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角 B﹣AC﹣D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为 . 16. (5 分) (2014?西安二模)观察下列等式 3 1 =1 3 3 1 +2 =9 3 3 3 1 +2 +3 =36 3 3 3 3 1 +2 +3 +4 =100 … 照此规律,第 n 个等式可为 . 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2015?陕西校级二模)设 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角∠ A、∠ B、∠ C 的对边,若向量 , (1)求 tanA?tanB 的值; (2)求 的最大值. 且 ,

18. (12 分) (2015?陕西校级二模)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在线段 CA1 上,且不与点 C、A1 重合. (1)若 =4 ,求平面 AEF 与平面 ACF 的夹角的余弦值; (2)求点 F 到直线 AB 距离 d 的最小值.

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19. (12 分) (2015?陕西校级二模)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn.

20. (12 分) (2015?陕西校级二模) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 短轴长为 4, 且有一个焦点与抛物线 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程. (2)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否另存在一个定 点 P 使得 PM 始终平分∠ APB?若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由.

21. (12 分) (2015?陕西校级二模)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1,其中 a 为实数, (1)若 a=1,求函数 f(x)的最小值; (2)若方程 f(x)=0 在(0,2]上有实数解,求 a 的取值范围; (3)设 ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,且 a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn,求证: <1.

x

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23. (2015?陕西校级二模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 上的动点,P 点满足 (Ⅰ )求 C2 的方程; =2 ,P 点的轨迹为曲线 C2

(α 为参数)M 是 C1

(Ⅱ )在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ=

与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于

极点的交点为 B,求|AB|. 24. (2011?清城区一模)已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围.

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2015 年陕西省西安八十三中高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. ) 1. (5 分) (2015?陕西校级二模)已知集合 M={x||x﹣3|<4},集合 N={x| A. 考点: 专题: 分析: 解答: 集合 N={x| {x|﹣1<x≤1}
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≤0,x∈Z},那么 M∩ N=( C. {0} D. {0,1}



B.

{﹣1,0}

交集及其运算. 集合. 分别求出关于集合 M、N 的 x 的范围,从而求出 M∩ N. 解:∵ 集合 M={x||x﹣3|<4}={x|﹣1<x<7}, ≤0,x∈Z}={x|﹣2≤x<1,x∈Z}={﹣2,﹣1,0},

那么 M∩ N={0}, 故选:C. 点评: 本题考查了集合的运算,是一道基础题. 2. (5 分) (2015?陕西校级二模)已知 =(cos40°,sin40°) , =(cos80°,﹣sin80°) ,则 ? =( A. 考点: 专题: 分析: 得答案. 解答: 1 B. C. ﹣ D. )

两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算. 三角函数的求值.

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由平面向量的数量积公式,可得 ? =cos40°?cos80°﹣sin40°?sin80°,再由两角和的余弦公式,可 解:∵ =(cos40°,sin40°) , =(cos80°,﹣sin80°) ,

∴ ? =cos40°?cos80°﹣sin40°?sin80°=cos(40°+80°)=cos120°=﹣ , 故选:C 点评: 本题考查的知识点是两角和与差的余弦公式,平面向量的数量积公式,难度不大,属于基础题.

3. (5 分) (2011?蓝山县校级模拟)如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为 2 的正三 角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是( )

A. 考点: 专题: 分析: 解答:

B.

C.

D.

由三视图求面积、体积. 计算题. 三视图复原的几何体是正四棱锥,求出底面面积,正四棱锥的高,即可求出体积. 解:如图据条件可得几何体为底面边长为 2 的正方形,侧面是等边三角形高为 2 的正四棱锥,
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故其体积 V= ×4× 故选 C.

=



点评: 键.

本题是基础题,考查几何体的三视图,几何体的体积的求法,准确判断几何体的形状是解题的关

4. (5 分) (2015?陕西校级二模)已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a2+a5+a8=12,则 S9 等于( A. 18 B. 36 C. 72 D. 无法确定 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由等差数列的性质和已知可得 a5 的值,由求和公式可得 S9=9a5,计算可得. 解:由等差数列的性质可得 a2+a5+a8=3a5=12,
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解得 a5=4,由求和公式可得 S9= = 故选 B 点评: =9a5=9×4=36 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.
2 2

5. (5 分) (2015?陕西校级二模)圆(x+2) +y =5 关于直线 x﹣y+1=0 对称的圆的方程为( ) 2 2 2 2 2 2 A. (x﹣2) +y =5 B. x +(y﹣2) =5 C. (x﹣1) +(y﹣1) =5 2 2 D. (x+1) +(y+1) =5 考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 根据已知圆的圆心求出关于直线 x﹣3y﹣5=0 对称的圆的圆心,求出半径,即可得到所求结果. 2 2 解答: 解;由圆(x+2) +y =5 可知,圆心(﹣2,0) ,半径 r= . 设点(﹣2,0)关于直线 x﹣y+1=0 对称的点为(x,y) ,
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解得



∴ 所求圆的圆心为(﹣1,﹣1) . 又∵ 半径 r= . 2 2 2 2 ∴ 圆(x+2) +y =5 关于直线 x﹣y+1=0 对称的圆的方程为(x+1) +(y+1) =5. 故选:D. 点评: 本题考查点关于直线对称问题,圆的标准方程等知识,属于中档题. 6. (5 分) (2012?孝感模拟)已知抛物线 y =8x 的焦点与双曲线 率为( A. ) B.
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2

的一个焦点重合,则该双曲线的离心

C.

D. 3

考点: 专题: 分析:

双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 计算题;压轴题.
2

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先求出抛物线 y =8x 的焦点坐标,由此得到双曲线

的一个焦点,从而求出 a 的值,进

而得到该双曲线的离心率. 2 解答: 解:∵ 抛物线 y =8x 的焦点是(2,0) , 2 ∴ c=2,a =4﹣1=3, ∴ e= 故选 B. 点评: . 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解. 等于( )

7. (5 分) (2009?汕头一模)记等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=2,S6=18,则 A. 考点: 专题: 分析: 式求 . ﹣3 B.
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5

C.

﹣31

D. 33

等比数列的性质. 计算题. 先由题设条件结合等比数列的前 n 项和公式,可以求出公比 q,然后再利用等比数列前 n 项和公

解答: 解:根据题意,S3=2,S6=18,易得 q≠1; ∵ S3=2,S6=18,



,∴ q=2.



=

=

故选 D. 点评:

本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,注意公式的灵活运用. , 其中 λ∈R, 则 P 点一定在 ( )

8. (5 分) (2015?陕西校级二模) P 是△ ABC 所在平面内一点, 若 A. △ ABC 内部 B. AC 边所在直线上 C. AB 边所在直线上 D. BC 边所在直线上 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ = 与 向量在几何中的应用. 平面向量及应用. 根据 解:∵ ,则 共线,
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,代入 , , ,

,根据共线定理可知



共线,从而可确定 P 点一定

在 AC 边所在直线上.

∴ ∥ ,即

∴ P 点一定在 AC 边所在直线上, 故选 B. 点评: 本题主要考查向量的共线定理, 要证明三点共线时一般转化为证明向量的共线问题. 属于中档题. 9. (5 分) (2015?安徽二模)定义运算 a?b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则 的值为( )

A. 考点: 专题: 分析:

4

B.
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3

C.

2

D. ﹣1

程序框图. 三角函数的求值. 由已知的程序框图可知:本程序的功能是:计算并输出分段函数 S= 的值,

由已知计算出 a,b 的值,代入可得答案. 解答: 解:由已知的程序框图可知: 本程序的功能是:计算并输出分段函数 S= ∵ a= =1,b= =2 的值

∴ S=2×(1+1)=4 故选 A 点评: 本题考查的知识点是程序框图,特殊角的三角函数,其中根据已知的程序框图,分析出程序的功 能是解答的关键. 10. (5 分) (2010?湖北模拟)在△ ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ ABC 一定是( A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形
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考点: 两角和与差的正弦函数. 分析: 根据三角形三个内角和为 180°,把角 C 变化为 A+B,用两角和的正弦公式展开移项合并,公式 逆用,得 sin(B﹣A)=0,因为角是三角形的内角,所以两角相等,得到三角形是等腰三角形. 解答: 解:由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin(A+B) , ∴ 2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. ∴ cosAsinB﹣sinAcosB=0. ∴ sin(B﹣A)=0, ∵ A 和 B 是三角形的内角, ∴ B=A. 故选 B 点评: 在三角形内会有一大部分题目出现,应用时要抓住三角形内角和是 180°,就有一部分题目用诱导 公式变形,对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式,必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式.
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11. (5 分) (2015?陕西校级二模)两个三口之家,共 4 个大人,2 个小孩,约定星期日乘“奥迪”、“捷达”两辆轿 车结伴郊游,每辆车最多只能乘坐 4 人,其中两个小孩不能独坐一辆车,则不同的乘车方法种数是( ) A. 40 B. 48 C. 60 D. 68 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 由题意得到只需选出乘坐奥迪车的人员,剩余的可乘坐捷达,需要分三类,根据分类计数原理即 可得到. 解答: 解:只需选出乘坐奥迪车的人员,剩余的可乘坐捷达. 若奥迪车上没有小孩,则有 =10 种;
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若有一个小孩,则有 若有两个小孩,则有

( +

+

+

)=28 种;

=10 种.

故不同的乘车方法种数为 10+28+10=48 种. 故选:B. 点评: 本题考查了分类计数原理,关键是分类,属于基础题. 12. (5 分) (2012?昌图县校级模拟)已知函数 两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,1] B. 考点: 专题: 分析: 根的存在性及根的个数判断. 计算题;压轴题;数形结合. 我们在同一坐标系中画出函数
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,若方程 f(x)=x+a 有且只有 ) (0,1) C. [0,+∞) D. (﹣∞,1)

的图象与函数 y=x+a 的图象,利

用数形结合,我们易求出满足条件实数 a 的取值范围. 解答: 解:函数 的图象如图所示,

当 a<1 时,函数 y=f(x)的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点, 即方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根 故选:D

点评: 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断,将方程 f(x)=x+a 根的个数,转化为求函 数零点的个数,并用图象法进行解答是本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. ) 2 9 2 13. (5 分) (2015?陕西校级二模)在 1+(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 的展开式中,x 项的系数是 数字作答)
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120 . (用

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题;二项式定理. 2 9 2 2 2 2 3 分析: 在 1+(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 的展开式中,x 项的系数是 C2 +C3 +…+C9 =C10 ,即可得 出结论. 2 9 2 2 2 2 3 解答: 解:在 1+(1+x)+(1+x) +…+(1+x) 的展开式中,x 项的系数是 C2 +C3 +…+C9 =C10 =120. 故答案为:120. 点评: 本题考查二项式系数的性质,考查学生的计算能力,比较基础.
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14. (5 分) (2015?陕西校级二模)在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 不等式组 y)为 D 上的动点,点 N 的坐标为(1,3) ,则 z= 考点: 专题: 简单线性规划. 不等式的解法及应用.
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给定.若 M(x,

?

的最小值为



分析: 利用向量的数量积运算,求出 z= ? =x+3y,利用 z 的几何意义,即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: ∵ M(x,y)为 D 上的动点,点 N 的坐标为(1,3) , ∴ z= ? =x+3y, 由 z=x+3y 得 y=﹣ x+ z, 平移直线 y=﹣ x+ z, 由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A 时,y=﹣ x+ z 的截距最小,此时 z 最小. 由 ,

解得

,即 A( , ) ,

代入 z=x+3y= + ×3=

. .

即目标函数 z=x+3y 最小值为 故答案为: .

点评: 本题主要考查线性规划的应用以及数量积的运算,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数 学思想是解决此类问题的基本方法.
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15. (5 分) (2015?陕西校级二模)把边长为 四面体 ABCD 的外接球的体积为 考点: 专题: 分析: 解答: .

的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成一个直二面角 B﹣AC﹣D,则

棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离.

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由题意,球的直径恰好是正方形对角线,从而可求球的体积 V= πR . 解:由题意不妨设球的球心为 O,由 OA=OB=OC=OD= AC,
3

3

球的直径恰好是正方形对角线,所以球的半径 R=1, 所以球的体积 V= πR = 故答案为: 点评: . 本题考查四面体 ABCD 的外接球的体积,确定球的直径恰好是正方形对角线是关键. .

16. (5 分) (2014?西安二模)观察下列等式 3 1 =1 3 3 1 +2 =9 3 3 3 1 +2 +3 =36 3 3 3 3 1 +2 +3 +4 =100 … 照此规律,第 n 个等式可为 1 +2 +3 +…+n =
3 3 3 3



考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 左边是连续数的立方和,右边是左边的数的和的平方,由此得到结论. 3 解答: 解:1 =1 3 3 2 1 +2 =9=(1+2) , 3 3 3 2 1 +2 +3 =36=(1+2+3) , 3 3 3 3 2 1 +2 +3 +4 =100=(1+2+3+4) , 由以上可以看出左边是连续数的立方和,右边是左边的数的和的平方,
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照此规律,第 n 个等式可为:1 +2 +3 +…+n =(1+2+3+…+n) = 故答案为:1 +2 +3 +…+n =
3 3 3 3

3

3

3

3

2





点评: 本题考查了规律型:数字的变化.解决此类探究性问题,关键在观察、分析已知数据,寻找它们 之间的相互联系,探寻其规律. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (12 分) (2015?陕西校级二模)设 a、b、c 分别是△ ABC 三个内角∠ A、∠ B、∠ C 的对边,若向量 , (1)求 tanA?tanB 的值; (2)求 的最大值. 且 ,

考点: 专题:

三角函数的化简求值;平面向量数量积的运算. 计算题.

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分析:

(1)由

,化简得 4cos(A﹣B)=5cos(A+B) ,由此求得 tanA?tanB 的值. ,而 ,利用基本

(2)利用正弦定理和余弦定理化简为 不等式

求得它的最小值等于 ,从而得到 tanC 有最大值 解答: 即 亦即 4cos(A﹣B)=5cos(A+B) ,…(4 分) 所以 (2)因 而 所以,tan(A+B)有最小值 ,…(10 分) 当且仅当 时,取得最小值. ,故 .…(6 分) 解: (1)由 ,得 ,

,从而求得所求式子的最大值. .…(2 分)

,…(8 分) ,

又 tanC=﹣tan(A+B) ,则 tanC 有最大值

的最大值为

.…(13 分)

点评: 本题主要考查两个向量数量积公式,正弦定理和余弦定理,两角和的正切公式,以及基本不等式 的应用,属于中档题. 18. (12 分) (2015?陕西校级二模)如图,已知正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在线段 CA1 上,且不与点 C、A1 重合. (1)若 =4 ,求平面 AEF 与平面 ACF 的夹角的余弦值; (2)求点 F 到直线 AB 距离 d 的最小值.

考点: 点、线、面间的距离计算;用空间向量求平面间的夹角;二面角的平面角及求法. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面 AEF 与平面 ACF 的夹角的余弦值. (2)设 F(0,t,4﹣t) , (0<t<4) ,利用向量法能示出点 F 到直线 AB 距离 d 的最小值. 解答: 解: (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 则由已知得:A(0,0,0) ,B( ,2,0) , C(0,4,0) ,A1(0,0,4) ,E( ) F(0,3,1)于是 .
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设平面 AEF 的法向量为


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则 即

, ,取 y=﹣1,得 , . . . ,

取平面 ACF 的法向量为 设平面 AEF 与平面 ACF 的夹角为 θ,则

∴ 平面 AEF 与平面 ACF 的夹角的余弦值为 (2)设 F(0,t,4﹣t) , (0<t<4) ,

= = 当 时, , , .

∴ 点 F 到直线 AB 距离 d 的最小值为

点评: 本题考查平面与平面夹角的余弦值的求法,考查点到直线的距离的最小值的求法,解题时要认真 审题,注意向量法的合理运用. 19. (12 分) (2015?陕西校级二模)已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; * (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N ) ,求{bn}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: (1)设公比为 q,由 a1=1,则 a2=q,a3=q .再利用等差数列的性质即可得出; n﹣1 (2)bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2 .利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 2 解答: 解: (1)设公比为 q,∵ a1=1,则 a2=q,a3=q . ∵ a2 是 a1 和 a3﹣1 的等差中项. ∴ 2a2=a1+a3﹣1, 2 ∴ 2q=1+q ﹣1, ∵ q≠0,解得 q=2.
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∴ an=2 . n﹣1 (2)∵ bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2 . 2 n﹣1 ∴ {bn}的前 n 项和 Sn=[1+3+…+(2n﹣1)]+[1+2+2 +…+2 ] = =n +2 ﹣1. 点评: 中档题.
2 n

n﹣1

+

本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于

20. (12 分) (2015?陕西校级二模) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点, 短轴长为 4, 且有一个焦点与抛物线 的焦点重合. (1)求椭圆 C 的方程. (2)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上是否另存在一个定 点 P 使得 PM 始终平分∠ APB?若存在求出 P 点坐标,若不存在请说明理由. 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程. (1)设椭圆的标准方程为
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(a>b>0) ,焦距为 2c.由抛物线
2 2 2

方程得焦点

,可得 c.又短轴长为 4,可得 2b=4,解得 b.再利用 a =b +c 即可得到 a. (2)假设在 x 轴上存在一个定点 P(t,0) (t≠2)使得 PM 始终平分∠ APB.设直线 l 的方程为 my=x﹣2,A(x1, 2 2 y1) ,B(x2,y2) .与椭圆的方程联立化为(9+5m )y +20my﹣25=0,得到根与系数的关系,由于 PM 平分∠ APB, 利用角平分线的性质可得 解答: 由抛物线 ,经过化简求出 t 的值即可. (a>b>0) ,焦距为 2c. .

解: (1)设椭圆的标准方程为 方程得焦点 ,∴ c=

又短轴长为 4,∴ 2b=4,解得 b=2. 2 2 2 ∴ a =b +c =9. ∴ 椭圆 C 的方程为 .

(2)假设在 x 轴上存在一个定点 P(t,0) (t≠2)使得 PM 始终平分∠ APB. 设直线 l 的方程为 my=x﹣2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 联立 ,化为(9+4m )y +16my﹣20=0,
2 2



, ,

. (*)

∵ PM 平分∠ APB,∴



,化为



把 x1=my1+2,x2=my2+2 代入上式得(2﹣t) (y1﹣y2)[2my1y2+(2﹣t) (y1+y2)]=0, ∵ 2﹣t≠0,y1﹣y2≠0,∴ 2my1y2+(2﹣t) (y1+y2)=0. 把(*)代入上式得 ,
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化为 m(9﹣2t)=0, 由于对于任意实数上式都成立,∴ t= . 因此存在点 P 满足 PM 始终平分∠ APB.

点评: 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、角平分线的性质、两点间的距离公式、恒成立问 题等基础知识与基本技能方法,属于难题. 21. (12 分) (2015?陕西校级二模)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1,其中 a 为实数, (1)若 a=1,求函数 f(x)的最小值; (2)若方程 f(x)=0 在(0,2]上有实数解,求 a 的取值范围; (3)设 ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,且 a1b1+a2b2…anbn≤b1+b2…bn,求证: <1.
x

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. x 分析: (1)求出 f'(x)=e ﹣1,由 f'(x)=0 得 x=0,从而求出函数的单调区间,进而求出函数的最值; x 2 2 (2)先求出 f'(x)=e ﹣a(0<x≤2) ,再讨论① 当 a≤1 时,② 当 a≥e 时,③ 当 1<a<e 时的情况,从而求出 a 的范 围; x (3)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,e >x+1,得 bklnak<akbk﹣bk(k=1,2,…,n) ,求和得
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从而问题得证. 解答: 解: (1)f'(x)=e ﹣1,由 f'(x)=0 得 x=0 当 x>0 时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内递增; 当 x<0 时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)内递减; 故函数 f(x)在 x=0 处取得最小值 f(1)=0. x (2)f'(x)=e ﹣a(0<x≤2) ① 当 a≤1 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2]内递增; f(x)>f(0)=0,方程 f(x)=0 在(0,2]上无实数解; 2 ② 当 a≥e 时,f'(x)≤0,f(x)在(0,2]内递减; f(x)<f(0)=0,方程 f(x)=0 在(0,2]上无实数解; 2 ③ 当 1<a<e 时,由 f'(x)=0,得 x=lna, 当 0<x<lna 时,f'(x)<0,f(x)递减; 当 lna<x<2 时,f'(x)>0,f(x)递增; 2 又 f(0)=0,f(2)=e ﹣2a﹣1 由 f(2)=e ﹣2a﹣1≥0 得 故 a 的取值范围为 (3)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,e >x+1,即 ln(x+1)<x. ∵ ak,bk>0,从而有 lnak<ak﹣1, 得 bklnak<akbk﹣bk(k=1,2,…,n) , 求和得 即 故 点评: . 本题考查了函数的单调性,导数的应用,考查不等式的证明,求参数的范围,是一道综合题. ,
x 2 x

四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
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22. (10 分) (2015?陕西校级二模)如图,⊙ O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的延长线相交于点 P,E 为⊙ O 上一 点,AE=AC,DE 交 AB 于点 F,且 AB=2BP=4, (1)求 PF 的长度. (2)若圆 F 与圆 O 内切,直线 PT 与圆 F 切于点 T,求线段 PT 的长度.

考点: 圆的切线的判定定理的证明. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系,结合题中条件弧长 AE 等 于弧长 AC 可得∠ CDE=∠ AOC,从而得到△ PFD∽ △ PCO,最后再结合割线定理即可求得 PF 的长度; (2)根据圆 F 与圆 O 内切,求得圆 F 的半径为 r,由 PT 为圆 F 的切线结合割线定理即可求得线段 PT 的长度. 解答: 解: (1)连接 OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系 结合题中条件弧长 AE 等于弧长 AC 可得∠ CDE=∠ AOC, 又∠ CDE=∠ P+∠ PFD,∠ AOC=∠ P+∠ OCP,
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从而∠ PFD=∠ OCP,故△ PFD∽ △ PCO,∴ 由割线定理知 PC?PD=PA?PB=12,故 .

(2)若圆 F 与圆 O 内切,设圆 F 的半径为 r,因为 OF=2﹣r=1 即 r=1 所以 OB 是圆 F 的直径,且过 P 点圆 F 的切线为 PT 2 则 PT =PB?PO=2×4=8,即

点评: 本小题主要考查圆的切线的判定定理的证明、同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系、割线定理 等基础知识,考查运算求解能力转化思想.属于基础题. 23. (2015?陕西校级二模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 的动点,P 点满足 =2 (Ⅰ )求 C2 的方程; ,P 点的轨迹为曲线 C2 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于 (α 为参数)M 是 C1 上

(Ⅱ )在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ= 极点的交点为 B,求|AB|. 考点: 专题: 分析:

简单曲线的极坐标方程;轨迹方程. 计算题;压轴题. (I)先设出点 P 的坐标,然后根据点 P 满足的条件代入曲线 C1 的方程即可求出曲线 C2 的方程;
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(II)根据(I)将求出曲线 C1 的极坐标方程,分别求出射线 θ= 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2,最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求. 解答:

与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1,以及射线 θ=

解: (I)设 P(x,y) ,则由条件知 M( , ) .由于 M 点在 C1 上,

所以


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从而 C2 的参数方程为 (α 为参数) (Ⅱ )曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. 射线 θ= 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin 与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin , .

所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|= . 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,以及轨迹方程的求解和线段的度量,属于中档题. 24. (2011?清城区一模)已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围. 考点: 绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1>0,对参数 a 进行分类讨论,分类解不等式; (2)函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立,利用不等式的性 质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值,就可以求出 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ )不等式 f(x)+a﹣1>0 即为|x﹣2|+a﹣1>0, 当 a=1 时,解集为 x≠2,即(﹣∞,2)∪ (2,+∞) ; 当 a>1 时,解集为全体实数 R; 当 a<1 时,解集为(﹣∞,a+1)∪ (3﹣a,+∞) . (Ⅱ )f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,即为|x﹣2|>﹣|x+3|+m 对任意实数 x 恒成立, 即|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立, (7 分) 又由不等式的性质,对任意实数 x 恒有|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,于是得 m<5, 故 m 的取值范围是(﹣∞,5) . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法, 分类讨论的方法,以及不等式的性质,涉及面较广, 知识性较强.
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参与本试卷答题和审题的老师有:1619495736;翔宇老师;qiss;lincy;zhtiwu;zlzhan;minqi5;涨停;whgcn; 刘长柏;maths;caoqz;孙佑中;yhx01248;xintrl(排名不分先后) 菁优网 2015 年 5 月 3 日

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