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微分方程式的建立与求解_图文

§2.2 微分方程式的 建立与求解

主要内容

第 2



复习求解系统微分方程的经典法

物理系统的模型 微分方程的列写 n 阶线性时不变系统的描述 求解系统微分方程的经典法

X

一.物理系统的模型

第 3


?许多实际系统可以用线性系统来模拟。 ?若系统的参数不随时间而改变,则该系统可以用 线性常系数微分方程来描述。

X

二.微分方程的列写

第 4


?根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。

?对于电路系统,主要是根据元件特性约束和网络拓扑

约束列写系统的微分方程。

元件特性约束:表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。
网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL,KVL。

X

三.n 阶线性时不变系统的描述

第 5


一个线性系统,其激励信号 e(t与) 响应信号 r (之t ) 间的 关系,可以用下列形式的微分方程式来描述

dnr(t) dn?1r(t)

dr(t)

C0 dtn ?C1 dtn?1 ???Cn?1 dt ?Cnr(t)

dme(t) dm?1e(t)

de(t)

?E0 dtm ?E1 dtm?1 ???Em?1 dt ?Eme(t)

若系统为时不变的,则C,E均为常数,此方程为 常系数的n阶线性常微分方程。
阶次:方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。

X

四.求解系统微分方程的经典法

第 6


分析系统的方法:列写方程,求解方程。

?列写方程: 根据元件约束,网络拓扑约束

? ?

?经 典 法

?? ??解 方 ? ?

程????零 ? ?

输 入 响 应 和 零 状 态 应 响 ?零输入: 可利用经典法求解 ??零 状 态: 利 用 卷 积 积 分 法 求 解

??

??变 换 域 法

求解方程时域经典法就是:齐次解+特解。

X

§2-2 系统微分方程及其经典解

第 7



任何LTI连续时间系统,n阶一元常系数微分方程一般式为:

d n r d n ? 1 r dr d m e d m ? 1 e de d n ? a t n ? 1 d n ? 1 ? t ? ? a 1 d ? a 0 t r ? b m d m ? b t m ? 1 d m ? 1 ? t ? ? b 1 d ? b 0 e t
经典法求解该方程: 全解=齐次解 + 特解

r(t)?rn(t)?rf(t)

齐次解rn(t)是齐次方程的通解:

dnr dn?1r

dr

dnt?an?1dn? t1???a1d? ta0r?0

通解一般式为: ce?t

? ? ? 特征方程为: n? a n ? 1n ? 1? ? ? a 1? a 0? 0
X

该一元n次方程的n个特征根为:

自然频率

第 8

固有频率 页

??? 1 , 2 ?n , (i? 1 ,2 ? n )

讨论通解的形式:

n

? 1 ?i为互异实根: rn(t) ? cie?it

? ? k
2 ?1有k重根:rn(t)?

i?1
cie?1ttk?i ?

n cje?jt

i?1

j?k?1

其中?1为k重根, ?j为单根

特解的形式:根据激励查表2-1得rf(t)
全解的形式: r(t)?rn(t)?rf(t)

求系数Ci,cj

X

例1:求齐次解: r"(t)?5 r'(t)?6 r(t)?e(t)

第 9



解:该微分方程的特征方程为: ?2?5??6?0

解得特征根: ?1??2,?2??3

齐次解为: rn(t)?c1e?2t?c2e?3t

例3:求齐次解: r"(t)?4 r'(t)?4 r(t)?e(t)
解: ?2?4 ??4?0? ?1,2?? 2 二重根
rn(t)?c1te ?2t?c2e?2t

X

例4:方程为:

r " (t)? 3 r '(t)? 2 r (t)? e '(t)? 2 e (t)

第 10



若激励为: e(t) ? t2 求其特解 rf(t).

查表2-1得对应的特征解为: rf(t)?A2t2?A1t?A0

rf"(t),rf' (t),rf (t) e'(t),e(t) 代入原微分方程得:

2 A 2 ? 3 ( 2 A 2 t? A 1 ) ? 2 ( A 2 t2 ? A 1 t? A 0 ) ? 2 t? 2 t2

2 A 2 t 2 ? ( 6 A 2 ? 2 A 1 ) t? ( 2 A 2 ? 3 A 1 t? 2 A 0 ) ? 2 t? 2 t 2

等式两边同次幂系数相等:2A2 ?2 6A2?2A1 ?2

? ?A0 ?2 ?????A1 ??2

2A2?3A1?2A0 ?0?? ??A2 ?1

rf (t)?t2?2t?2 t ?0

X

例5:方程为:

r " (t)? 3 r '(t)? 2 r (t)? e '(t)? 2 e (t)

第 11



求: 当

e(t)? t2,r(0 )? 1 ,r'(0 )? 1时的全解

?? ? ? 解: 特征方程为 2 ? 3? 2 ? 0 ? 1 ? ? 1 ,2 ? ? 2

所以齐次解为: rn(t)?c1e?t?c2e?2t

与例4相同: rf (t)?t2?2t?2
所以全解 r (t)? c 1 e ? t? c 2 e ? 2 t? t2? 2 t? 2
其一阶导为: r'(t)? ? c 1 e ? t? 2 c 2 e ? 2 t? 2 t? 2

t=0时 初值代入: r(0)?c1?c2?2?1
r'(0)??c1?2c2?2?1 c1?1,c2??2

全解: r ( t)? e ? t? 2 e ? 2 t? t2 ? 2 t? 2t? 0

X

第 12 页
1 齐次解:其形式与激励e(t)无关,仅依赖于系统 本身特征――>自由响应或固有响应,系数ci,cj 与激励有关. 2 特解的形式:由激励信号决定――>强迫响应.
X

经典法的例题

第 13



齐次解:由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式

n
? Ak e?kt 注意重根情况处理方法。

k ?1

特 解:根据微分方程右端函数式形式,设含待定系 数的特解函数式→代入原方程,比较系数 定出特解。

全 解:齐次解+特解,由初始条件定出齐次解Ak。

X

第 14


我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ,响应 为 t ? 0?时的方程的解,初始条件

r(0 ? ),

d r(0 ? ) ,
d t

d 2 d r( t0 2? ),? , d n d ? 1 tr n ( ? 0 1 ? )

初始条件的确定是此课程要解决的问题。

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