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高中数学新人教A版选修1-1单元测试题:第3章 导数及其应用 同步练习 3.4生活中的优化问题举例


3. 4 生活中的优化问题测试
1 5 1.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的距离为 s ? t 4 ? t 3 ? 2t 2 ,那么速度为零 4 3

的时刻是 A.1 秒末 B.0 秒 C.4 秒末 D.0,1,4 秒末





2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=5.06 x -0.15 x 2 和 L2=2 x ,其中 x 为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售 15 辆车,则能获得的最 大利润为 ( ) A.45.606 B.45.6 C.45.56 D.45.51 3.路灯距地平面为 8 m,一个身高为 1.6 m 的人以 84 m/min D 的速率在地面上行走,从路灯在地平面上射影点 C,沿某直 线离开路灯,则人影长度的变化速率为( )m/s A.
7 2

B.

7 20

C.

21 20

D.21

E

4.两车在十字路口相遇后,又沿不同方向继续前进,已知 A 车 B A C 向北行驶,速率为 30 km/h,B 车向东行驶,速率为 40 km/h,那么 A、B 两车间直线距离的增 加速率为 . A. B.60 km/h C.80 km/h D.65 km/h 5. 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上, 另两个顶点位于抛物线 y =4-x2 在 x 轴上方的曲线上, 则这种矩形中面积最大者的边长为 . 6.用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的 容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90°角,再焊接而成(如图),当该容器的高为 cm 时, 容器的容积最大,最大容积是
(cm)3

7. 当室内的有毒细菌开始增加时,就要使用杀菌剂.刚开始使用的时候,细菌数量还会继续增 加,随着时间的增加,它增加幅度逐渐变小,到一定时间,细菌数量开始减少.如果使用杀菌剂 t 小时后的细菌数量为 b(t)=105+104t-103t2. (1)求细菌在 t=5 与 t=10 时的瞬时速度; (2)细菌在哪段时间增加,在哪段时间减少?为什么?

8.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产品的价格 p (元/吨) 1 2 之间的关系式为: p ? 24200 ? x ,且生产 x 吨的成本为 R ? 50000 ? 200 x (元).问该厂每 5 月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入─成本)

9.一书店预计一年内要销售某种书 15 万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费 30 元,每千册书存放一年要耗库费 40 元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、 每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?

10.甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于 离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km,两厂要在此岸边合建一个供水 站 C, 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3 a 元和 5 a 元, 问供水站 C 建在岸边 何处才能使水管费用最省?
A C D

B

利用导数解决生活中的优化问题 60 分钟测试答案 1.D. 2.B. 3.B. 4. 50 km/h.5. 7.解 (1)b′(t)=-2 000t+10 000,
2 8 3 和 . 6.10,1960. 3 3

b′(t)|t=5=-2 000×5+10 000=0, b′(t)|t=10=-2 000×10+10 000=-10 000, 即细菌在 t=5 与 t=10 时的瞬时速度分别为 0 和-10 000. (2)由-2 000t+10 000>0,得 t<5,由-2 000t+10 000<0,得 t>5, 即细菌在 t∈(0,5)时间段数量增加,在 t∈(5,+∞)时间段数量减少.
8.解:每月生产 x 吨时的利润为
f ( x) ? (24200 ?
1 3 1 2 x ) x ? (50000 ? 200 x) ? ? x ? 24000 x ? 50000 5 5 ( x ? 0)

3 由 f ?( x) ? ? x2 ? 24000 ? 0 解得: x ? 200 或 x ? ?200 (舍去) .因为 f ( x) 在 [0, ??) 内只有一 5 个点 x ? 200 使得 f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为:

因f ( x)在[0,??)内只有一个点 x ? 200使f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为:
1 f (200) ? ? (200)3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000 (元) 5

答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元. 9.解:设每次进书 x 千册 (0 ? x ? 150) ,手续费与库存费之和为 y 元,
x 由于该书均匀投放市场,则平均库存量为批量之半,即 ,故有 2
y? 150 ? x

30 +

x 4500 20( x ? 15)( x ?15) ? 40 , y? ? ? 2 ? 20 ? , 2 x x2

x
y?

(0,15)
?
?

15 极小值

(15,150)

令 y′=0,得 x =15,列表如右: 所以当 x =15 时,y 取得极小值,且极小值唯一, 故当 x =15 时,y 取得最小值,此时进货次数为

?
?

y

150 ? 10 (次) . 15

即该书店分 10 次进货,每次进 15000 册书,所付手续费与库存费之和最少. 10.解法一:根据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省, 设 C 点距 D 点 x km, 则 ∵BD=40,AC=50- x ,∴BC= BD2 ? CD2 ? x 2 ? 402 又设总的水管费用为 y 元,依题意有: y =3 a (50-x)+5 a

x 2 ? 402 (0 ? x ? 50)

y′=-3 a +

5ax x ? 40 2
2

,令 y′=0,解得 x =30

在(0,50)上,y 只有一个极值点,根据实际问题的意义, 函数在 x =30(km)处取得最小值,此时 AC=50- x =20(km) ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省. 解法二:设∠BCD= ? ,则 BC=

40 ? ,CD= 40 cot? , (0 ? ? ? ) , AC ? 50 ? 40 cot? 2 sin?

设总的水管费用为 f(θ ),依题意,有

f (θ )=3 a (50-40·cotθ )+5 a ?

5 ? 3cos? 40 =150 a +40 a · sin ? sin?

∴ f ? (θ )=40 a ?

(5 ? 3cos ? )? ? sin ? ? (5 ? 3cos ? ) ? (sin ? )? 3 ? 5cos ? ? 40a ? 2 sin ? sin 2 ?

令 f ? (θ )=0,得 cosθ =

3 5

3 4 3 时,函数取得最小值,此时 sinθ = ,∴cotθ = , 5 5 4 ∴AC=50-40cotθ =20(km),即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处,可使水管费用最省.
根据问题的实际意义,当 cosθ =


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