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北师大版高中数学必修2第二章《解析几何初步》2.2《圆与圆的方程(2)》教案


第二课时 一、三维目标

圆的一般方程

1、知识与技能:(1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特 征, 由圆的一般 方程确定圆的圆心半径. 掌握方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. (2) 能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程.能用待定系数法求圆的方程。(3) 培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 2、过程与方法:通过对方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示圆的条件的探究,培养学生探索发现 及分析解决问题的实际能力。 3、情感态度价值观:渗透数形结 合、化归与转化等数学思想方法,提高学生的 整体素质, 激励学生创新,勇于探索。 二、教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已 知条件确定方程中的系数,D、E、F .教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和 运用
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三、教学方法:学导式 四、教学过程 (一) 、课题引入 问题:求过三点 A(0,0) ,B(1,1) ,C(4,2)的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问 题显然有些麻烦,得用直 线的知识解决又有其简单的局限性, 那么这个问题有没有其它的解决方法呢?带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种 形式——圆的一般方程。 (二) 、探索研究:请同学们写出圆的标准方程:(x-a) +(y-b) =r ,圆心(a,b),半径 r. 把圆的标准方程展开,并整理:x +y -2ax-2by+a +b -r =0. 取 D ? ?2a, E ? ?2b, F ? a ? b ? r 得 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2



这个方程是圆的方程. 反过来 给出一个形如 x +y +Dx+Ey+F=0 的方程,它表示的曲线一定是圆吗?
2 2

把 x +y +Dx+Ey+ F=0 配方得 ( x ?
2 2

D 2 E D 2 ? E 2 ? 4F ) ? ( y ? )2 ? 2 2 4

② (配

方过程由学生去完成)这个方程是不是表示 圆?

(1)当 D +E -4F>0 时,方程②表示(1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示以(2 2

2

2

E D ,- ) 2 2

为圆心,

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆; 2

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2 2 (2) 当 D ? E ? 4F ? 0 时, 方程只有实数解 x ? ?

D E D ,y ? ? , 即只表示一个点 (- , 2 2 2

-

E ) ; 2
2 2
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(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形 综上所述,方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线不一定是圆
2 2
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只 有 当 D ? E ? 4F ? 0 时 , 它 表 示 的 曲 线 才 是 圆 , 我 们 把 形 如

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的表示圆的方程称为圆的一般方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4
2
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我们来看圆的一般方程的特点:(启发学生归纳) (1)①x 和 y 的系数相同,不等于 0.②没有 xy 这样的二次项. (2)圆的一般方程中有三个特定的系数 D、E 、F,因之只要求出这三个系数,圆的 方程就确定了. (3)、与圆的 标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆 的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。 (三)、知识应用与解题研究 例 1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径。
2 2

?1? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 9 ? 0 ? 2 ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 4 x ? 12 y ? 11 ? 0
学生自己分析探求解决途径:①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般 方程的判断方法求解。但是,要注意对于 ?1? 4x ? 4 y ? 4x ?12 y ? 9 ? 0 来说,这里的
2 2

9 D ? ?1, E ? 3, F ? 而不是D=-4,E=12,F=9 . 4
例 2:求过三点 A(0,0) ,B( 1,1) ,C(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径长和圆心 坐标。 分析:据已知条件,很难直接写出圆的标准方程,而圆的一般方程则需确定三个系数,而 条件恰给出三点坐标,不妨试着先写出圆的一般方程
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解:设所求的圆的方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

∵ A(0,0), B(11 , ),C(4,2)在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上 面的方程,可以 得到关于 D, E, F 的三元一次方程组,

?F ? 0 ? 即 ?D ? E ? F ? 2 ? 0 解此方程组,可得: D ? ?8, E ? 6, F ? 0 ?4 D ? 2 E ? F ? 20 ? 0 ?
∴ 所 求 圆 的 方 程 为 : x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0
? D F ? 4,? ? ?3 2 2
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x

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r?

1 D 2 ? E 2 ? 4F ? 5 ; 2

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得圆心坐标为( 4 , -3 ) . 或将 x 2 ? y 2 ? 8x ? 6 y ? 0 左边配方化为圆的标准方程,

( x ? 4) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25 ,从而求出圆的半径 r ? 5 ,圆心坐标为(4,-3)

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学生讨论交流,归纳得出使用待定系数法的一般步骤:①根据提议,选择标准方程或一 般方程;②根据条件列出关于 a、b、r 或 D、E、F 的方程组;③解出 a、b 、r 或 D、E、F, 代入标准方程或一般方程。
2 例 3、已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3) ,端点 A 在圆上 ? x ? 1? ? y ? 4 运动,求线 2

段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 分析:如图点 A 运动引起点 M 运动,而点 A 在已知圆上运动,点 A 的坐标满足方程

? x ? 1?


2

? y 2 ? 4 。建立点 M 与点 A 坐标之间的关系,就可以建立点 M 的坐标满足的条件,

求出点 M 的轨迹方程。 : 设 点 M 的 坐 标 是 ( x,y ) , 点 A 的 坐 标 是

3? 且M是线段AB的重点,所以 ? x0 , y0 ?.由于点B的坐标是? 4,
x0 ? 4 y ?3 ,y? 0 , ① 2 2 于是有x0 ? 2 x ? 4, y0 ? 2 y ? 3 x?
因为点A在圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 上运动,所以点 A 的坐标满足方程 ? x ? 1? ? y 2 ? 4 ,
2 2 2 即 ? x0 ? 1? ? y0 ? 4 2

? x0 ? 1?

2

? y0 2 ? 4
2


2

把①代入②,得

2 2 3? ? 3? ? 2 x ? 4 ? 1? ? ? 2 y ? 3? ? 4, 整理,得 ? ? x- ? ? ? y ? ? ? 1 2? ? 2? ?

?3 3? 所以,点M的轨迹是以? , ? 为圆心,半径长为1的圆 ?2 2?
6

y
4

A
2 -5

M

B
5

O
-2

x

-4

(四) 、课堂练习:课堂练习 p130 第 1、2、3 题 (五) 、小结 :1.对方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的讨论(什么时候可以表示圆) 2.与
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标准方程的互化 3.用待定系数法求圆的方程 4.求与圆有关的点的轨迹。
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(六) 、课后作业: p130 习题 4.1 第 2、3、6 题 五、教后反思:



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