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第三课时:与椭圆有关的轨迹方程


第三课时:与椭圆有关的轨迹方程
学习目标:1、通过学习进一步理解椭圆的标准方程,并能在具体问题中具体选择解决问题; 2、能利用所学知识解决简单的轨迹问题; 3、在解决问题过程中进一步体会“坐标法”在解决几何问题中的应用. 学习重点:简单的轨迹问题. 学习难点:选择适当的方式求动点的轨迹(轨迹方程) . 学法指导:同学们,求轨迹(轨迹方程)是解析几何中一类重要的题型,通过本节课的学习要 体会求轨迹(轨迹方程)常用的方法.

复习回顾: 问题 1:同学们,前面我们学习了椭圆的标准方程,请大家完成下表. 椭圆的标准方程 图像 焦点坐标 焦距
a, b, c 的关系

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上 自主学习: 问题 2:同学们,求轨迹(轨迹方程)是解析几何中常见的一类重要题型,例如, 推导圆的标准方程其实就是求平面内满足到定点 (圆心) 的距离等于定长 (半 径) 的动点的轨迹方程; 推导椭圆的标准方程其实就是求平面内满足到定点
F1 , F2 的距离的和为常数(大于 | F1 F2 | )的动点的轨迹方程,这是利用某些

曲线的定义求轨迹方程的方法的具体体现,这种方法称为直接法 请同学们完成课本(理)42 页(文)36 页练习第 4 题

问题 3:同学们,求轨迹方程除了直接法,常用的还有变量代人法,请理科同学阅 读教材第 41 页例 2,文科同学阅读教材第 34 页例 2,对照必修 2 第 122 页例 5,认 真体会,并完成下面的高考题。

2 2 (陕西理)如图,设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为

4 |PD| 5 (Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 的直线 5 被 C 所截线段的长度
PD 上一点,且|MD|=

问题 4:请理科同学完成教材 41 页的“思考” ,文科同学完成教材 35 页“思考” 问题 5:理科同学阅读教材 41 页例 3,文科同学阅读教材 35 页例 3,回答以下问题 (1) 、例 3 采用了哪种求轨迹方程的方法? (2) 、教材中为什么把 x ? 5, x ? ?5 舍掉? 重要结论:
x2 y ? ? 1 长轴的两个端点,M 是椭圆上除 A1 , A2 外的任意一 a 2 b2 b2 点,则直线 MA1 , MA2 的斜率之积为定值: k MA1 ? k MA2 = ? 2 a 2 2 x y (2)设 B1 , B2 是椭圆 2 ? 2 ? 1 短轴的两个端点,M 是椭圆上除 B1 , B2 外的任意一 a b b2 点,则直线 MB1 , MB2 的斜率之积为定值: kMB1 ? kMB2 = ? 2 a 完成下面高考题
2

(1)设 A1 , A2 是椭圆

(2013 年)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2 ,在 y 轴上截得线段长为 2 3 ,求圆心 P 的轨迹方程

第三课时:与椭圆有关的轨迹方程
1、理科教材 49 页 A 组 6,7,题,B 组 1,2,文科教材 42 页第 6,7 题,B 组 1,2

2、 (2013 年新课标卷)已知圆 M: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切,并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (1)求 C 的轨迹方程 (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半 径最长时,求|AB|

3、已知动圆过定点(4,0) ,且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8,求动圆圆心 C 的轨 迹方程

4、已知定点 M( ? 3,4) ,O 为坐标原点,定点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹方程

5、椭圆

x2 y2 ? ? 1 的长轴的两个端点 A1(-3,0),A2(3,0), P 1 A2 的弦 1, P 2 是垂直于直线 A 9 4 y

的端点 ,求直线 A1 P1 与 A2 P2 交点 P 的轨迹方程
A1

p1
O x

A2

p2
P

? 3? 6、 (选做)已知椭圆 C 过点 A ? 1, ? ,两个焦点分别为 F1(-1,0) ,F2(1,0) ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程 (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个值

7.(陕西理 17)
2 2 如图, 设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点, 点 D 是 P 在 x 轴上的投影, M 为 PD 上一点,



MD ?

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

4 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 5 的直线被 C 所截线段的长度
解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp)
? xp ? x, ? ? 5 yp ? y , ? 4 由已知得 ?

?5 ? x2 y 2 x ? ? y ? ? 25 ? ?1 ?4 ? ∵P 在圆上, ∴ ,即 C 的方程为 25 16
2

2

4 4 y ? ? x ? 3? 5 (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为 5 的直线方程为 ,

设直线与 C 的交点为
y?

A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?

将直线方程
2

4 ? x ? 3? 5 代入 C 的方程,得

x 2 ? x ? 3? ? ?1 25 25
x1 ? 3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

2 即 x ? 3x ? 8 ? 0



∴ 线段 AB 的长度为

AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

41 41 2 ? 16 ? ? ?1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? 41 ? 25 5 ? 25 ?

(2013 年新课本卷)已知圆 M: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 ,圆 N: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与 与圆 M 外切,并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (3)求 C 的轨迹方程 (4)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半 径最长时,求|AB|
x2 y 2 21.【2012 辽宁理 2】如图,椭圆 C0 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0 ,a , b 为常数 ),动圆 a b

C1 : x2 ? y 2 ? t12
。点 A1 , A2 分别为 C0 的左,右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C,D 四点。 b? 1 t? a (Ⅰ)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;
2 (Ⅱ)设动圆 C2 : x2 ? y 2 ? t2 与 C0 相交于 A ', B ', C ', D ' 四点,其中 b ? t2 ? a ,
2 为定值。 t1 ? t2 。若矩形 ABCD 与矩形 A ', B ', C ', D ' 的面积相等,证明: t12 ? t2

y

A O A1 B

D x A2 C


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