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3.2立体几何中的向量方法(1)


3.2立体几何中的向量方法

( 一)
-----直线的方向向量与平面的法向量

上一节,我们把向量从平面推广到空间,并 利用空间向量解决了一些立体几何问题.本节 我们进一步学习立体几何中的向量方法. 立体几何研究的基本对象是点、直线、 平面以及由它们组成的空间图形.为了用空间 向量解决立体几何问题,首先必须把点、直线、 平面的位置用向量表示出来.

思考
如何确定一个点在空间的位置?在空间中给一个 定点A和一个定方向(向量),能确定一条直线在空 间的位置吗?给一个定点和两个定方向(向量),能 确定一个平面在空间的位置吗?给一个定点和一 个定方向(向量),能确定一个平面在空间的位置吗?

1、点的位置向量
在空间中,我们取一定点O作为基点, 那么空间中任意一点P的位置就可以用 ??? ? ??? ? 向量OP来表示。我们把向量OP称为 点P的位置向量。
P

A

2、直线的方向向量

空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上 一个定点 A以及一个定方向确定。
P

a
B
A

AP ? t AB
? 这样,点A和向量 a 不仅可以
确定直线l的位置,还可以具体 表示出l上的任意一点.

3、平面的法向量

空间中平面 ?的位置可以由 ?内两条 相交直线来确定。 OP ? x a ? yb
? ? 这样,点O与向量 a , b

P
α

不仅可以确定平面 ? 的位置,还可以具体表 示出 ?内的任意一点

b o a

类似于直线的方向向量,还可以用平面的 法向量表示空间中平面的位置 l

法向量:如果表示向
量a的有向线段所在直线垂 直于平面α,则称这个向 量垂直于平面α,记作 α a⊥α,如果a⊥α ,那么向 量a叫做平面α的法向量 问题:法向量如何确定平面的位置?

a A

给定一点A和一个向量a,那么,过点A,以向 量a为法向量的平面是完全确定的。

问题:如何求平面的法向量?
(1)设出平面的法向量为 n ? ( x, y, z )
(2)找出(求出)平面内的 两个不共线的 向量的坐标 ? (a1, b1, c1 ), b ? (a2 , b2 , c2 ) a
(3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的 ?n ? a ? 0 方程组 ? ?n ? b ? 0
(4)解方程组,取其中的一 个解,即得法向量。

??? ? ???? 例:已知 AB ? (2, 2,1), AC ? (4,5,3),
? 设平面的法向量为n ? x,y,z), ( ? ??? ? ???? ? 则n ? AB, ? AC n (x,y,z) 2,1) ? 0, ?(2, ? ?? (x,y,z) ?(4,5,3) ? 0, ? 1 ? ?2 x ? 2 y ? z ? 0 ?x ? 即? , 取z ? 1,得 ? 2 ?4 x ? 5 y ? 3z ? 0 ? y ? ?1 ? ? 1 ? n ? ( , ?1,1) 2

求平面ABC的法向量。

4、法向量的运用
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置,所以我们可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂 直、夹角等位置关系。

设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线平行
线面平行

l ∥ m ? a ∥ b ? a ? kb ;
l ∥? ? a ? u ? a ? u ? 0 ;

面面平行

? ∥ ? ? u ∥ v ? u ? k v.

注意:1.这里的线线平行包括线线重合,线面平行 包括线在面内,面面平行包括面面重合。

设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直

l ⊥ m ? a ⊥b ? a?b ? 0;
l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ;

线面垂直
面面垂直

? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

?? l 例1 (1)设a? 分别是直线 l1 ? 2的方向向量,根据下列 b
? ? ? ? ① a ? (2,3, ?1), b ? ( ?6, ?9,3) ② a ? (5,0, 2), b ? (0,4,0) ? ? ③ a ? ( ?2,1, 4), b ? (6, 3, 3)

条件判断 l1 与 l 2 的位置关系:

分析:直线方向向量与直线位置关系,

? ? ? ? l1 ∥ l2 ? a ∥ b; l1 ⊥ l2 ? a ⊥ b

据此可判断两直线的位置关系

①平行②垂直③相交或异面

? ? 例1 (2)设 u? 分别是平面 ? ?? 的法向量,根据下列条件 v 判断 ? 与 ? 的位置关系:
? ? ? ? 1 ① u ? (1, ?1,2), v ? (3,2, ? ) ②u ? (0, 3,0), v ? (0, ?5,0) 2 ? ? 3,4), ③ u ? (2, ?3, 4), v ? (4, ?2,1)

? ? ? ? ? ∥ ? ? u ∥ v;? ⊥ ? ? u ⊥ v
据此可判断两平面的位置关系

分析:平面法向量与两平面位置关系,

①垂直②平行③相交(不垂直)

? ? 例1 (3)设 u 是平面 ? 的法向量, a是直线 l 的方向向 量,根据下列条件判断 ?与 l 的位置关系: ? ? ? ?
① u ? (2, 2, ?1), a ? ( ?3,4, 2) ② u ? (0, 2, ?3), a ? (0, ?8,12)
? ? ③ u ? (4,1, 5), a ? (2, ?1, 0)

分析:直线方向向量与平面法向量关系和直 线与平面位置关系,

? ? ? ? l ∥? ? a ⊥ u; l ⊥? ? a ∥ u

据此可判断直线和平面的位置关系

① l ? ? 或l ∥? ②垂直③相交(斜交)

例2 已知平面? 经过三点A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、 C(3,-2,0),试求平面? 的一个法向量.
解:∵ A(1,2,3) 、B(2,0,-1) 、C(3,-2,0) ??? ? ???? AB ? (1, ?2, ?4), AC ? (2, ?4, ?3) ∴

? 设平面 ? 的法向量是 n ? ( x , y , z )
? x ? 2 y ? 4z ? 0 ? ?2 x ? 4 y ? 3z ? 0

? ??? ? ? ???? 依题意,有 n ? AB ? 0且n ? AC ? 0 ,即

? ∴平面 ? 的一个法向量是 n ? (2,1, 0)

解得z=0且x=2y,令y=1,则x=2

小结
1.直线的方向向量和平面的法向量是用空 间向量解决立体几何问题的两个重要工 具,是实现空间问题的向量方法的媒介. 2.要熟练掌握用直线的方向向量和平面的 法向量来研究直线、平面之间关系的原 理与方法,特别是直线、平面的位置关系 与方向向量、法向量之间的联系.


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