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2014-2015学年浙江省金华市东阳中学高一(下)期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省金华市东阳中学高一(下)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?永州一模)下列结论成立的是( ) A. 若 ac>bc,则 a>b B. 若 a>b,则 a >b C. 若 a>b,c<d,则 a+c>b+d D. 若 a>b,c>d,则 a﹣d>b﹣c 考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: A.当 c<0 时,不成立; B.取 a=﹣1,b=﹣2 即可判断出; C.由 a>b,c<d,可得 a﹣c>b﹣d; D.利用不等式的基本性质即可判断出. 解答: 解:对于 A.当 c<0 时,不成立; 对于 B.取 a=﹣1,b=﹣2,不成立; 对于 C.∵a>b,c<d,∴a﹣c>b﹣d,因此不成立; 对于 D.∵c>d,∴﹣d>﹣c,又 a>b,∴a﹣d>b﹣c,因此成立. 故选:D. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.
所有

2

2

2. (5 分) (2014?西湖区校级学业考试)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 的值是( ) A. 10 B. ﹣10 C. 14 D. ﹣14 考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 分析: 不等式 ax +bx+2>0 的解集是 , 把解代入方程求出 a、b 即可. 解答: 解:不等式 ax +bx+2>0 的解集是 即方程 ax +bx+2=0 的解为
2 2 2

2

,则 a+b

所有

,说明方程 ax +bx+2=0 的解为

2



a=﹣12b=﹣2∴

点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系,一元二次不等式的解法,是基础题.

3. (5 分) (2015?秦安县一模)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1= ( ) A. B. C. D.

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

所有

分析: 设等比数列{an}的公比为 q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到 ,解出即可. 解答: 解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵S3=a2+10a1,a5=9, ∴ ,解得 .





故选 C. 点评: 熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键. 4. (5 分) (2015?云南一模)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,an+1 ﹣an =1(n∈N ,那么使 an<5 成立的 n 的最大值为( ) A. 4 B. 5 C. 24 D. 25 考点: 数列的函数特性. 专题: 计算题. 2 分析: 由题意知 an 为首项为 1,公差为 1 的等差数列,由此可知 an= 不等式即可得出答案.
所有

2

2

*)

,再结合题设条件解

解答: 解:由题意 an+1 ﹣an =1, 2 ∴an 为首项为 1,公差为 1 的等差数列, 2 ∴an =1+(n﹣1)×1=n,又 an>0,则 an= 由 an<5 得 <5, ∴n<25.

2

2



那么使 an<5 成立的 n 的最大值为 24. 故选 C. 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意整体数学思想的应用. 5. (5 分) (2015?广西校级学业考试)两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km) , 灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间相距( ) A.a(km) B. a(km) C. a(km) D.2a(km) 考点: 解三角形的实际应用.

所有

专题: 计算题. 分析: 由两个方位角的度数得出∠ACB=90°,又知 AC=BC=5,△ ACB 为等腰直角三角形, 有勾股定理可得边 AB 的长度. 解答: 解:由图知:∠ACB=90°,在 Rt△ ACB 中, AB =AC +BC =a +a =2a ∴AB= a 故答案为 C.
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查解三角形的实际应用,关键是如何把实际问题转化为数学问题,然后套用题 目提供的对应关系解决问题,画出简图,一目了然. 6. (5 分) (2015?徐汇区模拟)长方体的一个顶点上三条棱长为 3、4、5,且它的八个顶点都 在一个球面上,这个球的表面积是( ) A. 20 π B. 25 π C. 50π D. 200π 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题. 分析: 设出球的半径,由于直径即是长方体的体对角线,由此关系求出球的半径,即可求出 球的表面积.
所有

解答: 解: 设球的半径为 R, 由题意, 球的直径即为长方体的体对角线, 则 (2R)=3 +4 +5 =50, ∴R= .
2

2

2

2

2

∴S 球=4π×R =50π. 故选 C 点评: 本题考查球的表面积,球的内接体,考查计算能力,是基础题.

7. (5 分) (2013 秋?宁波期末)已知圆锥的母线长为 4,侧面展开图的中心角为 的体积为( A. ) B. C. D . 4π

,那么它

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题;空间位置关系与距离.
所有

分析: 设圆锥的底面半径为 R,利用侧面展开图的中心角为

,求得 R,再根据圆锥的底面

半径,高,母线构成直角三角形求得圆锥的高,代入圆锥的体积公式计算. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 R, ∵侧面展开图的中心角为 ∴R=1,圆锥的高为 ∴圆锥的体积 V= ×π×1 ×
2

,∴ ×π×4=2πR, = = , .

故选:A. 点评: 本题考查了圆锥的体积公式及圆锥的侧面展开图, 解答的关键是利用圆锥的底面半径, 高,母线构成直角三角形求得圆锥的高. 8. (5 分) (2011?黄州区校级模拟)若满足条件 那么 a 的取值范围是( ) A. (1, ) B. ( ) C. 的△ ABC 有两个, D. (1,2)

考点: 解三角形. 专题: 计算题. 分析: 由已知条件 C 的度数,AB 及 BC 的值,根据正弦定理用 a 表示出 sinA,由 C 的度数 及正弦函数的图象可知满足题意△ ABC 有两个 A 的范围,然后根据 A 的范围,利用特殊角的 三角函数值即可求出 sinA 的范围,进而求出 a 的取值范围.
所有

解答: 解:由正弦定理得:

=

,即

=



变形得:sinA= , 由题意得:当 A∈(60°,120°)时,满足条件的△ ABC 有两个, 所以 < <1,解得: <a<2,

则 a 的取值范围是( ,2) . 故选 C 点评: 此题考查了正弦定理及特殊角的三角函数值.要求学生掌握正弦函数的图象与性质, 牢记特殊角的三角函数值以及灵活运用三角形的内角和定理这个隐含条件. 二、填空题:本大题有 7 小题,9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分,共 36 分.把答案填在答 题卷的相应位置. 9. (6 分) (2015?浙江模拟)设公差不为零的等差数列{an}满足:a1=3,a4+5 是 a2+5 和 a8+5 2 的等比中项,则 an= 8n﹣5 ,{an}的前 n 项和 Sn= 4n ﹣n . 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.
所有

分析: 由已知可得, (a4+5) =(a2+5)?(a8+5) ,从而可求 d,由等差数列的通项公式,前 n 项和公式可得结论. 解答: 解:由已知可得, (a4+5) =(a2+5)?(a8+5) 2 ∴(8+3d) =(8+d) (8+7d) ∵d≠0,∴d=8 ∴an=8n﹣5 由等差数列的前 n 项和公式可得,Sn=
2 2

2

=4n ﹣n.

2

故答案为:8n﹣5;4n ﹣n. 点评: 本题主要考查了等比中项的定义,等差数列的通项公式及求和公式的应用,属于基础 试题.

10. (6 分) (2015?浙江模拟)某空间几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则其体积是 cm ,表面积是 2
3

cm .

2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可得该几何体是正方体的内接正四棱锥,由三视图中的数据和间接法求出几 何体的体积,再由三角形的面积公式求出表面积. 解答: 解:由三视图可得,该几何体是棱长为 1 的正方体的内接正四棱锥,
所有

所以此正四棱锥的体积 V=1﹣4× 由图可得正四面体的棱长是 所以表面积 S=4× × 故答案为: ;2 . , =2 cm .
2

= cm ,

3

点评: 本题考查了正方体的内接正四棱锥的体积、表面积,解题的关键是由三视图正确还原 几何体,并求出几何体中几何元素的长度,考查空间想象能力.

11. (6 分) (2015?嘉兴一模)若实数 x,y 满足不等式组

,目标函数 z=x+2y,若

a=1,则 z 的最大值为 6 ,若 z 存在最大值,则 a 的取值范围为 (0,10)



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值.若 z 存在最大值,利用数形结合确定满足条件的不等式关系即可. 解答: 解: (1)若 a=1,作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) .
所有

由 z=x+2y 得 y=﹣ x+ z, 平移直线 y=﹣ x+ z, 由图象可知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A 时,直线 y=﹣ x+ z 的截距最大, 此时 z 最大. 由 ,解得 ,即 A(2,2) ,

代入目标函数 z=x+2y,得 z=2×2+2=6. (2)由 ax+y≤4,得 y≤﹣ax+4, 则直线 y=﹣ax+4 过定点(0,4) , 若﹣a≥0,即 a≤0 时,目标函数 z=x+2y 无最大值,此时不满足条件. 若﹣a<0,即 a>0 时, 要使 z 存在最大值, 则满足点 B 在直线 ax+y=4 的下方, 由 ,解得 ,即 B( ,﹣1)







,解得 0<a<10,

故此时 a 的取值范围为(0,10) 故答案为:6, (0,10)

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值,利用数形结合 是解决线性规划问题中的基本方法.

12. (6 分) (2015 春?东阳市校级期中)数列{an}满足 a1=3, .an= .

(n∈N ) ,则 a2=

*

考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.
所有

分析: 将

(n∈N ) ,两边取倒数得 }的通项公式,再求 a2,an
*

*

=5,得出数列{

}是等差数列,

先求数列{

解答: 解:将

(n∈N ) ,两边取倒数得

=5,

∴数列{

}是等差数列,

= +(n﹣1)×5=



an=



可得 a2=

,an= .

故答案为:

点评: 本题考查数列的递推关系式的应用,等差数列的判定、通项公式求解.考查转化构造、 计算能力. 13. (4 分) (2014?福建) 在△ ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 考点: 专题: 分析: 解答: , 则△ ABC 的面积等于 2 .

正弦定理. 解三角形. 利用三角形中的正弦定理求出角 B,再利用三角形的面积公式求出△ ABC 的面积. 解:∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ,
所有

由正弦定理得: ∴ 解得 sinB=1, ∴B=90°,C=30°, ∴△ABC 的面积= ,





故答案为: . 点评: 本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角,求它的面积.正余弦定理、解 直角三角形、三角形的面积公式等知识,属于基础题.
2

14. (4 分) (2015?张家港市校级模拟)已知二次不等式 ax +2x+b>0 的解集{x|x

},且

a>b,则

的最小值为 2



考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题.

所有

分析: 由二次不等式和二次方程的根的关系可得 ab=1, 而要求的式子可化为: (a﹣b) + 由基本不等式求最值可得结果. 解答: 解:∵二次不等式 ax +2x+b>0 的解集{x|x ∴a>0,且对应方程有两个相等的实根为 由根与系数的故关系可得 ,即 ab=1
2



},



=

=(a﹣b)+



∵a>b,∴a﹣b>0,由基本不等式可得 (a﹣b)+ 当且仅当 a﹣b= 故 ≥2 时取等号 =2 ,

的最小值为:2

故答案为:2 点评: 本题为基本不等式求最小值,涉及不等式的解集跟对应方程根的关系,把要求的式子 化简成可利用基本不等式的形式是解决问题的关键,属中档题. 15. (4 分) (2015 春?东阳市校级期中)△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边, b=c,满足 .若点 O 是△ ABC 外一点,∠AOB=θ(0<θ<π) ,OA=2OB=2, .

平面四边形 OACB 面积的最大值是

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析:根据条件

所有

, 利用两角和的正弦公式即可得出 sinA=sinC, 从而得到 A=C, 即可得到 ,S△ AOB=sinθ,从而可得到 ,可说明 最大值为 1,从而便可得出

再根据 b=c,从而△ ABC 为等边三角形.根据 ,这时候可以表示出

平面四边形 OACB 面积的最大值. 解答: 解:解:∵△ABC 中, ∴sinBcosA=sinA﹣sinAcosB; ∴sinBcosA+cosBsinA=sinA; ∴sin(A+B)=sinC=sinA; ∴A=C; 又 b=c; ∴△ABC 为等边三角形,如图所示: 则: ∴ ∴ ; = ; =1+4﹣4cosθ=5﹣4cosθ; ; ;

∴S 四边形 OACB=S△ AOB+S△ ABC= ∵0<θ<π; ∴ ∴ ,即 ; 时,sin

=



取最大值 1; .

∴平面四边形 OACB 面积的最大值为 故答案为: .

点评: 考查两角和差的正弦公式,三角函数的诱导公式,向量减法的几何意义,以及向量数 量积的运算,三角形的面积公式. 三.解答题:本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (15 分) (2015?怀化一模) 已知 a, b, c 分别为△ ABC 三个内角 A, B, C 的对边, c= asinC ﹣ccosA. (1)求角 A; (2)若 a=2,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 考点: 正弦定理;余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)把已知的等式利用正弦定理化简,根据 sinC 不为 0,得到一个关系式,再利用 两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用特殊角的三角函数值求出 A 的度数 即可; (2) 由 A 的度数求出 sinA 和 cosA 的值, 由三角形 ABC 的面积, 利用面积公式及 sinA 的值, 求出 bc 的值,记作①;由 a 与 cosA 的值,利用余弦定理列出关系式,利用完全平方公式变 形后,把 bc 的值代入求出 b+c 的值,记作②,联立①②即可求出 b 与 c 的值.
所有

解答: 解: (1)由正弦定理 sinCcosA, ∵C 为三角形的内角,∴sinC≠0, ∴ sinA﹣cosA=1, 整理得:2sin(A﹣

=

=

化简已知的等式得:sinC=

sinAsinC﹣

)=1,即 sin(A﹣

)= ,

∴A﹣

=

或 A﹣

=



解得:A= 则 A= ;

或 A=π(舍去) ,

(2)∵a=2,sinA= ∴ bcsinA= bc=
2 2

,cosA= ,△ ABC 的面积为 ,即 bc=4①;
2 2 2



∴由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:4=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=(b+c) ﹣12, 整理得:b+c=4②, 联立①②解得:b=c=2. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 17. (15 分) (2015?佳木斯一模)已知公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S7=70, 且 a1,a2,a6 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值.

2

2

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.

所有

分析: (Ⅰ)根据等差(等比)数列对应的前 n 项和、通项公式和性质,列出关于 a1 和 d 方 程,进行求解然后代入通项公式; (Ⅱ)由(Ⅱ)的结果求出 Sn,代入 bn 进行化简后,利用基本不等式求出最小项以及对应的 项数. 解答: 解: (I)设公差为 d 且 d≠0,则有 ,即 ,

解得



(舍去) ,

∴an=3n﹣2. (II)由(Ⅱ)得, = ,

∴bn= 当且仅当 3n=

=

=3n+

﹣1≥2

﹣1=23,

,即 n=4 时取等号,

故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23.

点评: 本题是数列与不等式结合的题目,考查了等差(等比)数列对应的前 n 项和、通项公 式和性质等,注意利用基本不等式求最值时的三个条件的验证. 18. (15 分) (2013?天水校级三模)选修 4﹣5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x﹣a|. (1)若 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},求实数 a,m 的值; (2)当 a=2 且 t≥0 时,解关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 压轴题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由 f(x)≤m,可得 a﹣m≤x≤a+m.再由 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},可得
所有

,由此求得实数 a,m 的值.

(2) 当 a=2 时, 关于 x 的不等式即|x|﹣|x﹣2|≤t ①. 令h (t) =|x|﹣|x﹣2|=



可得函数 h(x)的最大值和最小值. 分当 t≥2 和 0≤t<2 两种情况,分别求得不等式的解集. 解答: 解: (1)由于函数 f(x)=|x﹣a|,由 f(x)≤m 可得﹣m≤x﹣a≤x+a,即 a﹣m≤x≤a+m. 再由 f(x)≤m 的解集为{x|﹣1≤x≤5},可得 ,解得 .

(2)当 a=2 时,f(x)=|x﹣2|,关于 x 的不等式 f(x)+t≥f(x+2) ,即|x|﹣|x﹣2|≤t.

令 h(t)=|x|﹣|x﹣2|=

,故函数 h(x)的最大值为 2,最小值为﹣2,不

等式即 h(x)≤t. ①当 t≥2 时,不等式 h(x)≤t 恒成立,故原不等式的解集为 R. ②当 0≤t<2 时, (1)若 x≤0,则 h(x)=﹣2,h(x)≤t 恒成立,不等式的解集为{x|x≤0}. (2)若 0<x<2,此时,h(x)=2x﹣2,不等式即 2x﹣2≤t,解得 x≤ +1, 即此时不等式的解集为 {x|0<x≤ +1 }. 综上可得,当 t≥2 时,不等式的解集为 R; ②当 0≤t<2 时,不等式的解集为 {x|x≤ +1 }. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化和分类讨论的数学思想,属于中档题. 19. (15 分) (2015?中山二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=8,S4=40.数列{bn} * 的前 n 项和为 Tn,且 Tn﹣2bn+3=0,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Pn.

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)运用等差数列的通项公式与求和公式,根据条件列方程,求出首项和公差,得
所有

到通项 an,运用 n=1 时,b1=T1,n>1 时,bn=Tn﹣Tn﹣1,求出 bn; (Ⅱ)写出 cn,然后运用分组求和,一组为等差数列,一组为等比数列,分别应用求和公式 化简即可. 解答: 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ,

解得



∴an=4n, ∵Tn﹣2bn+3=0,∴当 n=1 时,b1=3,当 n≥2 时,Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0, 两式相减,得 bn=2bn﹣1, (n≥2) 则数列{bn}为等比数列, ∴ ;

(Ⅱ)



当 n 为偶数时,Pn=(a1+a3+…+an﹣1)+(b2+b4+…+bn) = 当 n 为奇数时, (法一)n﹣1 为偶数,Pn=Pn﹣1+cn=2 +(n﹣1) ﹣2+4n=2 +n +2n﹣1, (法二)Pn=(a1+a3+…+an﹣2+an)+(b2+b4+…+bn﹣1) = .
(n﹣1)+1



2

n

2





点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用,考查方程的思想在数列 中的运用,同时考查数列的通项与前 n 项和的关系式,考查数列的求和方法:分组求和,是 一道综合题. 20. (14 分) (2015?咸阳一模)已知△ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 △ ABC 的面积为 S= accosB.

(1)若 c=2a,求角 A,B,C 的大小;

(2)若 a=2,且

≤A≤

,求边 c 的取值范围.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)法一:根据正弦定理,建立条件关系,即可求出角 A,B,C 的大小;法二:根 据余弦定理,建立条件关系,即可求出角 A,B,C 的大小. (2)根据正弦定理表示出 c,根据三角函数的图象和性质即可得到结论.
所有

解答: 解:由已知及三角形面积公式得 S= acsinB= 化简得 sinB= 即 tanB= cosB, .

accosB,

,又 0<B<π,∴B=

(1)解法 1:由 c=2a,及正弦定理得,sinC=2sinA, 又∵A+B= ∴sin( , ﹣A)=2sinA, ,而 0<A< .
2 2 2 2 2 2 2

化简可得 tanA= ∴A= ,C=



解法 2:由余弦定理得,b =a +c ﹣2accosB=a +4a ﹣2a =3a , ∴b= , ∴a:b:c=1: (2)由正弦定理得 即 c= 由 C= ﹣A,得 , ,知 A= ,C= . ,

= 又由 ≤A≤ ,

=

=

+1

知 1≤tanA≤ , 故 c∈[2, ]. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,要求熟练掌握相应的定理.


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