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陕西省西安市第一中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案


西安市第一中学 2013—2014 学年度第一学期期中 高三数学理科试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 B.4 个 C.6 个 ) D. R<P<Q ) . D.8 个

)

2、P= log23,Q= log32,R= log2(log32),则( A. R<Q<P B. P<R<Q

C. Q<R<P

1 ? ?x ? t ? 3、参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2

C.一条射线 D.两条射线 π 4、设命题 p:函数 y=sin 2x 的最小正周期为2;命题 q:函数 y=cos x 的图像关 于直 π 线 x=2对称.则下列判断正确的是 ( A.p 为真 真 π? 1 ? 5、若 α∈?0,2?,且 sin 2 ? ? cos 2? ? ,则 tan ? 的值等于( ? ? 4 2 A. 2 3 B. 3 C. 2 D. 3 ) 1 3 D.(2,4) ) B. ?q 为假 ) C.p 且 q 为假 D.p 或 q 为

A.一条直线

B.两条直线

6、在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 A.(-4,0) 1 B.(0,4) 1 1 C.(4,2)

1 1 7、若函数 f(x)=3x3-2ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞) 内为 增函数,则实数 a 的取值范围是 ( A.a≤2 B.5≤a≤7 ) C.4≤a≤6 D.a≤5 或 a≥7

8、若 x 是一个三角形的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x 的值域是( A. [? 2, 2] B. (?1,
3 ?1 ] 2

)

C. [?1,

3 ?1 ] 2

D. (?1,

3 ?1 ) 2

1 1 9、设 x, y∈R , a>1 ,b>1 ,若 a x ? b y ? 3 , a+ b = 2 3 ,则 x + y 的最大值为 ( A.2 ) 3 B.2 C.1 1 D.2

10 、 △ABC 的 三 个 内 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b , c ,
a sin A sin B ? b cos2 A ? 2a ,

b 则a等于( A.2 3

) B.2 2 C. 3 D. 2

11、设函数 f(x)= 域是( )

2x 1 x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y=[f(x)]的值 1+2 2

A.{0,1} 12、 函数 y=

B.{0,-1}

C.{-1,1}

D.{1,1}

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x (-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标之 1-x A.2
2

和等于( )

B.4

C.6

D.8

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) :

: x ? R, x 13、命题 P “存在
3 ?3

? x ? 1 ? 0” 的否定 ? P 为__________

14、 ? (9 ? x2 )dx =________. 15、若曲线 y ? x 4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为 16、 从边长为 10 cm× 16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一 个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为________ cm3 . 17、 关于函数 f ? x ? ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ,下列命题:
? ? ?? ①存在 x1 ,x2 , 当 x1 ? x2 ? ? 时, f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立; ② f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上 ? 6 3?

是单调递增;

?? ? ③函数 f ? x ? 的图像关于点 ? , 0 ? 成中心对称图像; ? 12 ?

④将函数 f ? x ? 的图像向左平移 其中正确的命题序号

5? 个单位后将与 y ? 2sin 2 x 的图像重合. 12 (注:把你认为正确的序号都填上)

三.解答题(本大题共有6个小题,满分70分)

18、 (本小题满分 10 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1( A ? 0, ? ? 0) 的最大值为 3, 6 π 其图像相邻两条对称轴之间的距离为2. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 ? ? (0, ), f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

?

?

19、 (本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最 大值 2, 求 a 的值.

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)的图 象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

21、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ?

?

3 sin 2 x ? 2, cos x , n ? ?1,2 cos x ? ,

?

f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 若 f ( A) ? 4 , b=1, △ ABC

的面积为

3 ,求 a 的值. 2

22、 (本小题满分 12 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5), 且 f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ x =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个 不等的实数根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由.

23、(本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx 2 (其中 k ? R ). (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;
?1 ? (Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ?2 ?

西安市第一中学 2013-2014 学年度第一学期期中考试 高三数学理科参考答案
一、选择题(共 12 小题,满分 60 分): 1 2 3 4 5 6 题 号 B A D C D C 答 案 二、填空题(共 4 小题,满分 20 分) :
2 13. “任意x ? R, x ? x ? 1 ? 0”

7 B

8 D

9 C

10 D

11 B

12 D

14. 36

15. 4x-y-3=0

16.144 17. ①③ 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) π? 18、 (满分 10 分)函数 f(x)=Asin? ?ωx-6?+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,其图像相邻两条对
π 称轴之间的距离为 . 2 π? ?α? (1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 α∈? ?0,2?,f?2?=2,求 α 的值. 解 (1)∵函数 f(x)的最大值为 3,

∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π,∴ω=2, π 2x- ?+1. ∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin? 6 ? ? α? ?α-π?+1=2, (2)∵f? = 2sin 2 ? ? ? 6? π 1 α- ?= . ∴sin? ? 6? 2 π π π π ∵0<α< ,∴- <α- < , 2 6 6 3 π π π ∴α- = ,∴α= . 6 6 3 ……………………10 分 ……………………5 分

19、 (满分 10 分) 已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2, 求 a 的值. 解 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, ……………………1 分 ……………………3 分 ……………………5 分 ……………………7 分

当 a≥1 时,ymax=f(1)=a; 当 0<a<1 时,ymax=f(a)=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=f(0)=1-a.

? ? ?a≤0 ?a≥1, ?0<a<1, ? 根据已知条件:? 或? 2 或? ? ?a=2 ?a -a+1=2 ?1-a=2, ? ?

解得 a=2 或 a=-1.

……………………10 分

20、 (满分 12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x)的图象关于直

线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x(0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.
解析:(1)证明:由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,有 f(x+1)=f(1-x),即有 f(- x)=f(x+2). ……………………2 分

又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,故有 f(-x)=-f(x). 故 f(x + 2) =- f(x) ,从而 f(x + 4) =- f(x + 2) = f(x) ,即 f(x) 是周期为 4 的周期函 数. (2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可知 f(0)=0. x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x. 故 x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. …………9 分 ……………………6 分

x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0],f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式为 f(x)=- -x-4. …………12 分

21、 (满分 12 分)已知向量 m ?

?

3 sin 2 x ? 2, cos x , n ? ?1,2 cos x ? ,

?

f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及对称轴方程; (Ⅱ) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c 若 f ( A) ? 4 , b=1, △ ABC

的面积为

3 ,求 a 的值. 2
2

解析: (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? …………………4 分

?
6

) ?3.

k? ? ? , (k ? Z ) …… (6 分) 2 6 ? ? 1 (Ⅱ)依题意 2sin(2 A ? ) ? 3 ? 4, 即 sin(2 A ? ) ? ,由于 0 ? A ? ? ,所以 6 6 2 ? 5? ? ………………(9 分) 2A ? ? , A= 6 6 3 1 3 3 3 c? , 得 c=2 , 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 得 又 ∵ bc sin A ? 且 b=1 , ∴ 2 2 4 2 …………………(12 分) a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 ,所以 a ? 3
所以最小正周期 T= ? ,对称轴方程为 x ? 22、 (本小题满分 12 分)已知 f(x)是二次函数,不等式 f(x)<0 的解集是(0,5),且 f(x)在

区间[-1,4]上的最大值是 12. (1)求 f(x)的解析式; 37 (2)是否存在自然数 m,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数 x 根?若存在,求出所有 m 的值;若不存在,请说明理由. 解析:(1)∵f(x)是二次函数,且 f(x)<0 的解集是(0,5), ∴可设 f(x)=ax(x-5)(a>0). ∴f(x)在区间[-1,4]上的最大值是 f(-1)=6a. 由已知,得 6a=12,∴a=2, ∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R). …………………5 分 37 (2)方程 f(x)+ =0 等价于方程 2x3-10x2+37=0 x 3 设 h(x)=2x -10x2+37, 则 h′(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

……………………7 分

10? 当 x∈? ?0, 3 ?时,h′(x)<0,因此 h(x)在此区间上是减少的; 10 ? 当 x∈? ? 3 ,+∞?时,h′(x)>0,因此 h(x)是在此区间上是增加的. 10? 1 ∵h(3)=1>0,h? ? 3 ?=-27<0,h(4)=5>0, ……………………10 分

10? ?10 ? ∴方程 h(x)=0 在区间? ?3, 3 ?,? 3 ,4?内分别有唯一实数根,而在区间(0,3),(4,+∞) 内没有实数根, 37 ∴存在唯一的自然数 m=3,使得方程 f(x)+ =0 在区间(m,m+1)内有且只有两个不 x 等的实数根. ……………………12 分

23、(本小题满分 14 分)设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx 2 (其中 k ? R ).
(Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;

?1 ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M . ?2 ? 【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,
(Ⅱ) 当 k ? ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x 2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?
……………2 分

x
f ?? x?

? ??, 0 ?
?
?

0
0
极大值

? 0, ln 2 ?
?

ln 2

? ln 2, ?? ?
?
?

0
极小值

f ? x?

?

右表可知,函数 f ? x ? 的递减区间为 ? 0, ln 2 ? ,递增区间为 ? ??, 0 ? , ? ln 2, ?? ? .

……………………6 分 (Ⅱ) f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2kx ? xe x ? 2kx ? x e x ? 2k , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? ……………………7 分

?

?

1 1? k ?1 ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, k k ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2k ? ? ? 0, k ? 所以当 x ? 0, ln ? 2k ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ln ? 2k ? , ?? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M ? max f ? 0 ? , f ? k ? ? max ?1, ? k ? 1? e k ? k 3
k 令 h ? k ? ? ? k ? 1? e ? k ? 1 ,则 h? ? k ? ? k e ? 3k ,

?

?

?

?

?

?

?

?

………………10 分

k

3

?

?

令 ? ? k ? ? e ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? e ? 3 ? e ? 3 ? 0
k k

所以 ? ? k ? 在 ?

3? ?1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3? ? 0 2? ?2 ? ?2? ? ?1 ? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ?
………………12 分

所以存在 x0 ? ?

当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 , 所以 ? ? k ? 在 ? 因为 h ?

?1 ? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减. ?2 ?

1 7 ?1? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 , ??? 2 8 ?2?
?1 ? ,1? 上恒成立,当且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. ?2 ?
k 3

所以 h ? k ? ? 0 在 ?

综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M ? ? k ? 1? e ? k . ………………14 分


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