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2015-2016学年广东省肇庆四中高二(下)第一次月考数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年广东省肇庆四中高二(下)第一次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题的四个选项中,只 有一项符合要求. 1.下列结论中正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 2.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极大值点( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.若曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=2 C.a=1,b=﹣2 D.a=﹣1,b=﹣2 5.y=x2 与 y=x 所围成的面积为( ) A.1 B.﹣ C. D.



6. y=f ′ x) 设函数 f (x) 在定义域内可导, (x) 的图象如图所示, 则导函数 y=f( 可能为 (



A.

B.

C.

D.

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7.若函数 f(x)=﹣x2+x 的图象上一点(﹣1,﹣2)及邻近一点(﹣1+△x,﹣2+△y) ,则 =( A.3 8. ) B.3△x﹣(△x)2 dx=( ) C.2e2﹣2 D.e2﹣1 ) C.3﹣(△x)2 D.3﹣△x

A.e2+1 B.2e2﹣1 9. 已知点 P 在曲线 y= A.[0, 10.函数 ) B.

α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 上, 则 α 的取值范围是 ( C. D.

在(0,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是(



A.[2,+∞) B.[﹣2,+∞) C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣2,+∞) 11.设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )? A. B. (﹣3,0)∪(3,+∞) (﹣3,0)∪(0,3) C. (﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)? 12.设 f0(x)=sinx+cosx,f1(x)=f0′(x) ,f2(x)=f1′(x) ,…,fn+1(x)=fn′(x) .则 f2016 x = ( ) ( ) A.sinx+cosx B.sinx﹣cosx C.﹣sinx﹣cosx D.﹣sinx+cosx 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.函数 f(x)=x3﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值是 . n+1 * 14. 1) 设曲线 y=x (n∈N ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 令 an=log2xn, 则 a1+a2+…+a15 的值为 . 15.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此 若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数 是 . 16.用数学归纳法证明“(n+1) (n+2)…(n+n)=2n?1?2?…?(2n﹣1)”(n∈N+)时,从“n=k 到 n=k+1”时,左边应增添的式子是 . 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分. 17.求函数 f(x)=2x3﹣6x2+7 的极值和单调区间. 18.六一儿童节期间,某商场对儿童节礼品采取促销措施.某儿童节礼品的进货价是 10 元/ 件,据市场调查,当销售量为 x(万件)时,销售价格 (元/件) .若 x

∈N*,问销售量 x 为何值时,商场获得的利润最大?并求出利润的最大值. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,2Sn=(n+1)an(n∈N*) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想 an 的表达式,并加以证明. 20.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y=f′(x)的图象经过点 (1,0) , (2,0) ,如图所示,求: (Ⅰ)x0 的值;
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(Ⅱ)a,b,c 的值.

21.用数学归纳法证明:﹣1+3﹣5+…+(﹣1)n(2n﹣1)=(﹣1)nn. 22.已知函数 f(x)=x2+bsinx﹣2(b∈R) ,F(x)=f(x)+2,且对于任意实数 x,恒有 F (x)﹣F(﹣x)=0. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx 在区间(0,1)上单调递减,求实数 a 的取 值范围.

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2015-2016 学年广东省肇庆四中高二(下)第一次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题的四个选项中,只 有一项符合要求. 1.下列结论中正确的是( ) A.导数为零的点一定是极值点 B.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值 C.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极小值 D.如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极大值 【考点】函数在某点取得极值的条件. 【分析】根据导函数的根为 x0,且在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0) 是极大值; 导函数的根为 x0,且在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值, 判断出选项. 【解答】解:导数为零的点且左右两边的符号不同才是极值点故 A 错 如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则函数先增后减,则 f(x0)是极大值 如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则函数先减后增,则 f(x0)是极小值 故选 B 2.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤ 【考点】归纳推理;演绎推理的意义. 【分析】本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义,根据定义对 5 个命题 逐一判断即可得到答案. 【解答】解:归纳推理是由部分到整体的推理, 演绎推理是由一般到特殊的推理, 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故①③⑤是正确的 故选 D 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极大值点( )

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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】根据题目给出的导函数的图象,得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号,由 此判断出原函数在各个区间上的单调性,从而判断出函数取得极大值的情况. 【解答】解:如图,不妨设导函数的零点分别为 x1,x2,x3,x4. 由导函数的图象可知: 当 x∈(a,x1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 当 x∈(x2,x3)时,f′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x∈(x3,x4)时,f′(x)>0,f(x)为增函数, 当 x∈(x4,b)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 由此可知,函数 f(x)在开区间(a,b)内有两个极大值点, 分别是当 x=x1 时和 x=x4 时函数取得极大值. 故选 B.

4.若曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=2 C.a=1,b=﹣2 D.a=﹣1,b=﹣2



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由 y=x2+ax+b,知 y′=2x+a,再由曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程为 x﹣ y+1=0,求出 a 和 b. 【解答】解:∵y=x2+ax+b, ∴y′=2x+a, ∵y′|x=1=2+a, ∴曲线 y=x2+ax+b 在点(1,b)处的切线方程为 y﹣b=(2+a) (x﹣1) , 2 ∵曲线 y=x +ax+b 在点(1,b)处的切线方程为 x﹣y+1=0, ∴a=﹣1,b=2. 故选 B. 5.y=x2 与 y=x 所围成的面积为( )

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A.1

B.﹣

C.

D.

【考点】定积分在求面积中的应用. 【分析】 作出两个曲线的图象, 求出它们的交点, 由此可得所求面积为函数 x﹣x2 在区间[0, 1]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以计算,即可得到本题答案. 【解答】解:∵曲线 y=x3 和曲线 y=x 的交点为 A(1,1)和原点 O(0,0) ∴由定积分的几何意义,可得所求图形的面积为 S= 故选:C. = = = .

6. y=f ′ x) 设函数 f (x) 在定义域内可导, (x) 的图象如图所示, 则导函数 y=f( 可能为 (



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象;导数的运算. 【分析】先从 f(x)的图象判断出 f(x)的单调性,根据函数的单调性与导函数的符号的 关系判断出导函数的符号,判断出导函数的图象 【解答】解:由 f(x)的图象判断出 f(x)在区间(﹣∞,0)上递增;在(0,+∞)上先增再减再增 ∴在区间(﹣∞,0)上 f′(x)>0,在(0,+∞)上先有 f′(x)>0 再有 f′(x)<0 再有 f′ (x)>0 故选 D. 7.若函数 f(x)=﹣x2+x 的图象上一点(﹣1,﹣2)及邻近一点(﹣1+△x,﹣2+△y) ,则 =( )

A.3 B.3△x﹣(△x)2 C.3﹣(△x)2 D.3﹣△x 【考点】变化的快慢与变化率.

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【分析】利用 【解答】解: =

即可得出.

= 故选 D.

=3﹣△x.

8.

dx=(

) C.2e2﹣2 D.e2﹣1

A.e2+1 B.2e2﹣1 【考点】定积分. 【分析】由 【解答】解: 故选:C.

dx=2 dx=2

exdx,再根据定积分的计算法则即可求出. exdx=2ex| =2(e2﹣1)=2e2﹣2,

9. 已知点 P 在曲线 y= A.[0, ) B.

α 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, 上, 则 α 的取值范围是 ( C. D.



【考点】导数的几何意义. 【分析】 利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率, 再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角 的范围. 【解答】解:因为 y′= = = ,

∵ ∴ex+e﹣x+2≥4, ∴y′∈[﹣1,0) 即 tanα∈[﹣1,0) , ∵0≤α<π ∴ ≤α<π



故选:D.

10.函数 A.[2,+∞)

在(0,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是( B.[﹣2,+∞) C. (﹣∞,﹣2] D. (﹣2,+∞)



【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】得出 f′(x)≥0,然后用基本不等式求 a 的取值范围.
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【解答】解:若函数在(0,+∞)上是增函数,则 f′(x)=x+ 即 ∴a≥﹣2. 故选 B. ,∵ ,∴ ;

≥0 恒成立;

11.设 f(x) 、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( )? A. 3 0 3 B 3 0 0 3 C 3 ∞ ∞ (﹣ , )∪( ,+ ) . (﹣ , )∪( , ) . (﹣ ,﹣ )∪(3,+∞) D. (﹣∞,﹣3)∪(0,3)? 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】先根据 f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0 可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得到 f (x)g(x)在 x<0 时递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g(x)在 x >0 时也是增函数,最后根据 g(﹣3)=0 可求得答案. 【解答】解:设 F(x)=f (x)g(x) ,当 x<0 时,? ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在当 x<0 时为增函数.? ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x) .? F x 0 0 ∞ ∞ ? 故 ( )为(﹣ , )∪( ,+ )上的奇函数. ∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数.? 已知 g(﹣3)=0,必有 F(﹣3)=F(3)=0.? 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0 的解集为 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3) .? 故选 D

12.设 f0(x)=sinx+cosx,f1(x)=f0′(x) ,f2(x)=f1′(x) ,…,fn+1(x)=fn′(x) .则 f2016 (x)=( ) A.sinx+cosx B.sinx﹣cosx C.﹣sinx﹣cosx D.﹣sinx+cosx 【考点】导数的运算. 【分析】利用导数的运算法则可得 fn+4(x)=fn(x) .n∈N,即可得出. 【解答】解:∵f0(x)=sinx+cosx, ∴f1(x)=f0′(x)=cosx﹣sinx, f2(x)=f1′(x)=﹣sinx﹣cosx, f3(x)=﹣cosx+sinx, f4(x)=sinx+cosx, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x) ∴f2016(x)=f504×4(x)=f0(x)=sinx+cosx
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故选:A. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.函数 f(x)=x3﹣3x+1 在闭区间[﹣3,0]上的最大值是 3 . 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先求出函数的导数,然后确定函数的极值,最后比较极值与端点值的大小,从而确 定函数的最大和最小值. 【解答】解:由 f′(x)=3x2﹣3=0,得 x=±1, 当 x<﹣1 时,f′(x)>0,当﹣1<x<1 时,f′(x)<0, 当 x>1 时,f′(x)>0,故 f(x)的极小值、极大值分别为 f(﹣1)=3,f(1)=﹣1, 而 f(﹣3)=﹣17,f(0)=1, 故函数 f(x)=x3﹣3x+1 在[﹣3,0]上的最大值是 3. 故答案是 3. 14. 1) 设曲线 y=xn+1 (n∈N*) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn, 令 an=log2xn, 则 a1+a2+…+a15 的值为 ﹣4 . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;数列的求和. 【分析】利用导数的几何意义求切线方程,然后得到切线的横坐标,利用数列的特点求出数 列的前 15 项和. 【解答】解:函数的导数为 f'(x)=(n+1)xn,所以 f'(1)=n+1,即在点(1,1)处的切 线斜率 k=n+1. 所以对应的切线方程为 y﹣1=(n+1) (x﹣1) , 令 y=0,解得 x= 所以 所以 a1+a2+…+a15= 故答案为:﹣4. 15.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此 若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前 120 个圈中的●的个数是 14 . 【考点】等差数列;进行简单的合情推理. 【分析】把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组,那么每组圆的总个数就等于 2, 3,4,…所以这就是一个等差数列.根据等差数列的求和公式可以算出第 120 个圆在第 15 组,且第 120 个圆不是实心圆,所以前 120 个圆中有 14 个实心圆. 【解答】解:将圆分组: 第一组:○●,有 2 个圆; 第二组:○○●,有 3 个圆; 第三组:○○○●,有 4 个圆; … 每组圆的总个数构成了一个等差数列,前 n 组圆的总个数为 sn=2+3+4+…+(n+1)= ,
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,即 ,





令 sn=120, 解得 n≈14.1, 即包含了 14 整组, 即有 14 个黑圆, 故答案为:14. 16.用数学归纳法证明“(n+1) (n+2)…(n+n)=2n?1?2?…?(2n﹣1)”(n∈N+)时,从“n=k 到 n=k+1”时,左边应增添的式子是 2(2k+1) . 【考点】用数学归纳法证明不等式. 【分析】分别求出 n=k 时左边的式子,n=k+1 时左边的式子,用 n=k+1 时左边的式子,除以 n=k 时左边的式子,即得所求. 【解答】解:当 n=k 时,左边等于 (k+1) (k+2)…(k+k)=(k+1) (k+2)…(2k) , 当 n=k+1 时,左边等于 (k+2) (k+3)…(k+k) (2k+1) (2k+2) , 故从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的代数式是 故答案为:2(2k+1) . 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 70 分. 17.求函数 f(x)=2x3﹣6x2+7 的极值和单调区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】由 f(x)=2x3﹣6x2+7,求得 f′(x)=6x2﹣12x,通过对 f'(x)>0 与 f'(x)<0 的分析,可求得 f(x)的单调区间和极值. 【解答】解:f'(x)=6x2﹣12x…2 分 …4 分 令 f'(x)=0,解得 x1=0,x2=2. 列表讨论 f(x) 、f'(x)的变化情况: x 2 (﹣∞,0) 0 (0,2) (2,+∞) f'(x) 0 0 + ﹣ + f(x) ↗ ↘ ↗ 极大值 7 极小值﹣1 …7 分 所以,f(x)的单调递增区间为(﹣∞,0) 、 (2,+∞) ;f(x)的单调递减区间为(0, 2) 8 … ; 分 当 x=0 时,f(x)的极大值是 f(0)=7; …9 分. 当 x=2 时,f(x)的极小值是 f(2)=﹣1. 18.六一儿童节期间,某商场对儿童节礼品采取促销措施.某儿童节礼品的进货价是 10 元/ 件,据市场调查,当销售量为 x(万件)时,销售价格 (元/件) .若 x =2(2k+1) ,

∈N*,问销售量 x 为何值时,商场获得的利润最大?并求出利润的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】先确定利润函数,在求导确定函数的单调性,从而可求最值. 【解答】 解: 设商场的利润为 y 万元, 由题意得 (x∈N*)
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令 y'=0,得



(舍去) .

y',y 随 x 变化的情况如下表: x (0, ) y' + y 递增 因为

0 极大值

( ﹣ 递减

,+∞)

,当 x=3 时,y=9;当 x=4 时,y=9; 所以当 x=3 或 x=4 时,ymax=9. 答:销售量 x 为 3 万件或 4 万件时,商场获得的利润最大,最大值为 9 万元. 19.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,2Sn=(n+1)an(n∈N*) . (1)求 a2,a3,a4 的值; (2)猜想 an 的表达式,并加以证明. 【考点】数学归纳法;归纳推理. 【分析】 (1)由 a1=1,2Sn=(n+1)an(n∈N*) ,从 n=2 依次代入整数值,不难给出 a2,a3, a4 的值; (2)由 a2,a3,a4 的值与 n 的关系,我们不难归纳推理出数列的通项公式,观察到它们是 与自然数集相关的性质,故可采用数学归纳法来证明. 【解答】解: (1)因为 a1=1,2Sn=(n+1)an(n∈N*) ,所以, n=2 2 a a =3a a =2 当 时, ( 1+ 2) 2,得 2 ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 n=3 时,2(a1+a2+a3)=4a3,得 a3=3;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 当 n=4 时,2(a1+a2+a3+a4)=5a4,得 a4=4.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)猜想 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣ 由 2Sn=(n+1)an①,可得 2Sn﹣1=nan﹣1(n≥2)②,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ①﹣②,得 2an=(n+1)an﹣nan﹣1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以(n﹣1)an=nan﹣1,即 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 也就是 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在点 x0 处取得极大值 5,其导函数 y=f′(x)的图象经过点 (1,0) , (2,0) ,如图所示,求:
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,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,故

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅰ)x0 的值; (Ⅱ)a,b,c 的值.

【考点】利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)观察图象满足 f′(x)=0 的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极大值, 求出 x0 的值; (2)根据图象可得 f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,建立三个方程,联立方程组求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)由图象可知,在(﹣∝,1)上 f'(x)>0,在(1,2)上 f'(x)<0. 在(2,+∝)上 f'(x)>0. 故 f(x)在(﹣∝,1) , (2,+∝)上递增,在(1,2)上递减. f x x=1 因此 ( )在 处取得极大值,所以 x0=1. 2 (Ⅱ)f'(x)=3ax +2bx+c, 由 f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5, 得 解得 a=2,b=﹣9,c=12. 21.用数学归纳法证明:﹣1+3﹣5+…+(﹣1)n(2n﹣1)=(﹣1)nn. 【考点】数学归纳法. 【分析】首先证明当 n=1 时等式成立,再假设 n=k 时等式成立,得到等式 1+3+5+…+(2k﹣ 1)=k2,下面证明当 n=k+1 时等式左边=1+3+5+…+(2k﹣1)+(2k+1) ,根据前面的假设化 简即可得到结果,最后得到结论. 【解答】证明: (1)当 n=1 时,左边=﹣1,右边=﹣1, ∴左边=右边 (2)假设 n=k 时等式成立,即:﹣1+3﹣5+…+(﹣1)k(2k﹣1)=(﹣1)kk; 当 n=k+1 时,等式左边=﹣1+3﹣5+…+(﹣1)k(2k﹣1)+(﹣1)k+1(2k+1) =(﹣1)kk+(﹣1)k+1(2k+1) =(﹣1)k+1. (﹣k+2k+1) k+1 =(﹣1) (k+1) . n=k 1 这就是说, + 时,等式成立. 综上(1) (2)可知:﹣1+3﹣5+…+(﹣1)n(2n﹣1)=(﹣1)nn 对于任意的正整数成立. 22.已知函数 f(x)=x2+bsinx﹣2(b∈R) ,F(x)=f(x)+2,且对于任意实数 x,恒有 F (x)﹣F(﹣x)=0.
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(1)求函数 f(x)的解析式; (2)已知函数 g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx 在区间(0,1)上单调递减,求实数 a 的取 值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)先表示出 F(x)的表达式,再根据对任意实数 x,恒有 F(x)﹣F(﹣x)=0, 我们可以求出 b 的值,进而可确定函数 f(x)的解析式; (2)将(1)中求出的函数 f(x)的解析式代入函数 g(x)然后求导,将问题转化为 g′(x) ≤0 在(0,1)上恒成立,再利用分离参数法,我们就可以求实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵函数 f(x)=x2+bsinx﹣2(b∈R) ,F(x)=f(x)+2 2 F x =x bsinx ∴ ( ) + 依题意,对任意实数 x,恒有 F(x)﹣F(﹣x)=0,即 x2﹣bsinx=x2+bsinx, ∴2bsinx=0 对于任意实数 x 都成立,∴b=0 所以 f(x)=x2﹣2. (2)∵g(x)=x2﹣2+2(x+1)+alnx, ∴g(x)=x2+2x+alnx, g′(x)=2x+2+ . ∵函数 g(x)在(0,1)上单调递减, ∴在区间(0,1)上,g′(x)≤0 在(0,1)上恒成立. 即 2x2+2x+a≤0 在(0,1)上恒成立. ∴a≤﹣(2x2+2x)在(0,1)上恒成立. 而 u(x)=﹣(2x2+2x)在(0,1)上单调递减 ∴a≤﹣4.

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2016 年 8 月 30 日

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