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3.2.2立体几何中的向量方法解决垂直问题


3.2.2利用向量解决 垂直问题

用向量运算处理垂直问题

? ? 设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

线线垂直
线面垂直
面面垂直

? ? ? ? l ⊥m ? a ⊥b ? a?b ? 0; ? ? ? ? l ⊥ ? ? a ∥ u ? a ? ku ; ? ? ? ? ? ⊥ ? ? u ⊥ v ? u ? v ? 0.

l

? a

? b

m

? ? ? ? l ? m ? a ? b ? a?b ? 0

l

? a
?

? u

? ? ? ? l ? ? ? a // u ? a ? ?u

? u
?

? v
?

? ? ? ? ? ? ? ? u ? v ? u?v ? 0

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC与BD得交点,G 为CC1的中点,求证A1O⊥平面GBD
证法二:如图,取D为坐标原点,DA、 DC、DD1所在的直线分别作x轴,y轴,z轴 建立空间直角坐标系. 设正方体棱长为2, 则O(1,1,0),A1(2,0,2),G(0,2,1),B(2,2,0),D(0,0,0), → → → ∴OA1=(1,-1,2),OB=(1,1,0),BG=(-2,0,1), → OB → → BG → 而OA1· =1-1+0=0,OA1· =-2+0+2=0. → → → → ∴OA1⊥OB,OA1⊥BG,即OA1⊥OB,OA1⊥BG, 而OB∩BG=B,且A1O?平面GBD, ∴OA1⊥平面GBD.

? 例3.在直三棱柱ABC-A 1 B 1 C 1 中,AB⊥BC,

|AB|=|BC|=2,|BB1|=1,E为BB1的中点,求 证:平面AEC1⊥平面AA1C1C. ? 证明: 由题意得AB,BC,B1B两两垂直,以 B为原点,以直线BA,BC,BB1分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,

? 1? 则A(2,0,0),A1(2,0,1),C(0,2,0),C1(0,2,1),E?0,0,2?, ? ?

→ → → → AA1 =(0,0,1), AC =(-2,2,0), AC1 =(-2,2,1), AE =
? 1? ?-2,0, ?. 2? ?

设平面AA1C1C的法向量为n1=(x1,y1,z1), → ?z =0, ?n1· 1=0, ? AA ? 1 则? ?? ?-2x1+2y1=0. ? ?n1· →=0 ? AC 令x1=1,得y1=1,∴n1=(1,1,0).

设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),
?z =4x , ?n2· →=0, ? AE ? 2 2 ? ? 则 ? ?-2x2+2y2+z2=0 →1=0, ? ? n2 · ? AC

令x2=1,则n2=(1,-1,4),n1·2=1-1=0, n 即平面AEC1⊥平面AA1C1C.

作业
P112 2 3 4
A D

补充作业: 如图, 直三棱柱ABC ? A1B1C1中, ?ACB ? 900 , AC ? 1, CB ? 2, 侧棱AA1 ? 1, 侧面AA1B1B的 两条对角线交点为D, B1C1的中点为M . 求证CD ? 平面BDM
B

A1

C
B1

C1
M

小 结
1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与 垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法 向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、 垂直的定理.

2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:
(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或 不建系都可),用空间向量表示问题中涉及的点、 线、面; (2)通过向量运算处理平行、垂直问题;

(3)根据运算结果解释相关问题.


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