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江苏省常州市2013-2014学年高二上学期期末考试数学理试题


常州市 2013-2014 学年上学期期末考试
高二数学理试题
参考公式:
1 锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示底面积, h 表示高. 3

2014 年 1 月

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请将答案 填写在答题卡相应的位置上 . ......... 1.命题“若 x ? 0 ,则 x2 ? 0 ”的否命题 为 ... ▲ . ▲ . 2.若直线 l 经过点 A(2,1) ,且与直线 3x ? y ? 1 ? 0 垂直,则直线 l 的方程为
1 3. “ ? ? x ? 0 ”是“不等式 2 x2 ? 5x ? 3 ? 0 成立”的 2



条件(在“充分不必要” ,

“必要不充分” , “充要” , “既不充分又不必要”中选一个填写). 4.圆心为 (1,1) ,且经过点 (2, 2) 的圆的标准方程为 ▲ . ? ? ? ? ? ? 5. (理科做)已知向量 a ? (1, 2,1), b ? (1, 2, 2) ,且 (ka ? b) ∥ (a ? 2b) ,则实数 k 的值为 ▲ .

6.三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA, OB, OC 两两垂直且长度分别为 2cm,3cm,1cm,则该三棱 锥的体积是 7. 若双曲线 ▲ cm3.

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,则它的离心率为 ▲ . a 2 b2

8. 已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上运动, F 为抛物线的焦点, 点 M 的坐标为 (3,2) , 当 PM+PF 取最小值时点 P 的坐标为 ▲ .
2

9.已知圆 C 经过直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 与坐标轴的两个交点,且经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,则 圆 C 的方程为 ▲ .

10.已知动圆 C 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 及圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 25 都内切,则 动圆圆心 C 的轨迹方程为 ▲ .

11.(理科做) 如图,在三棱锥 A ? BCD 中,
AB ? 平面BCD , ?DBC ? 90? ,

BC ? BD ? 2 , AB ? 1 ,则 BC 和平面 ACD 所成角的
正弦值为 ▲ . (第 11 题理科图)

1/9

12.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 在面对角 线 AC 上运动,给出下列四个命题: ① D1 P ∥平面 A1 BC1 ; ② D1 P ? BD ;

③平面 PDB1 ⊥平面 A1 BC1 ;④三棱锥 A1 ? BPC1 的体 积不变. 则其中所有正确的命题的序号是 ▲ . (第 12 题图)

13. 若直线 y ? x ? 2 与曲线 y ? m ? x 2 (m ? 0) 恰有一个公 共点,则实数 m 的取值范围为 14. 已知椭圆 C : ▲ .

x2 y 2 2 ,设过右焦点的直线 l ? ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2,离心率为 2 a 2 b2

与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,过 A,B 作直线 x ? 2 的垂线 AP,BQ,垂足分别为 P, Q.记 l ?
AP ? BQ , 若直线 l 的斜率 k ≥ 3 ,则 l 的取值范围为 PQ





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域 内作答,解答应写出文字 ....... 说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 a 为实数, p :点 M (1,1) 在圆 ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? 4 的内部; q : ?x ? R, 都有
x2 ? ax ? 1≥ 0 .

(1)若 p 为真命题,求 a 的取值范围; (2)若 q 为假命题,求 a 的取值范围; (3)若“ p 且 q ”为假命题,且“ p 或 q ”为真命题,求 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 如图, 斜四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是矩形,平面 C1 D1 DC ⊥平面 ABCD , E , F 分别 为 CD1 , AB 的中点. 求证: (1) AD ? CD1 ; (2) EF ∥平面 ADD1 A1 . (第 16 题图)

2/9

17. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为双曲线 曲线都经过点 M (2,4) . (1)求这两条曲线的标准方程; (2)已知点 P 在抛物线上,且它与双曲线的左,右焦点构成的三角形的面积为 4,求点
x2 y 2 且两条 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点, a 2 b2

P 的坐标.

18. (本小题满分 16 分) 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 . (1)若直线 l1 过点 A(?1,0) ,且与圆 C 相切,求直线 l1 的方程; (2) 若圆 D 的半径为 4, 圆心 D 在直线 l2 :2x ? y ? 2 ? 0 上, 且与圆 C 内切, 求圆 D 的 方程.

19.(理科做)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形, ?ABC ? 90? ,

BC / / AD ,且 AB ? AD ? 2BC ,顶点 P 在底面 ABCD 内的射
影恰好落在 AB 的中点 O 上. (1)求证: PD ? AC ; (2)若 PO ? AB ,求直线 PD 与 AB 所成角的 余弦值; (3)若平面 APB 与平面 PCD 所成的二面角为
45? ,求

PO 的值. BC

(第 19 题理科图)

3/9

20. (本小题满分 16 分) 已知 A, B 分别是椭圆 C :
x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右顶点,点 D(1, ) 在椭圆 C 上, a 2 b2 2

且直线 DA 与直线 DB 的斜率之积为 ? (1)求椭圆 C 的标准方程;

b2 . 4

(2)点 P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,直线 AP , PB 与椭圆的右准线分别交于 点M ,N. ①在 x 轴上是否存在一个定点 E ,使得

y M
P A
O

E M? E N ?若存在,求点 E 的坐标;若不存
在,说明理由;
???? ? ???? ??? ? ??? ? ②已知常数 l ? 0 ,求 PM ? PN ? l PA? PB 的取

B

值范围.

x

N
(第 20 题)

4/9

高二数学答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. “若 x ≤ 0 ,则 x2 ≤ 0 ” 2. x ? 3 y ? 1 ? 0
1 1 5. (文科) ? (理科) ? 2 2

2014 年 1 月

3.充分不必要 4. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2
3

6.1

7.

8.(1,2) 9. ( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? 10 (写 12.①③④ 13. m ? 4 或

一般式也对) 10.

x2 y 2 6 ? ? 1 11.(文科) 2 3π (理科) 6 4 3

m?2

? 2 6? 2, 14. ? ?. ? 3 ? ?

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得, (1 ? a)2 ? (1 ? a)2 ? 4 ,解得 ?1 ? a ? 1 , 故 p 为真命题时 a 的取值范围为 (?1,1) . (2)若 q 为真命题,则 D ? a2 ? 4 ≤ 0 ,解得 ?2 ≤ a ≤ 2 , 故 q 为假命题时 a 的取值范围 (??, ?2) ? (2, ??) . (3)由题意得, p 与 q 一真一假,从而
? ?1 ? a ? 1, 当 p 真 q 假时有 ? ?a ? ?2或a ? 2,

????????4 分

????????8 分

无解;

????????10 分

?a ≤ ?1或a ≥ 1, 当 p 假 q 真时有 ? 解得 ?2 ≤ a ≤ ?1或1≤ a ≤ 2 . ? ?2 ≤ a ≤ 2,

????????12 分 ????????14 分

∴实数 a 的取值范围是 ? ?2, ?1? ? ?1, 2? . 16. (本小题满分 14 分) 证明: (1)由底面 ABCD 为矩形得到 AD ? CD ,

????????2 分

又∵平面 C1 D1 DC ⊥平面 ABCD ,平面 C1 D1 DC ? 平面 ABCD 平面= CD , ∴ AD ? 平面 C1 D1 DC . 又∵ CD1 ? 面 A1D1DA ,∴ AD ? CD1 . (2)设 DD1 中点为 G ,连结 EG , AG .
1 ∵ E , G 分别为 CD1 , DD1 的中点,∴ EG ∥ CD, EG ? CD . 2

????????4 分 ????????6 分

????????8 分
D1 C1

在 矩 形 ABCD 中 , 由 F 是 AB 的 中 点 , 得 到 A F ?
AF ∥ CD ,

1 C D且 2
A1

????10 分
5/9

G D A F

E

B1

C

B

∴ EG ∥ AF , 且EG ? AF . ∴四边形 AFEG 是平行四边形,∴ EF ∥ AG . ??12 分 ∵ AG ? 平面ADD1 A1 , EF ? 平面 ADD1 A1 , ∴ EF ∥平面 ADD1 A1 . 17. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 经过点 M (2,4) , ∴ 42 ? 2 p ? 2 ,解得 p ? 4 , ∴抛物线的标准方程为 y 2 ? 8x . ????????3 分 ????????14 分

∴抛物线的焦点为 (2,0) ,∴双曲线的焦点为 F1 (?2,0), F2 (2,0) . 法一:∴ MF1 ? (2 ? 2)2 ? 42 ? 4 2 ∴ 2a ? MF1 ? MF2 ? 4 2 ? 4 , , MF2 ? (2 ? 2)2 ? 42 ? 4 , ?????5 分

a ? 2 2 ? 2, a 2 ? 12 ? 8 2 .

∴ b2 ? c2 ? a 2 ? 4 ? (12 ? 8 2) ? 8 2 ? 8 . ∴双曲线的标准方程为
x2 12 ? 8 2 ? y2 8 2 ?8 ? 1.

????????8 分
4 16 ? ?1 , a 2 b2

法二: a2 ? b2 ? c2 ? 4 ,∵双曲线经过点 M (2,4) ,∴ 解得
a2 ? 12 ? 8 2 , b2 ? 8 2 ? 8 .

?????5 分

∴双曲线的标准方程为

x2 12 ? 8 2

?

y2 8 2 ?8

? 1.

????????8 分

(2)设点 P 的坐标为 ( x p , y p ) ,由题意得,
SD PF1F2 ? 1 F 1 F2 ? yP ? 2 ? yP ? 4 ,∴ yP ? ?2 , 2

???????11 分 ????14 分

∵点 P 在抛物线上,∴ xP ? 18. (本小题满分 16 分)

1 ?1 ? ?1 ? ,∴点 P 的坐标为 ? , 2 ? 或 ? , ?2 ? . 2 ?2 ? ?2 ?

解: (1)①若直线 l1 的斜率不存在,直线 l1 : x ? ?1 ,符合题意. ②若直线 l1 的斜率存在,设直线 l1 为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意得,
?3k ? 4 ? k k2 ?1 ?2,

???????2 分

???????4 分 ???????7 分 ???????8 分

3 解得 k ? ? ,∴直线 l1 : 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . 4

∴直线 l1 的方程是 x ? ?1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (2)依题意,设 D(a, 2 ? 2a) ,
6/9

由题意得,圆 C 的圆心 C (?3, 4), 圆 C 的半径 r ? 2 , CD ? 2 .
9 ∴ (a ? 3)2 ? (2 ? 2a ? 4) 2 ? 2 , 解得 a ? ?1或a ? ? , 5 9 28 ∴ D(?1, 4) 或 D(? , ) . 5 5

?????12 分

???????14 分 ???16 分

9 28 ∴圆 D 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 或 ( x ? )2 ? ( y ? )2 ? 16 . 5 5

19. (本小题满分 16 分)解: (文科做) (1)当 a ? 1 时, F ( x) ? 则 F ?( x) ?
? ln x . x2 ln x ? 1 ,定义域为 x ? (0, ??) , x

?????????????????????????2 分 ,列表:
(0,1)

令 F ?( x) ? 0 得x ? 1

?????4 分 1 0 极大值
(1, ??)

x
F ?( x) F ( x)

+ ↗

— ↘ ????????7 分

当 x ? 1 时, F ( x) 取得极大值 F (1) ? 1 . (2) G( x) ? ln x ? a ? ax( x ? 0) ,∴ G?( x) ?
1 1 ? ax ?a ? ,x ? 0. x x

??????9 分 ????????11 分

若 a ≤ 0 , G?( x) ? 0 , G ( x) 在 (0, ??) 上递增;
? 1? 若 a ? 0 ,当 x ? ? 0, ? 时, G '( x) ? 0 , G ( x) 单调递增; ? a? ?1 ? 当 x ? ? , ?? ? 时, G '( x) ? 0 , G ( x) 单调递减. a ? ?

???????14 分

∴当 a ≤ 0 时, G ( x) 的增区间为 (0, ??) ,
1 当 a ? 0 时 , G ( x) 的 增 区 间 为 (0, ) , 减 区 间 为 a
1 ( , ??) . a

???????16 分

(理科做)因为 AB 中点 O 为点 P 在平面 ABCD 内的射 影,所以 PO ? 平面 ABCD .过 O 作 BC 的平行线交 CD 与点 E ,则 OE ? AB . 建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ????2 分 (1) 设 BC ? a , OP ? h ,则
B(a,0,0), A(?a,0,0), P(0,0, h) , C(a, a,0), D(?a,2a,0) .

7/9

???? ??? ? ∴ AC ? (2a, a,0), PD ? (?a, 2a, ?h) . ???? ??? ? ∵ AC ? PD ? ?2a 2 ? 2a 2 ? 0 , ∴ PD ? AC .

????????6 分

(2)由 PO ? AB ,得 h ? 2a ,于是 P(0,0,2 a) ??? ? ??? ? ∵ AB ? (2a,0,0), PD ? (?a, 2a, ?2a) , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? PD ?2a 2 1 ∴ cos ? AB, PD ? ? ??? ?? , ? ??? ? ? 2a ? 3a 3 AB PD

????????8 分

1 ∴直线 PD 与 AB 所成的角的余弦值为 . 3 ?? ?? (3)设平面 PAB 的法向量为 m ,可得 m ? (0,1,0) , ? 设平面 PCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ??? ? 由题意得 PC ? (a, a, ?h), PD ? (?a, 2a, ?h) ,

????????10 分

??? ? ? ? y ? 2 x, ? ? 3a ? PC ? n ? ax ? ay ? hz ? 0, ? ∵ ? ??? ∴? ? ? 3ax 令 x ? 1 ,得到 n ? (1, 2, ) , h z? , ? ? PD ? n ? ?ax ? 2ay ? hz ? 0, ? h ?

???12 分

?? ? ?? ? m?n ∴ cos ? m, n ?? ?? ? ? m n

2 9a 2 5? 2 h



????????14 分

∵平面 APB 与平面 PCD 所成的二面角为 45? ,∴

2 5? 9a h2
2

?

2 a 3 ,解得 ? , 2 h 3



PO ? 3. BC

????????16 分

20. (本小题满分 16 分) (1)由题意得, A(?a,0), B(a,0) ,
3 3 b2 9 ? 2 ? 2 ?? , ∴ b2 ? 2 , 1? a 1? a 4 a ?1

k DA ? k DB

3 由点 D(1, ) 在椭圆 C 上,则有: 2
3 ( )2 1 ? 22 ? 1 , a2 b

????????2 分 (第 20 题图) ??? 4 分 ???????5 分
8/9

由以上两式可解得 a 2 ? 4, b2 ? 3 . ∴椭圆方程为
x y ? ?1 . 4 3
2 2

(2)①椭圆右准线的方程为 x ? 4 .

假设存在一个定点 E(m,0) ,使得 EM ? EN .设点 P ( x0 , y0 ) ( x0 ? ?2 ). 直线 AP 的方程为 y ? 直线 BP 的方程为 y ? ∴点 N 坐标为 (4,
y0 6 y0 6 y0 ,∴点 M 坐标为 (4, ( x ? 2) ,令 x ? 4 , y ? ). x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 y0 2 y0 , ( x ? 2) ,令 x ? 4 , y ? x0 ? 2 x0 ? 2

2 y0 ). x0 ? 2

???????7 分

???? ? ???? ???? ? ???? 6 y0 2 y0 若 EM ? EN ,则 EM ? EN ? 0 ,∵ EM ? (4 ? m, ) , EN ? (4 ? m, ), x0 ? 2 x0 ? 2
???? ? ???? 6 y0 2 y0 12 y 2 ∴ EM ? EN ? (4 ? m)2 ? ? ? (4 ? m)2 ? 2 0 ? 0 . x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

??????9 分

∵点 P 在椭圆 C 上,∴

x0 2 y0 2 x2 ? ? 1 ,∴ y02 ? 3(1 ? 0 ) ,代入上式,得 (4 ? m)2 ? 9 , 4 3 4

∴ m ? 1或m ? 7 ,∴点 E 的坐标为 (1,0)或(7,0) .
???? ? ???? y (4 ? x0 ) y (4 ? x0 ) ②∵ PM ? (4 ? x0 , 0 ) , PN ? (4 ? x0 , 0 ), x0 ? 2 x0 ? 2
???? ? ???? y 2 (4 ? x )2 (4 ? x 0 )2 ∴ PM ? PN ? (4 ? x0 )2 ? 0 2 0 ? . x0 ? 4 4

??????11 分

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? x 02 ?4 ∵ PA ? (?2 ? x0 , ? y0 ) , PB ? (2 ? x0 , ? y0 ) ,∴ PA ? PB ? x02 ? 4 ? y02 ? . 4

???? ? ???? ??? ? ??? ? (1 ? l ) x0 2 ? 8 x0 ? 16 ? 4l ∴ PM ? PN ? l PA ? PB ? 4



???????13 分

设函数 f ( x0 ) ? 当 当

(1 ? l ) x0 2 ? 8 x0 ? 16 ? 4l ,定义域为 (?2, 2) , 4

4 ≥ 2 时,即 0 ? l ≤1时, f ( x0 ) 在 (?2, 2) 上单调递减, f ( x0 ) 的取值范围为 (1,9) , 1? l 4 4 4 ? 2 时,即 l ? 1 时, f ( x0 ) 在 (?2, ) 上单调递减,在 ( , 2) 上单调递增, f ( x0 ) 1? l 1? l 1? l

?l 2 ? 3l ,9) . 1? l ???? ? ???? ??? ? ??? ? 综上,当 0 ? l ≤1时, PM ? PN ? l PA ? PB 的取值范围为 (1,9) ,

的取值范围为 [

???? ? ???? ??? ? ??? ? ?l 2 ? 3l 当 l ? 1 时, PM ? PN ? l PA ? PB 的取值范围为 [ ,9) . 1? l

??????16 分

9/9



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