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2013年数学高考备考二轮复习 核心考点三 第8课时 三角函数的图象与性质


第 8 课时

三角函数的图象与性质

1.(2012 年广东)对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α·β α β= .若平面向量 a,b 满足|a|≥|b|>0,a 与 b 的夹角 θ∈ α·β


? π? ?0, ?,且 4? ?

a b和b a
○ ○

? ? ?n? 都在集合?2? ? ? ?

Z n∈Z

? ? ?中,则 ? ?

a b=(


)

1 A.2

B.1

3 C.2

5 D.2

2 a· |a| b b· |b| a 解 析 : ∵ a b = b· = |b| cosθ≥cosθ> 2 , b a = a· = |a| b a
○ ○

cosθ≤cosθ<1,且 a b 和 b a
○ ○

? ? ?n? 都在集合?2? ? ? ?

n∈Z

? ? ?中,∴b ○ a ? ?

1 |b| 1 |b| |a| = |a| cosθ= 2 , |a| = 2cosθ ,∴a b= |b| cosθ=2cos2θ<2.∵θ∈


? π? ?0, ?,∴1<a ○ b<2,故有 4? ?

3 a b=2.故选 C.


答案:C

2.(2012 年江西)若 tanθ+ 1 A. 5 1 4 1 C. 3

1 =4,则 sin2θ=( D ) tanθ 1 D. 2

B.

1 解析:由tanθ+tanθ=4,
2 2 sinθ cosθ sin θ+cos θ 得cosθ+ sinθ = sinθcosθ =4,

1 即1 =4,所以sin2θ=2.故选D. 2sin2θ

1

3.(2012年辽宁)已知 sina-cosa= 2,a∈(0,p),则 tan a =( A )
A.-1 2 B.- 2 2 C. 2
2 ,∴ 2 sin

D.1
? π? ?α- ? 4? ?

解析一:∵sinα-cosα=



2 .∴

? π? 3π ?α- ?=1.∵α∈(0,π),∴α= .∴tanα=-1.故选A. sin 4? 4 ?

解析二:∵sinα-cosα=

2 ,∴(sinα-cosα)2=2.∴sin2α

3π 3π =-1.∵α∈(0,π),∴2α∈(0,2π).∴2α= 2 .∴α= 4 .∴tanα =-1.故选A.

对广东的试题而言,2008、2009、2010、2011、2012 连续 五年关于三角函数的解答题都是考查三角变换及求值.这个数

据足以说明广东对该题型的情有独钟,客观题要注意诱导公式、
同角关系式及齐次式的应用,解答题要注意三角变换与图象性

质的整合、三角变换与解三角形的整合等.

三角函数的图象与性质 例 1 :(2012 年湖南) 函数 f(x) =sinx ( )
A.[-2 ,2] C.[-1,1 ] B.[- 3, 3]
? D.?- ? ?
? π? -cos ?x+6? 的值域为 ? ?

3 3? ? 2,2? ?

? π? 解析:f(x)=sinx-cos?x+6?=sinx- ? ?

3 1 2 cosx+2sinx



? π? 3sin?x-6?. ? ?

? π? ∵sin?x-6?∈[-1,1],∴f(x)的值域为[- ? ?

3, 3].

答案:B

【思维点拨】利用三角恒等变换把f(x)化成Asin(ωx+j)的
形式,利用sin(ωx+j)∈[-1,1],求得f(x)的值域.

【配对练习】 1.(2011 年江西)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为 x 轴

的正半轴,若 P(4,y)是角θ终边上一点,且 sinθ=-
则y=________. -8

2 5

5 ,

解析:根据正弦值为负数,判断角在第三、四象限,再加
对边 y 上横坐标为正,断定该角为第四象限角.sinθ= = 斜边 16+y2



2 5

5

?y=-8.

2.(2011 年江苏)函数 f(x)=Asin(wx +j)(A,w,φ是常数,A>0,w>0)的部分
6 图象如图 1,则 f(0)=________. 2
T 7π π 解析:由图,知 A= 2,∵4=12-3

图1

π π 2π =4,∴ω=2,又 2×3+φ=kπ,∴φ=kπ- 3 ,故 f(0)=
? 2 ? 6 ?kπ- π?=± .从图象,知 2sin 3 ? 2 ?

6 f(0)>0,∴f(0)= 2 .

三角变换及三角函数的性质 ? π? 例2: 设f(x)=4cos?ωx-6?sinωx-cos(2ωx+π),其中ω>0. ? ? (1)求函数 y=f(x)的值域;
? 3π π? (2)若 f(x)在区间 ?- , ? 上为增函数,求ω的最大值. 2 2? ? ? 3 ? 1 ? 解:(1)f(x)=4? cosωx+ sinωx?sinωx+cos2ωx ? 2 ? 2 ?

=2 3 sinωxcosωx+2sin2ωx+cos2ωx-sin2ωx

= 3 sin2ωx+1.
∵-1≤sin2ωx≤1, ∴函数y=f(x)的值域为[1- 3 ,1+ 3 ].

(2)∵y=sinx 增函数,

? π π? 在每个闭区间 ?2kπ-2 ,2kπ+2?(k∈Z)上为 ? ?

∴f(x)= 3sin2ωx+1(ω>0)在每个闭区间
?kπ π kπ π ? ? - , + ?(k∈Z)上为增函数. 4ω ? ? ω 4ω ω ? 3π π? ?kπ π kπ π ? 依题意,知?- 2 ,2??? - , + ?对某个 4ω ω 4ω? ? ? ?ω

k∈Z 成

立,此时必有 k=0,

π ? 3π ?- 2 ≥-4ω, 于是? ?π≤ π , ?2 4ω

1 1 解得ω≤6,故ω的最大值为6.

【思维点拨】利用三角恒等变换把 f(x)化成 Asin(ωx+j)
? ? 的形式,再求出其单调增区间,根据题意,?-3π,π? 为该区 2 2? ?

间的子集.

【配对练习】 3.(2012 年北京东城一模)已知函数 f(x)=(sin2x+cos2x)2- 2sin22x. (1)求 f(x)的最小正周期;
π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单 8

位长度,再向上平移 1 个单位长度得到的,当 y=g(x)的最大值和最小值.

? π? x∈ ?0, ?时,求 4? ?

解:(1)∵f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin22x
=sin4x+cos4x=
? π? 2sin?4x+ ?, 4? ?

2π π ∴函数的最小正周期为 T= 4 =2. (2)依题意,有 y=g(x)= =
? π? 2sin?4x- ?+1. 4? ? ? ? π? π? 2sin?4?x-8 ?+4?+1 ? ? ? ?

π π π 3π ∵0≤x≤4,∴-4 ≤4x- 4≤ 4 . π π 3π 当 4x- = ,即 x= 时,g(x)取最大值 2+1; 4 2 16 π π 当 4x-4=-4 ,即 x=0 时,g(x)取最小值 0.

三角变换与求值 例 3:(2012 年广东广州一模)已知函数 f(x)=tan (1)求
?π? f ? ?的值; ?9?
? ?α π? ? 3π? π? α∈?π, 2 ?,若f?3+4?=2,求cos?α-4? 的值. ? ? ? ? ? ? ? π? ?3x+ ?. 4? ?

(2)设

π π tan3+tan4 ?π? ?π π? 3+1 ? ?=tan? + ?= 解:(1)f 9 3 4? π π=1- 3=-2- 3. ? ? ? 1-tan3tan4

?α π? ? 3π π? (2)∵f?3+4?=tan?α+ 4 +4?=tan(α+π)=tanα=2, ? ? ? ?

sinα ∴ =2,即 sinα=2cosα.① cosα ∵sin2α+cos2α=1,② 1 由①、②解得 cos α=5.
2

? 3π? ∵α∈?π, 2 ?,∴cosα=- ? ?

5 2 5 5 ,sinα=- 5 .

? π? π π ∴cos?α-4?=cosαcos4+sinαsin4 ? ?

5 2 ? 2 5? 2 3 10 ? ? =- × +?- × =- . 5 2 ? 10 5 ? 2 ?

sinα 【思维点拨】由tanα= cosα 联立sin2α+cos2α=1, 解出cosα 与sinα的值,然后代入公式cos 可,注意角的范围.
? π? ?α- ? 4? ?

π π =cosαcos 4 +sinαsin 4 即

【配对练习】

4.(2012 年广东广州二模)已知函数 f(x)=(cosx+sinx)· (cosx
-sinx).

(1)求函数 f(x)的最小正周期;
?α? π π 1 ?β? 2 (2)若0<α< 2 ,0<β< 2 ,且f ?2? = 3 ,f ?2? = 3 ,求sin(α-β)的 ? ? ? ?

值.
解:(1)∵f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx) =cos2x-sin2x=cos2x. 2π ∴函数 f(x)的最小正周期为 T= =π. 2

(2)由(1),得 f(x)=cos2x.
?α? 1 ?β? 2 1 2 ? ?= ,f? ?= ,∴cosα= ,cosβ= . ∵f 3 3 ?2 ? 3 ?2? 3

π π ∵0<α< ,0<β< . 2 2 2 ∴sinα= 1-cos α=
2

2 5 2 ,sinβ= 1-cos β= . 3 3 2

2 2 1 5 ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 3 ×3-3× 3 4 = 2- 5 . 9

1.作为选择题与填空题,高考的热点有: sina, cosa,
tana的知一求二、三角函数的伸缩变换及平移变换、通过三角

函数部分图象求解析式、求关于 sina和 cosa的齐次式的值等.
2.作为解答题,应注意三个方面的结合: 三角变换与三

角函数图象性质的结合、三角变换与解三角形的结合、三角变
换与平面向量的结合.

3.特别提醒:在本节中,最容易出错的是三角函数的符号.


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