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新人教版高中数学必修5五全套教案

新人教版高中数学必修 5 全套教案 1.1.1 正弦定理 ●教学目标 知识与技能: 通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明方法; 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系, 引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实 践操作。 情感态度与价值观: 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; 培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识 间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ? B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考: ? C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ? C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B 二.讲授新课 [探索研究] 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关 系。如图,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义, a 有c ? sin A b ,c b ? sin B ,又 ?c sin C ? 1 ? c c A , a 则 sin A ? sin B ? c sin C a 从而在直角三角形 ABC 中, s i n A s i n B s i n C 思考 1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3, (1)当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数 的定义, a ? b ? c C B 有 CD= a sin B c ? b sin A ? ,则 s i n A , ? b sin B , b C a b sin B ? 同理可得 s i n C a 从而 s i n A (2)当 ? A c B ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 (由学生课后自己推导) 思考 2:还有其方法吗? 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。 (证法二) :过点 A 作单位向量 j ? AC ? b sin B c sin C , 1 由向量的加法可得 A B? A C ? C B 则 j ? AB ? j ?( A C ? C B ) C ∴j ? AB ? j ? AC ? j ?CB j A B co s ? 9 0 ? A ? ? 0 ? j C B co s ? 9 0 ? C 0 0 ? A j B a ∴ c sin A ? a sin C ,即 s in A j ? BC ? c s in C b ? c sC i n a 同理,过点 C 作 ,可得 从上面的研探过程,可得以下定理 s i n B 从而 s i n A ? b sin B ? c sin C a sin C 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 s i n A s i n B [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数, ? b ? c 即存在正数 k 使 a a ? k sin A ? ,b ? k sin B ,c ? ? k sin C ; c ? (2) s i n A ? b sin B c sin C a b sin B b sin B a 等价于 s i n A , sin C , sin A ? c sin C 思考:正弦定理的基本作用是什么? ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a ? b sin A sin B ; sin A ? a b ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析] 例 1.在 ? A B C 中,已知 A ? 3 2 .0 , B ? 8 1 .8 , a ? 4 2 .9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理, C ? 1 8 0 ? ( A ? B ) ? 1 8 0 ? (3 2 .0 ? 8 1 .8 ) ? 6 6 .2 0 ; a s in B s in A 4 2 .9 s in 8 1 .8 s in 3 2 .0 0 0 sin B 。 0 0 0 0 0 0 b? ? ? 8 0 .1( c m ) 根据正弦定理, c? ; 0 as i n C s i n A ? 根据正弦定理, 4 2 .9 s i n 6 6 .2 ? 7 4 .c 1m ( 0 s i n 3 2 .0 ) . 评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 练习:在 ? A B C 中,已知下列条件解三角形。 (1) A ? 45 , C ? 30 , c ? 10 cm , ? ? (2) A ? 60 , B ? 45 , c ? 20 cm 0 0 ? ? 例 2. 在 ? A B C 中,已知 a ? 2 0 cm, b ? 2 8 cm, A ? 4 0 ,解三角形(角度精确到 1 ,边长 精确到 1cm) 。 2 解:根据正弦定理, s in B ? b s in A a ? 2 8 s in 4 0 20 0 ? 0 .

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