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辽宁省重点中学2012-2013学年高一上期末考试数学试题


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辽宁省重点中学 2012-2013 学年高一上学期期末考试 数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1.设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩ CU N ={2,4} ,则 N= A {1,2,3} B {1,3,5} C {1,4,5} D {2,3,4} 2.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为 A x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 C ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 B ( )

( )

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1

D ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

3.已知四边形的斜二测画法的直观图是一边长为 1 正方形,则该四边形的的面积等于( ) A 1 B 2 2 C

2 4
,则

D 2

4. a ? log 1 3 , b ? log1 2 , c ? ( )
2 3

1 2

0.3

( )

A a <b <c B a <c <b C b <c<a D b <a<c 5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3、4、5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个球 的表面积是 ( ) A 20 2? B 25 2? C 50? D 200? ( )

6.点 A(4, a ) 和 B(5, b) 的直线与直线 x ? y ? m ? 0 平行,则 AB 的值为 A

6

B

2

C 2

D 不确定 ( )

7.若函数 g ( x) ? log3 (ax2 ? 2x ? 1) 有最大值 1 ,则实数 a 的值等于 A

?

1 2

B

1 4

C ?

1 4

D 4

8. 直线 x ? 3 y ? m ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 在第一象限内有两个不同的交点, m 的取值范 则 围是 A (1,2) B ( 3,3) C (1, 3) D ( 3,2) ( )

9.下列命题中正确命题的个数是 ( ) ⑴如果一条直线与一个平面不垂直,那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直; ⑵过不在平面内的一条直线可以作无数个平面与已知平面垂直; ⑶如果一个几何体的主视图和俯视图都是矩形,则这个几何体是长方体; ⑷方程 x ? y ? 2 y ? 5 ? 0 的曲线关于 y 轴对称
2 2

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A0

B1

C2

D3

10.过直线 l : y ? x 上的一点 P 做圆 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 的两条切线 l1 、l 2 , B 为切点, A、 当直线 l1 、 l 2 关于直线 l 对称时,∠APB 等于 A 30
?

( ) D 90
?

B 45

?

C 60

?

11. f ( x) ? ? A (1,3)

? x 2 ? 2x ? 2 x ? 0 ,若 f ?a 2 ? 4a? ? f ?3? ? 4 ,则 a 的取值范围是( 2 ?? x ? 2 x ? 2 x ? 0
B (0,2) C (-∞,0)∪(2,+∞) D (-∞,1)∪(3,+∞)
P

)

12. 如图,已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ∩ ? =AB,C∈ ? , D∈ ? , DA⊥AB, CB⊥AB, BC=8, AB=6, AD=4, 平面 ? 有一动点 P 使得∠APD=∠BPC,则△PAB 的面积最大值是 ( ) A 24 B 32 C 12 D 48

?

D ?

A

B

(第12题图)

C

二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13. 已知 A(1,1)B(-4,5)C(x,13)三点共线,x=_____ 14. 点(2,3,4)关于 x 轴的对称点的坐标为_____ 15. 已知二次函数

f ( x) ? 2x 2 ? 4x ? 3 ,若 f (x) 在区间[ 2a, a ? 1 ]上不单调,则 a 的取

值范围是 ______
2 2 16. 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是 圆 x ? y ? 4 上 两 点 , 且 ∠ AOB= 120 , 则
?

x1 x2 ? y1 y2 = ____

三 解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AP 是 ? O 的切线, P 为切点, AC 是 ? O 的割线,与 ? O 交于 B,C 两点, 圆心 O 在 ?PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点. , (Ⅰ)证明 A P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

P

A B M

O

C

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18.(本小题满分 12 分) 一个几何体的三视图如右图所示, 已知正视图是底边长为 1 的平行四边形, 侧视图是一 个长为 3 ,宽为 1 的矩形,俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形。 ⑴求该几何体的体积 V; ⑵求该几何体的表面积 S。
1

3

主视图 1 俯视图

左视图

19. (本小题满分 12 分) 直线 l : y ? kx ? 10 与圆 C: x 2 ? y 2 ? mx ? 2 y ? 4 ? 0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 m : x ? 2 y ? 0 对称, ⑴求直线 l 截圆所得的弦长; ⑵直线 n : y ? 3x ? 5 ,过点 C 的直线与直线 l 、 n 分别交于 P、Q 两点,C 恰为 PQ 的 中点,求直线 PQ 的方程。

20. (本小题满分 12 分)

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2 已知二次函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? x ? 1 的图象关于点 P(1,0)成中心对称,

⑵ 数 f (x) 的解析式; ⑵是否存在实数 m、n,满足 f ( x ) 定义域为[m,n]时,值域为[m,n],若存在,求 m、n 的值;若不存在,说明理由。

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21. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC? A1 B1C1 中, M 、 N 分别为 A1 B 和 B1C1 的中点, (1)求证:直线 MN ∥平面 AA1C1C ; ⑵若 A1 B ⊥ B1C , A1 N ⊥ B1C1 ,

A1 N B1

C1

M

A

C

求证: B1C ⊥ AC1 。
B (第20题图)

22. (本小题满分 12 分) 矩形 PQRS 的两条对角线相交于点 M(1,0), 边所在的直线方程为 x-y-2=0, PQ 原点 O(0,0) 在 PS 边所在直线上, ⑵ 矩形 PQRS 外接圆的方程; ⑵设 A(0,t),B(0,t+6) (-5≤t≤-2),若⑴的圆是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积 S 的 最大值和最小值。
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2012~2013 学年度上学期期末考试 高一数学参考答案
1B 2A 3B 4A 5C 13 、-14 6B 7C 8 D 9 B 10C 11D 12C 14 、 (2,?3,?4) 15 、 (0, )

1 2

16 、-2

17. (Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 ? O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因 为 M 是 ? O 的 弦 BC 的 中 点 , 所 以

OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知四边形 A APOM 的对角互补,所以 A,P,O,M
四点共圆. , M (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O, 四点 共圆,所以 ?OAM ? ?OPM . 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90°
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P

O
B M

C

18.解:由已知,该几何体是平行六面体 ⑴? 侧视图长为 3 ? 几何体的高为 3 ? V ? 1?1? 3 ? 3 ⑵几何体左右两个侧面的高为

? 3?

2

? 12 ? 2 ,则

S ? 1? 1? 2 ? 1? 3 ? 2 ? 1? 2 ? 2 ? 6 ? 2 3
19. 解: (1)? l ? m ? k ? ( ? ) ? ?1 ? k ? 2 ? l : 2 x ? y ? 10 ? 0

1 2

C (?

m m ,?1) 在 m 上, ? ? 2( ?1) ? 0 , m ? ?4 ,则 C (2,?1) , r ? 3 2 2

设 C 到 l 的距离为 d ,则 d ? 长为 4;

2 ? 2 ? ?? 1? ? 10 2 ? ?? 1?
2 2

? 5,

MN 2

? r 2 ? d 2 ? 2 ,? 弦

⑵设 P (a, b) ,则 Q(4 ? a,?2 ? b) ,又 P ? l , Q ? n ,则有

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b ? 2a ? 10 ? ? ?? 2 ? b ? 3(4 ? a) ? 5
K PQ ?

解之得 ?

? a ? ?1 ?b ? ?12

P(?1,?12)

11 ? 1 ? (?12) 11 ? ,直线 PQ 的方程为 y ? 1 ? ( x ? 2) 3 2 ? (?1) 3
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即 11x ? 3 y ? 25 ? 0 20. 解 : 1 ) 在 y ? f (x) 上 任 取 点 ( x, y ) , 则 (2 ? x,? y ) 在 y ? x 2 ? 1 上 , 则 有 (

? y ? (2 ? x) 2 ? 1 ,即 y ? ?( x ? 2) 2 ? 1
? f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ? 1
⑵假设存在实数 m、n,满足题意? f ( x) ? 1 ? n ? 1 ? 2 ,

? f (x) 在区间 ?m, n? 上是单调递增函数
则 f ( x ) ? x 有 两 个 不 等 实 根 m 、 n , 即 x ? 3x ? 3 ? 0 有 两 个 不 等 实 根 m 、
2

n? ? ? 3 ? 4 ? 3 ? ?3 ? 0 ,方程无解。 ? 不存在
2

21. 解: (1)连接 AB1 ,则 M 为 AB1 中点,又 N 为 B1C1 中点, MN ∥ AC1

AC1 ? 平面 AA1C1C , MN ? 平面 AA1C1C ,
? 直线 MN ∥平面 AA1C1C
⑵? BB1 ? 平面A1 B1C1 ? B1 B ? A1 N ? A1 N ? B1C1 ,

? A1 N ? 平面B1 BCC1 ? A1 N ? B1C ? A1B ? B1C ,? B1C ? 平面A1 BN
又MN ? 平面A1BN ? B1C ? MN

? B1C ? AC1

22. 解: ⑴由已知 k PQ ? 1又k PQ ? k PR ? ?1? k PR ? ?1 ? l PR : y ? x , 又 l PQ : x ? y ? 2 ? 0 ? P(1,?1) 则 r ? PM ? 1

? 圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1
⑵设 l AC : y ? kx ? t 即 kx ? y ? t ? 0 由已知

k ?t k 2 ?1

?1

1? t2 k? 2t

? l AC : y ?

1? t2 1 ? (t ? 6) 2 x ? t 同理 l BC : y ? x ? (t ? 6) 2t 2(t ? 6) 2t (t ? 6) 1 ? t (t ? 6)
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联立得 x ?

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1 ? S ? [( t ? 6) ? t ] ? 2

2t (t ? 6) 1 ? t (t ? 6)

=

6t (t ? 6) 1 ? t (t ? 6)

=

6 1? 1 t (t ? 6)

27 1 1 1 ? ?? ? ?5 ? t ? ?2 ?t (t ? 6) ? (t ? 3) 2 ? 9 ?[?9,?5] ? ? ? ? 4 5 t (t ? 6) 9

6 1? 1 t (t ? 6)

?

15 2

27 ; 4 15 当 t ? ?5 时, S 有最小值 . 2
当 t ? ?3 时, S 有最小值

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