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高考数学(理)(全国)一轮复习课件:8.9直线与圆锥曲线的位置关系

第九节 直线与圆锥曲线的位置关系 【教材基础回顾】 1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定 把圆锥曲线方程C与直线方程l联立消去y,整理得到关于x的方程ax2+bx+c=0. (1)当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为Δ,则 相交 相切 相离 (2)当a=0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆 锥曲线相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则 直线l与双曲线的渐近线_____;若C为抛物线,则直线l与 抛物线的对称轴_____. 平行 平行 2.弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点, A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|=_____________=_____________________ 或|AB|= =_______________________. 1 ? k 2 | x1 ? x 2 | 1 1 ? 2 | y1 ? y 2 | k 1 ? k 2 (x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1x 2 1 1? 2 k ? y1 ? y2 ? 2 ? 4y1y 2 【金榜状元笔记】 中点弦问题的常用方法 (1)利用根与系数的关系:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后当得到一个一元二次 方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A,B,一般地,首先设出A(x1,y1),B(x2,y2),代入曲 线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系. 【教材母题变式】 1.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是 ( ) 15 15 A.(? , ) 3 3 15 C.(? , 0) 3 15 B.(0, ) 3 15 D.(? , ? 1) 3 ? y ? kx ? 2, ? 2 2 A(x1,y1),B(x2,y2), 设直线与双曲线右支交于不同的两点 ?x ? y ? 6 【解析】选D.由 得(1-k2)x2-4kx-10=0. 则 ?1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 4 ?1 ? k ? ? ? ?10 ?>0, ? ? x ? x ? 4k >0, ? 1 2 1? k2 ? ?10 ? x1x 2= >0, 2 1? k ? 15 即k的取值范围是 3 解得- <k<-1. 15 (? , ? 1). 3 2 ,则 2.斜率为1的直线l与椭圆 +y2=1相交于A,B两点 |AB|的最大值为 ( ) x 4 A.2 4 5 B. 5 4 10 C. 5 8 10 D. 5 【解析】选C.设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线l的方程为y=x+t,由 消去y, 得5x2+8tx+4(t2-1)=0. 则x1+x2=所以|AB|= t,x1x2= |x1-x2| ?x 2 ? 4y2 ? 4, ? ?y ? x ? t 4 ? t 2 ? 1? 5 8 5 1? k2 . = 1 ? k ? ? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 2 2 2 4 t ? 1? 4 2 ? 2 2 = 2 ? (? t) ? 4 ? = ? 5? t , 5 5 5 当t=0时,|AB|max 8= 4 10 . 5 3.已知F1,F2是椭圆16x2+25y2=1 600的两个焦点,P是椭圆上一点,且PF1⊥PF2,则△F1PF2的 面积为____. 【解析】由题意可得|PF1|+|PF2|=2a=20, |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=144= (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|= 202-2|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=128, 所以△F1PF2的面积为 |PF1|·|PF2|= 答案:64 ×128=64. 1 2 1 2 4.(2017· 全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N. 若M为FN的中点,则|FN|=________. 【解析】设N(0,a),F(2,0),那么 点M在抛物线 上,所以 =8,解得a=±4 ,所以N(0,±4 ),那么 |FN|= 答案:6 a2 4 a M(1, ), 2 2 2 2 ? 2 ? 0? ? (0 ? 4 2) ? 6. 2 【母题变式溯源】 题号 1 2 3 4 知识点 直线与双曲线的 位置关系 弦长问题 焦点三角形 直线与抛物线的 位置关系 源自教材 P80·A组T5 P80·A组T8 P81·B组T1 P69·例4 考向一 直线与圆锥曲线位置关系的判定及应用 【典例1】(1)若直线mx+ny=4和圆O: x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直 线与椭圆 A.至多一个 =1的交点个数为 B.2 C.1 ( ) D.0 x 2 y2 + 9 4 (2)(2018· 石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离 多1.记点M的轨迹为C. ①求轨迹C的方程; ②设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),若直线l与轨迹C恰好有一个公共点,求实数k的取值 范围. 【解析】(1)选B.因为直线mx+ny=4和圆O:x2+y2=4没有 交点,所以 >2,所以m2+n2<4.所以 4 ≤1,所以点(m,n)在椭圆 部,所以过点(m,n)的直线与椭圆 m2 ? n 2 个. =1的内 =1的交点有2 4?m 5 2 =1 ? m 4 36 2 x 2 y2 + 9 4 m2 n 2 m2 + < + 9 4 9 x 2 y2 + 9 4 【巧思妙解】选B.因为直线mx+ny=4与圆O:x

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