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江苏省启东中学2015_2016学年高二数学下学期期中试题理(无答案)

江苏省启东中学 2015-2016 学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 (考试时间:120 分钟,满分:160 分) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。不需写出解答过程,请把答案直接填写 在答题卡相应位置上。 1. 已 知 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 是 y ? 1 x?2 ,那么 2 f (1) ? f ?(1) ? _________. 2. 函数 y ? sin x ? cos x 的导函数为_________. 3. 函数 y ? x ln x 的单调 减区间为_________. 4. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2tx2 ? t 2 x 在 x ? 2 处有极小值,则实数 t 的值为 5. 函数 y ? . 1 3 x ? x 2 ? ax 在 x ? R 上单调递增,则实数 a 的取值范围是________. 3 6. 函数 y ? 3x3 ? 9 x ? 5 在区间 [?2,2] 上的最大值与最小值之和是_________. 7. 若函数 f(x)=2x -lnx 在其定义域内的一个子区间(k- 1,k+1)内不是单调函数,则实数 k 的取值范围是________. 8. 已知函数 f(x) ,g(x)满足 f(5)=5, f ?(5) ? 3 ,g(5)=4, g ?(5) ? 1,则函数 y= 的图象在 x=5 处的切线方程为________________. 9. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 2 ,其中 a ? 0 .若对于任意的 x1 ? [1, e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,则实数 a ? _________. 10. 水波的半径以 50cm/s 的速度向外扩张,当半径为 250cm 时,圆面积的膨胀率是_________. 11. 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时不等式 f(x)+xf′(x)<0 成 1 1 0.3 0.3 立,若 a=3 ·f(3 ),b=logπ 3·f(logπ 3),c=log3 ·f(log3 ),则 a,b,c 的大小关系 9 9 是________. 3 2 12. 对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0), 定义: 设 f″(x)是函数 y=f(x)的导数 f′(x) 的导数,若方程 f″(x)=0 有实数 解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=fx )的“拐点”.有 同 学发现“任何一个三次函数都有‘拐点 ’; 任何一个三次函数都有对称中心; 且‘拐点’ 1 3 1 2 5 1 就是对称中心.”请你将这一发现作为条件,求若函数 g(x)= x - x +3x- + ,则 3 2 12 1 x- 2 1 2 f?x?+2 g?x? g( 1 2 3 2016 ) ? g( ) ? g( ) ? ? ? ? ? g( ) ? ________. 2017 2017 2017 2017 x 2 13. 已知函数 f(x)=|xe |,方程 f (x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个实数根,则 t 的取值范围为 ________. 14. 设函数 f(x)=mx+cosx+sinx.若函数 f(x)的图像上 存在不同的两点 M、 N, 使得曲线 y=f(x) 在点 M、N 处的切线互相垂直,则实数 m 的取值范围为________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分。请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 15.已知矩阵 A ? ? ?a k ? ?k? (k ? 0) 的一个特征向量为 ? ? ? ? , A 的逆矩阵 A ?1 对应的变换 将点 ? ?0 1 ? ?? 1? (3,1) 变为点 (1,1) ,求实数 a, k 的值. 16.袋中装有大小相同的黑球和白球共有 9 个,从中任取 2 个都是白球的概率为 5 .现甲、乙两 12 人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,每次摸取 1 个球,取出的球不放回,直到其 中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) . 2 17.已知二阶矩阵 A ? ? ?3 5 ? ? ?0 ? 2? (1)求矩阵 A 的特征值和特征向 量; (2)设向量 ? ? ? ?1? ,求 A2016 ? . ? ?? 1? 18.全美职业篮球联赛(NBA)某年度总决赛在克利夫兰骑士队与金州勇士队之间角逐,比赛采用 七局四胜制,即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束.因两队实力相当,故每场比赛 获胜的可能性相等.据以往资料统计,第一场比赛组织者可获得门票收入 2000 万美元,以后每场 比赛门票收入比上一场增加 100 万美元,当两队决出胜负后,问: (1)组织者在此次决赛中要获得门票收入不少于 13500 万美元的概率为多少? (2)某队在比赛过程中曾一度比分(胜一场得 1 分)落后 2 分以上(含 2 分) ,最后取得全场胜 利称为“逆袭” ,求骑士队“逆袭”获胜的概率; (3)求此次决赛所需比赛场数的分布列及数学期望. 3 19. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1(a ? R), f ? ( x)是f ( x) 的导函数. (1)若 x ?[?2, ?1] ,不等式 f ( x) ≤ f ?( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f ( x) ?| f ?( x) | ; (3)设函数 g ( x) ? ? ? f ?( x), f ( x) ≥ f ?( x) ,求 g ( x

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