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四川省乐山市2017届高三第一次调查研究考试数学(理)试题 Word版含答案


乐山市高中 2017 届第一次调查研究考试 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.已知 A.0

1 ? ai ? b ? i (a, b ? R) ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ( 1? i
B.1 C.-1 D.2



2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0},集合 B ? {n | n ? 2k ? 1, k ? Z } ,则 A ∩ B ? ( A. {?1,1} B. {1,3} C. {?3, ?1} ) D. {?3, ?1,1,3}



3.“ x ? 2 ”是“ ln( x ? 1) ? 0 ”的( A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )
2

4.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式成立的是( A.

1 1 ? a b

B. a ? ab
2

C. ?ab ? ?a

D. ?

1 1 ?? a b


5.某算法的程序框图如图所示,若输出的 y ?

1 ,则输入的 x 可能为( 2

A.-1

B.1

C.1 或 5

D. -1 或 1 ) D.等腰非直角三角形

6.已知向量 BA ? (1, ?3) ,向量 BC ? (4, ?2) ,则 ?ABC 的形状为( A. 等腰直角三角形 B.等边三角形

??? ?

??? ?

C.直角非等腰三角形

?x ? 1 ? 7.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 , z ? x ? 2 y 的最小值为-2,则 a ? ( ? ax ? y ? 2a ? 0 ?



A.

1 2

B.

3 2

C.1

D.2

8.《张丘建算经》中女子织布问题为:某女子善于织布,一天比一天织得快,且从第 2 天开始,每天比前 一天多织相同量的布,已知第一天织 5 尺布,一月(按 30 天计)共织 390 尺布,则从第 2 天起每天比前一 天多织( A. )尺布. B.

1 2

8 15

C.

9.函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
4

16 29

D.

16 31

)(? ? 0) 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为


? 的等差数列,要得到函 3

数 g ( x) ? A cos ? x 的图象,只需将 f ( x ) 的图象(

? 个单位 12 ? C. 向左平移 个单位 4
A.向左平移 10.已知函数 f ( x) ?

? 个单位 4 3? D. 向右平移 个单位 4
B. 向右平移 )

1 ,则 y ? f ( x) 的图象大致为( x ? ln x ? 1

A.

B.

C.

D.

11.如图所示,用一边长为 2 的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积 为

4? 的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( 3



A.

B.C.D.

?| log3 x |, 0 ? x ? 3 ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,若存在实数 x1 , x2 , x3 , x4 ,当 x1 ? x2 ? x3 ? x4 时,满足 ? ? cos ,3 ? x ? 9 ? 3 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 ) ,则 x1 x2 x3 x4 的取值范围是(



A. (7,

29 ) 4

B. (21,

135 ) 4

C. [27,30)

D. (27,

135 ) 4

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设函数 f ( x) ? ( x ? 1)(2 x ? 3a) 为偶函数,则 a ? 14.在三角形 ABC 中, 点 E , F 满足 AE ? . .

??? ?

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? AB ,CF ? 2FA , 若E , 则x? y F ? xA B yA ? C 2

15.小王同学骑电动自行车以 24km / h 的速度沿着正北方向的公路行驶, 在点 A 处望见电视塔 S 在电动车的 北偏东 30 ° 方向上, 20 min 后到点 B 处望见电视塔在电动车的北偏东 75° 方向上,则电动车在点 B 时与电 视塔 S 的距离是

km .

16.已知 f ( x) ? x ? a ln x(a ? 0) 对于区间 [1,3] 内的任意两个相异实数 x1 , x2 ,恒有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?|

1 1 ? | 成立,则实数 a 的取值范围是 x1 x2



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知 2sin a ? tan a ? 3 ,且 0 ? a ? ? . (1)求 a 的值; (2)求函数 f ( x) ? 4sin x sin( x ? a) 在 [0,

?
4

] 上的值域.

18. 如图所示, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形,SA ? 平面 ABCD ,M 、N 分别为 SA、CD 的中点.

(1)证明:直线 MN / / 平面 SBC ; (2)证明:平面 SBD ? 平面 SAC . 19. 某企业拟用 10 万元投资甲、乙两种商品.已知各投入 x 万元,甲、乙两种商品分别可获得 y1 , y2 万元的 利润,利润曲线 P 2 : y2 ? bx ? c ,如图所示. 1 : y1 ? ax , P
n

(1)求函数 y1 , y2 的解析式; (2)应怎样分配投资资金,才能使投资获得的利润最大? 20. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N * ) 在函数 f ( x ) ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 { 值范围. 21.已知 f ( x) ? 2ln( x ? 2) ? ( x ?1) 2,g( x) ? k( x ?1) . (1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 k ? 2 时,求证:对于 ?x ? ?1 , f ( x) ? g ( x) 恒成立; (3)若存在 x0 ? ?1 ,使得当 x ? (?1, x0 ) 时,恒有 f ( x) ? g ( x) 成立,试求 k 的取值范围.

1 2 1 x ? x 的图象上. 2 2

1 1 } 的前 n 项和为 Tn ,不等式 Tn ? log a (1 ? a) 对任意正整数 n 恒成立,求实数 a 的取 3 an an ? 2

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

? ?x ? ? 22.已知直线 l 的参数方程为 ? ?y ? ? ?

2 t. 2 ( t 是参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 2 t ? 4 2. 2

极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? (1)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系;

?
4

).

(2)过直线 l 上的点作曲线 C 的切线,求切线长的最小值. 23.设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,求实数 m 的取值范围.

乐山市高中 2017 届第一次调查研究考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题
1-5:BCBDB 6-10: ABCAA 11、12:DD

二、填空题
13. a ? ?

2 3

14. x ? y ? ?

1 6

15. 4 2

16. a ? ?

8 3

三、解答题
17.解: (1)? 2sin a ? tan a ? 3 ,且 0 ? a ? ? .

? 2sin 2 a ? 3cos a ,? 2 ? 2cos2 a ? 3cos a , ? 2cos2 a ? 3cos a ? 2 ? 0 ,
解得 cos a ?

1 或 cos a ? ?2 (舍) , 2

? 0 ? a ? ? ,? a ?
(2)? a ?

?

?
3

3

.



? f ( x) ? 4sin x sin( x ? a) ? 4sin x(sin x ? cos

?

? cos x ? sin ) 3 3

?

? 2sin 2 x ? 2 3 sin x cos x
? ?2sin(2 x ? ) ? 1, 6

?

? ? ? 2? ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] , 4 6 6 3
? 2sin(2 x ? ) ? [1, 2] , 6
则 ?2sin(2 x ?

?

?

6

) ? [ ?2, ?1] ,

? f ( x) ?[?1,0] .
18.解: (1)在直角梯形 ABCD 中, AC ? 2 2 , 取 AB 中点 E ,连接 CE , 则四边形 AECD 为正方形, ∴ AE ? CE ? 2 ,

又 BE ?

1 AB ? 2 , 2

则 ?ABC 为等腰直角三角形, ∴ AC ? BC , 又∵ PA ? 平面 ABCD , BC ? 平面 ABCD , ∴ PA ? BC , 由 AC ∩ PA ? A 得 BC ? 平面 PAC , ∵ PC ? 平面 PAC ,所以 BC ? PC . (2)以 A 为坐标原点, AD, AB, AP 分别 x, y, z 为轴建立如图所示的坐标系, 则 P(0,0, 2),B(0, 4,0),C (2, 2,0) , BP ? (0, ?4, 2), BC ? (2, ?2,0) . 由(1)知 BC 即为平面 PAC 的一个法向量,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? BP 10 ? ??? ? ? , cos BC, BP ? ??? 5 | BC || BP |
即 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值为

10 . 5

19.解: (1)由题知 (1,1.25) , (4, 2.5) 在曲线 P 1 上,
n ? ?1.25 ? a ?1 则? , n ? ?2.5, a ? 4

? a? ? ? 解得 ? ?n ? ? ?

5 5 4 x. ,即 y1 ? 1 4 2

c ? 0 ,则 1 ? 4b , 又 (4,1) 在曲线 P 2 上,且
则b ?

1 1 ,所以 y2 ? x . 4 4

(2)设甲投资 x 万元,则乙投资为 (10 ? x) 万元, 投资获得的利润为 y 万元,则

5 1 x ? (10 ? x) 4 4 5 1 5 ? x ? x? , 4 4 2 y?

令 x ? t ?[0, 10] ,

1 2 5 5 1 5 65 t ? t ? ? ? (t ? ) 2 ? . 4 4 2 4 2 16 5 25 65 ? 6.25 (万元)时,利润最大为 万元,此时10 ? x ? 3.75 (万元) 当 t ? ,即 x ? , 2 4 12 65 答:当投资甲商品 6.25 万元,乙商品 3.75 万元时,所获得的利润最大值为 万元. 12 1 2 1 1 2 1 20.解: (1)? 点 (n, Sn ) 在函数 f ( x ) ? x ? x 的图象上,? S n ? n ? n .① 2 2 2 2 1 1 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? (n ? 1) ? (n ? 1) ,② 2 2
则y?? ①-②得 an ? n . 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,符合上式.

?an ? n(n ? N * ) .
(2)由(1)得

1 1 ? an an ? 2 n(n ? 2)

?

1 1 1 ( ? ), 2 n n?2

?Tn ?
?

1 1 1 ? ??? a1a3 a2 a4 an an? 2

1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 3 1 1 1 ? ? ( ? ). 4 2 n ?1 n ? 2

?Tn ?1 ? Tn ?

1 ?0, (n ? 1)(n ? 3)

? 数列 {Tn } 单调递增, ? {Tn } 中的最小项为 T1 ?
要使不等式 Tn ? 只要

1 . 3

1 log a (1 ? a) 对任意正整数 n 恒成立, 3

1 1 ? log a (1 ? a) , 3 3

即 loga (1 ? a) ? log a a .

解得 0 ? a ?

1 , 2
1 2

即实数 a 的取值范围为 (0, ) . 21.解: (1) f '( x) ?

2 ? 2( x ? 1) x?2

?

?2( x 2 ? 3x ? 1) ( x ? ?2) , x?2
2

当 f '( x) ? 0 时, x ? 3x ? 1 ? 0 . 解得 ?2 ? x ?

?3 ? 5 . 2 ?3 ? 5 . 2 ?3 ? 5 ), 2

当 f '( x) ? 0 时,解得 x ?

所以 f ( x ) 单调增区间为 (?2,

单调减区间为 (

?3 ? 5 , ??) . 2

(2)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x)

? 2ln( x ? 2) ? ( x ? 1)2 ? k ( x ? 1)( x ? ?1) ,
当 k ? 2 时,由题意,当 x ? (?1, ??) 时,

h( x) ? 0 恒成立.

h '( x) ?
?

?2( x 2 ? 3x ? 1) ?2 x?2

?2( x ? 3)( x ? 1) , x?2

∴当 x ? ?1 时, h '( x) ? 0 恒成立, h( x) 单调递减. 又 h(?1) ? 0 , ∴当 x ? (?1, ??) 时, h( x) ? h(?1) ? 0 恒成立,即 f ( x) ? g ( x) ? 0 . ∴对于 ?x ? ?1 , f ( x) ? g ( x) 恒成立.

(3)因为 h '( x) ?

?2( x 2 ? 3x ? 1) ?k x?2

??

2 x 2 ? (k ? 6) x ? 2k ? 2 . x?2

由(2)知,当 k ? 2 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立, 即对于 ?x ? ?1 , 2ln( x ? 2) ? ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) , 不存在满足条件的 x0 ; 当 k ? 2 时,对于 ?x ? ?1 , x ? 1 ? 0 , 此时 2( x ? 1) ? k ( x ? 1) . ∴ 2ln( x ? 2) ? ( x ? 1)2 ? 2( x ? 1) ? k ( x ? 1) , 即 f ( x) ? g ( x) 恒成立,不存在满足条件的 x0 ; 当 k ? 2 时,令 t ( x) ? ?2 x2 ? (k ? 6) x ? (2k ? 2) , 可知 t ( x) 与 h '( x ) 符号相同, 当 x ? ( x0 , ??) 时, t ( x) ? 0 , h '( x) ? 0 ,

h( x) 单调递减.
∴当 x ? (?1, x0 ) 时, h( x) ? h(?1) ? 0 , 即 f ( x) ? g ( x) ? 0 恒成立. 综上, k 的取值范围为 (??, 2) . 22.解: (1)由直线 l 的参数方程消去参数 t 得 l 的方程为 y ? x ? 4 2 .

? ? ? 4 cos(? ? ) ? 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? , 4

?

? ? 2 ? 2 2? cos? ? 2 2 sin ? ,

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 2x ? 2 2 y ? 0 ,
即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 .

? 圆心 ( 2, ? 2) 到直线 l 的距离为 d ? ? 直线 l 与圆 C 的相离.

| 2 ? 2 ?4 2 | ? 6 ? 2, 2

(2)直线 l 上的点向圆 C 引切线,则切线长为

(

2 2 t ? 2)2 ? ( t ? 2 ? 4 2)2 ? 22 ? t 2 ? 8s ? 48 ? (t ? 4) 2 ? 32 ? 4 2 . 2 2

即切线长的最小值为 4 2 . 23.解: (1)不等式 f ( x) ? 0 可转化为 | 2 x ? 1|?| x ? 2 | , 即 4x ? 4x ? 1 ? x ? 4x ? 4 ,
2 2

即 3x ? 8 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ? 或 x ? 3 .
2

1 3

即不等式的解集为 { x | x ? ? 或 x ? 3} .

1 3

? ?? x ? 3, x ? ?2 ? 1 ? (2)因为 f ( x) ? ??3x ? 1, ?2 ? x ? , 2 ? 1 ? x ? 3, x ? ? ? 2
1 5 ? f ( x) 的最小值为 f ( ) ? ? . 2 2

? ?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m2 ? 4m ,
即 ?x0 ? R ,使得 4m ? 2m2 ? f ( x)min , 所以 4m ? 2m ? ?
2

5 1 5 1 5 ,解得 ? ? m ? ,故实数 m 的范围为 ( ? , ) . 2 2 2 2 2


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