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2018-2019学年福建省厦门市双十中学高一上期中考试数学试题(解析版)

2018-2019 学年福建省厦门市双十中学高一上期中考试数学 试题

一、单选题 1.设集合 A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若 A∩B={1},则 B=( A. 【答案】D 【解析】由交集的定义可得 1∈A 且 1∈B,代入二次方程,求得 m,再解二次方程可得 集合 B. 【详解】 解:集合 A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}. 若 A∩B={1},则 1∈A 且 1∈B, 可得 1-4+m=0,解得 m=3, 即有 B={x|x2-4x+3=0}={1,3}. 故选:D. 【点睛】 本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题. 2.下列各组函数 f(x)与 g(x)的图象相同的是( A. C. 【答案】C 【解析】通过求函数定义域可得出选项 A,B 的两函数的图象不相同,而选项 D 的函数 解析式不同,从而图象不相同,这样只能选 C. 【详解】 A.f(x)=x 的定义域为 R, 同; B.f(x)=x 的定义域为 R,g(x)=x0 的定义域为{x|x≠0}, 定义域不同, 图象不相同; C. 象相同; D.f(x)=x2,g(x)=(x+1)2,解析式不同,图象不相同. 第 1 页 共 14 页 的定义域为 R, 的定义域为 R,定义域和解析式都相同,图 的定义域为[0,+∞) ,定义域不同,图象不相 , , B. D. , , ) B. C. D. )

故选:C. 【点睛】 本题考查函数的定义,如何判断两函数的图象是否相同:判断定义域和解析式是否都相 同. 3.函数 f(x) ,g(x)由如下表格给出,则 f(g(3) )=( x f(x) g(x) 1 2 3 2 4 1 3 3 2 ) 4 1 4

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】A 【解析】通过表格求出 g(3)的值,然后求解 f(g(3) )的值. 【详解】 由表格可知,g(3)=2, ∴f(g(3))=f(2)=4. 故选:A. 【点睛】 本题考查函数值的求法,考查两次对应,考查计算能力. 4.已知函数 f(x)=3ax-1-2a 在区间(-1,1)上存在零点,则( )

A.



B.

C.



D.

【答案】C 【解析】由函数的零点判定定理可得不等式,解得可求 a 的范围. 本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用,属于基础试题. 【详解】 由 f(x)=3ax﹣1﹣2a 在区间(﹣1,1)上存在零点, 则(﹣1)?f(1)=(﹣3a﹣1﹣2a)(3a﹣1﹣2a)=(﹣5a﹣1)?(a﹣4)<0,

解得 a>1 或 a 故选:C.



第 2 页 共 14 页

【点睛】 本题主要考查了函数零点判定定理的简单应用,属于基础试题 5.已知 a=log20.3,b=20.3,c=0.21.3,则 a、b、c 的大小关系是( A. 【答案】D 【解析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 x,y,z 与 0 和 1 的大小得答案. 【详解】 ∵a=log20.3<log21=0, b=20.3>20=1, 0<c=0.21.3<0.20=1, ∴b>c>a, 故选:D. 【点睛】 本题考查对数值的大小比较, 考查对数的运算性质, 考查指数函数与对数函数的单调性, 是基础题. 6.在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x>0),g(x)=logax 的图像可能是( ) B. C. D. )

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】试题分析:解:A 图显示 C 图中指数函数图象下降,显示 是错误的; D 图中指数函数的图象上升,显示 盾,是错误的; 因为函数 与函数

的定义域为

是错误的; ,两者矛盾,

,对数函数的图象上升,显示

,对数函数的图象下降,显示

,两者矛

互为反函数,它们的图象应关于直线

对称,所以

B 图是正确的,故选 B. 【考点】1、指数函数与对数函数的图象;2、互数反函数的两个函数图象间的关系.

第 3 页 共 14 页

7.已知计算机的成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低 ,现在价格为 8100 元的 计算机,9 年后的价格可降为( A.2400 元 【答案】A 【解析】略 8.根据表格中的数据,可以断定方程 ( ) -1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5 的一个根所在的区间是 B.900 元 ) D.3600 元

C.300 元

A. (-1,0) 【答案】B

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

【解析】解:令 f(x)=ex-x-2, 由表知 f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0, ∴方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为(1,2) . 答案为: (1,2) .

9.已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围为( )

对任意的实数 x1≠x2 都有

>0 成立,

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】由题意可得函数是增函数,列出不等式组,从而解出实数 a 的取值范围. 【详解】

对任意的实数 x1≠x2 都有

0 成立,说明函数是增函数,

第 4 页 共 14 页

由题意函数 f(x)

,得



解得,0<a 故选:B. 【点睛】



本题考查了分段函数的单调性的逆向问题 ,考查了一次函数与反比例函数的图象与性 质,属于基础题. 10.若 a>b>0,且 ab=1,则下列不等式成立的是

1 b ? ? log 2 ? a ? b ? b 2a 1 b C. a ? ? log 2 ? a ? b ? ? a b 2
A. a ? 【答案】B 【 解 析 】 因 为

b 1 ? log 2 ? a ? b ? ? a ? a 2 b 1 b D. log 2 ? a ? b ? ? a ? ? a b 2
B.

a?b?0





ab ? 1







a ? 1, 0 ? b ? 1,?

b 1, log 2 ? a ? b ? log 2 2 ab ? 1, 2a

2

a?

1 b

?a?

1 1 ? a ? b ? a ? ? log 2 ? a ? b ? ,所以选 B. b b

【名师点睛】 比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数 函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小, 但考查的知识点较多,需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.

11.已知函数 f(x)= 取值范围是( )

,若 f(2a2+a+1)+f(-2a2+4a-3)>0,则实数 a 的

A.

B.

C. 【答案】B

D.

【解析】根据分段函数的解析式,画出函数的图象,判断函数的奇偶性,利用特殊值转 化判断选项即可. 【详解】 第 5 页 共 14 页

∵函数 f(x)



作出分段函数的图象如图所示, ∴根据函数的图象可得,函数 f(x)在定义域 R 上奇函数, f(2a2+a+1)+f(﹣2a2+4a﹣3)>0,可得: f(2a2+a+1)>f(2a2﹣4a+3), ∵2a2﹣4a+3=2(a﹣1)2+1≥1,

2a2+a+1=2(a

)2



当 a=1 时,2a2﹣4a+3=1,2a2+a+1=4, f(2a2+a+1)>f(2a2﹣4a+3) ,不成立;排除 A、C, 当 a=2 时,2a2﹣4a+3=3,2a2+a+1=11, f(2a2+a+1)>f(2a2﹣4a+3) ,不成立;排除 D. 故选:B.

【点睛】 本题考查了分段函数的图象,对于分段函数的问题,一般选用分类讨论和数形结合的思 想方法进行求解.利用基本初等函数的单调性判断函数的单调性,运用了函数的单调性 解不等式,解题的关键是将不等式进行合理的转化,然后利用单调性去掉“f”.本题主要 利用直接法与间接法转化求解,属于中档题. 12.已知函数 f(x)=ex-2+e2-x,若实数 x1、x2 满足 x1<x2,x1+x2<4 且(x1-2) (x2-2) <0,则下列结论正确的是( A. 【答案】C 【解析】根据题意,设 t=x﹣2,则 y=et+e﹣t,设 g(t)=et+e﹣t,分析可得 g(t)为偶函 数且在(0,+∞)上增函数,进而分析可得(x1﹣2)<0<(x2﹣2) ,且|x1﹣2|>|x2﹣2|, 第 6 页 共 14 页 B. ) C. D.

据此分析可得答案. 【详解】 根据题意,f(x)=ex﹣2+e2﹣x, 设 t=x﹣2,则 y=et+e﹣t, 设 g(t)=et+e﹣t,有 g(﹣t)=et+e﹣t=et+e﹣t=g(t), 则 y=et+e﹣t 为偶函数, 当 t>0 时,et>1,函数 y=et+e﹣t 在(0,+∞)上增函数, 若实数 x1、x2 满足 x1<x2,x1+x2<4 且(x1﹣2)(x2﹣2)<0, 即(x1﹣2)(x2﹣2)<0 且(x1﹣2)+(x2﹣2)<0, 则有(x1﹣2)<0<(x2﹣2) ,且|x1﹣2|>|x2﹣2|, 即|t1|>|t2|,则有 g(t1)>g(t2), 即 f(x1)>f(x2); 故选:C. 【点睛】 本题考查复合函数的单调性的判断,注意利用换元法分析,属于中档题.

二、填空题 13.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表, x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

则不等式 ax2+bx+c<0 的解集是______. 【答案】 (-2,3) 【解析】由二次函数的部分对应值知函数的零点以及图象开口方向,由此写出不等式对 应的解集. 【详解】 解:由二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值知, x=-2 时,y=0;x=3 时,y=0; 且函数 y 的图象开口向上,

第 7 页 共 14 页

∴不等式 ax2+bx+c<0 的解集是(-2,3) . 故答案为: (-2,3) . 【点睛】 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题,是基础题. 14.已知 lg2=a,lg3=b,试用 a,b 表示 log125=______.

【答案】 【解析】直接由对数的运算性质计算即可. 【详解】 ∵lg2=a,lg3=b,

∴log125



故答案为: 【点睛】



本题考查了对数的运算性质及运算法则,是基础题. 15.已知函数 f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x 的零点依次为 a,b,c 则 a,b, c 由小到大的顺序是________. 【答案】a<c<b 【解析】 因为函数 f(x)=2 +x 的零点在(-1,0)上, 函数 g(x)=log2x+x 的零点在(0,1) 上,函数 h(x)=x +x 的零点为 0,所以 a<c<b. 16.某市某种类型的出租车,规定 3 千米内起步价 8 元(即行程不超过 3 千米,一律收 费 8 元) ,若超过 3 千米,除起步价外,超过部分再按 1.5 元/千米计价收费,若乘客 与司机约定按四舍五入以元计费不找零,下车后乘客付了 16 元,则乘车里程的范围 是 【答案】8≤x<8 .
3 x

2 。 3 2 。 3

【解析】试题分析:付款 16 元,肯定超出了 3 千米,设行程 x 千米,则应该付款 8+ 1,5(x-3)∵四舍五入∴15.5≤8+1.5(x-3)<16.5 解得 8≤x<8

【考点】本题主要考查不等式的概念、不等式的性质及不等式解法。 点评:解答此类题目,首先要审清题意,明确变量关系,通过构建不等关系,应用不等 式知识解题。 第 8 页 共 14 页

三、解答题 17.计算下列各式:

(1) (2 )

(﹣9.6)0﹣(3 )

(1.5)﹣2;

(2)log3

lg25+lg4



【答案】 (1)

(2)

【解析】 (1)根据指数幂的运算性质计算即可, (2)根据对数的运算性质计算即可. 【详解】

解: (1)原式= -1- + = ,

(2)原式=- +lg100+2=- +2+2= 【点睛】



本题考查了指数幂和对数的运算性质,属于基础题 18.已知函数 f(x)=a2x+2ax-1(a>1,且 a 为常数)在区间[-1,1]上的最大值为 14. (1)求 f(x)的表达式; (2)求满足 f(x)=7 时 x 的值. 【答案】 (1)f(x)=32x+23x-1(2)x=log32 【解析】 (1)令 t=ax >0,由条件可得 t=ax∈[ ,a],f(x)=(t+1)2-2,故当 t=a

时,函数 y 取得最大值为 a2+2a-1=14,求得 a 的值,可得 f(x)的解析式. (2)由 f(x)=7,求得 3x=2,从而得到 x 的值. 【详解】 解: (1)令 t=ax >0,∵x∈[-1,1],a>1,

∴ax∈[ ,a],f(x)=y=t2+2t-1=(t+1)2-2, 故当 t=a 时,函数 y 取得最大值为 a2+2a-1=14,求得 a=3, ∴f(x)=32x+23x-1. (2)由 f(x)=7,可得 32x+2×3x-1=7, 第 9 页 共 14 页

即(3x+4) (3x-2)=0,求得 3x=2,∴x=log32. 【点睛】 本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于基础 题. 19.已知集合 A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}. (1)分别求 A∩B, (?RA)∪(?RB) ; (2)已知集合 C={x|a<x<a2+1},若 C? A,求满足条件的实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)A∩B=(2,3], (?RA)∪(?RB)=(-∞,2]∪(3,+∞) (2) 【解析】 (1)先求出集合 A,B,然后进行交、并、补的运算即可; (2)因为 C?A,所以分 C=?,和 C≠?两种情况,然后分别求 a 在这两种情况下的取值, 再取并集即可. 【详解】 解: (1)A=[1,3],B=(2,+∞) ; ∴A∩B=(2,3],?RA=(-∞,1)∪(3,+∞) ,?RB=(-∞,2], (?RA)∪(?RB)=(-∞,2]∪(3,+∞) ; (2)∵C?A,∴若 C=?,则 a≥a2+1,解得 a∈?;

若 C≠?,则

,解得 1 .



∴实数 a 的取值范围为 【点睛】

本题考查指数函数,对数函数的单调性,以及根据单调性解不等式,集合的交、并、补 的运算,子集的概念. 20.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与 投资额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。 已知投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元(如图) .

(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系. 第 10 页 共 14 页

(2)该家庭现有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最 大收益,其最大收益是多少万元?

【答案】 (1) 【解析】试题分析: (1)根据题意,得

; (2). , ,代入点的坐标,求的

的值,即可可得到两种产品的收益与投资的函数关系; (2)投资债券类产品 万元,则 股票类投资为 大收益. 试题解析: (1) , , 万元,令 ,换元利用二次函数的性质,即可求解其最





(2)设:投资债券类产品 万元,则股票类投资为

万元.

令 所以当

,则 ,即 万元时,收益最大, 万元.

【考点】函数的实际应用问题.

21.设 (1)求 的值; (2)证明

为奇函数, 为常数.

在区间(1,+∞)内单调递增;

(3)若对于区间[3,4]上的每一个 的值,不等式 围.

>

恒成立,求实数 的取值范

第 11 页 共 14 页

【答案】 (1)

(2)



上是增函数(3) 恒成立,即可求解; (2)利

【解析】试题分析: (1)根据奇函数的定义知

用函数单调性的定义,作差证明

即可; (3)构造函数

,证明

其在[3,4]上单调递增,求其最小值即可得到 m 的取值范围. 试题解析:

( 1 )

为 奇 函 数 , 所 以

恒 成 立 , 所 以

恒成立,



,所以

,即

,经检验

不合题意,所以



(2)由(1)知,

,设任意的



则 因为





,所以



故 在

,所以 上是增函数。

,所以

(3)由(2)知函数

在[3,4]上单调递增,所以

的最小值为

,所以使

恒成立的

的取值范围是

.

点睛: 奇偶性的判定问题, 解题时, 一定要注意先分析函数的定义域是否关于原点对称, 单调性定义法证明时,作差后一定要变形到位,一般为几个因式相乘的形式,然后判断 第 12 页 共 14 页

差的正负作出结论. 22.已知:函数 (1)求 (2)求 的值; 的解析式; 对一切实数 都有 成立,且 .

( 3 )已知

,设 当

时,不等式

恒成立;



时,

是单调函数.如果满足 成立的 的集合记为 ,满足 成立的 的集合记为 , 求 为全集). ; (2) ; (3) .

【答案】 (1)

【解析】试题分析: (1)对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关 键,对自变量适当的赋值可以解决该问题,结合已知条件可以赋 在(1)基础上赋值 可以实现求解 求出 ; (2)

的解析式的问题; (3)利用(2)中求得的函

数的解析式,结合恒成立问题的求解策略,即转化为相应的二次函数最值问题求出集合 ,利用二次函数的单调性求解策略求出集合 . 试题解析: (1)令 x=﹣1,y=1,则由已知 f(0)﹣f(1)=﹣1(﹣1+2+1) ∴f(0)=﹣2 (2)令 y=0,则 f(x)﹣f(0)=x(x+1) 又∵f(0)=﹣2,∴f(x)=x2+x﹣2 (3)不等式 f(x)+3<2x+a 即 x2+x﹣2+3<2x+a

也就是 x2﹣x+1<a.由于当

时,



又 x2﹣x+1=

恒成立,

故 A={a|a≥1},g(x)=x2+x﹣2﹣ax=x2+(1﹣a)x﹣2 对称轴 x=



又 g(x)在[﹣2,2]上是单调函数,故有

,或



∴B={a|a≤﹣3,或 a≥5},CRB={a|﹣3<a<5},∴A∩CRB={a|1≤a<5}. 【考点】抽象函数的性质;不等式的求解. 第 13 页 共 14 页

第 14 页 共 14 页


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