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湖北省黄冈市2017届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


黄冈市 2017 年元月高三年级调研考试 文科数学
2017 年元月 9 日

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. 1.设集合 A ? ?x | 0 ? x ? 4? , B ? ?x ? N |1 ? x ? 3? ,则 A ? B ? A.

?x |1 ? x ? 3?
2

B.

?x | 0 ? x ? 4?
C. ?2 ? 2i

C.

?1, 2,3?

D. ?0,1,2,3?

2.关于 x 的方程 x ? ? 4 ? i ? x ? 4 ? ai ? 0 ? a ? R ? 有实根 b,且 z ? a ? bi ,则复数 z 等于 A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i D. ?2 ? 2i

3.已知等比数列,则 " a1 ? 0" 是 " a2017 ? 0" 的 A.充分不必要条件 C. 充要条件 4.下列说法正确的是 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 2 A. “若 a ? 1 ,则 a ? 1 ”的否命题是“若 a ? 1 ,则 a ? 1 ” 2 2 在 ?ABC 中,“ A ? B ” 是“ sin A ? sin B ”必要不充分条件

B.

C. “若 tan ? ? 3 ,则 ? ?
x x

?
3

”是真命题

D. ?x0 ? ? ??,0? 使得 3 0 ? 4 0 成立 5.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,异面直线 A 1B 与 AD 1 所成角的大小为 A. 30
?

B.

45?

C. 60

?

D. 90

?

6.已知实数 a ? 1.70.3 , b ? 0.90.1 , c ? log2 5, d ? log0.3 1.8 ,那么它们的大小关系是 A. c ? a ? b ? d B. a ? b ? c ? d C. c ? b ? a ? d D. c ? a ? d ? b 7.函数 f ? x ? ? ? x ? 2?? ax ? b ? 为偶函数,且在 ? 0, ??? 上单调递增,则 f ? 2 ? x ? ? 0 的解集 为 A.

?x | x ? 0或x ? 4?

B.

?x | 0 ? x ? 4?

C.

?x | x ? ?2或x ? 2?

D.

?x | ?2 ? x ? 2?

8.在自然界中存在着大量的周期函数,比如声波.若两个声波随时间的变化规律分别为:

?? ? y1 ? 3 2 sin ?100? t ? , y2 ? 3sin ?100? t ? ? ,则这两个声波合成后(即 y ? y1 ? y2 )的声 4? ?
-1-

波的振幅为 A. 6 2 B.

3?3 2

C. 3 2

D.

3

9.下列四个图中,可能是函数 y ?

ln x ? 1 的图象是是 x ?1

? ? ? ? 10.已知 AB ? cos 23 , cos 67 , BC ? 2 cos 68 , 2 cos 22 ,则 ?ABC 的面积为

??? ?

?

?

??? ?

?

?

A. 2

B.

2

C. 1

D.

2 2

11.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体 的表面积为 S 为 S ? ? ? R ? r ? l (注:圆台侧面积公式为) A. 17? ? 3 17? C. 22? B. 20? ? 5 17?

D. 17? ? 5 17?

12.已知 a ? R , 若 f ? x? ? ? x ?

? ?

a? x ? e 在区间 ? 0,1? 上有且只有一 x?
D. a ? 0

个极值点,则 a 的取值范围是 A. a ? 0 B. a ? 1 C. a ? 1

第Ⅱ卷(非选择题
13.已知 cos ?

共 90 分)
.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

?? ? 2 2 ? ? 3? ? ?? ? ? , ? ? ? , ? ,则 tan ? ? 3 ?2 ? ?2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 14.已知向量 a, b 的夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ,则 b ?
? y ? 2 x ? 2, y ?1 ? 15.设实数 x , y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0, 则 的取值范围是 x?3 ? x ? 2, ?

.

.

-2-

16. “中国剩余定理” 又称 “孙子定理” .1852 年英国来华传教伟烈亚利将 《孙子算经》 中 “物 不知数”问题的解法传至欧洲.1874 年,英国数学家马西森指出此法符合 1801 年由高斯得出 的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”. “中国剩余定理”讲 的是一个关于整除的问题, 现有这样一个整除问题: 将 2 至 2017 这 2016 个数中能被 3 除余 1 且被 5 除余 1 的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列 ?an ? ,则此数列的项数 为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.(本题满分 10 分)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

a ? 7, b ? 3, 7 sin B ? sin A ? 2 3.
(1)求角 A 的大小; (2)求 ?ABC 的面积.

18.(本题满分 12 分)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下: 甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39. (1)用十位数为茎,在答题卡中画出原始数据的茎叶图; (2) 用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2,3,4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样 本,从该样本中随机抽取 2 场,求其中恰有 1 场得分大于 40 分的概率.

19.(本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的各项均为正数,观察程序框图,若

k ? 5, k ? 10 时,分别有 S ?

5 10 ,S ? . 11 21

(1)试求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? 3n ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

20.(本题满分 12 分)如图,在直角梯形 ABCD 中,

?ADC ? ?BAD ? 90? , AB ? AD ? 1, CD ? 2, 平面 SAD ? 平面 ABCD ,
平面 SDC ? 平面 ABCD , SD ? 3 ,在线段 SA 上取一点 E(不含端点) 使 EC=AC,截面 CDE 交 SB 于点 F.

-3-

(1)求证:EF//CD; (2)求三棱锥 S-DEF 的体积.

21.(本题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? x ?1, g ? x ? ? a x ?1.
2

(1)若关于 x 的方程 f ? x ? ? g ? x ? 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22.(本题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 f ? x ? ? ln x ? ax ?1. (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若函数 f ? x ? 有两个不同的零点 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,求实数 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求证: x1 ? x2 ? 2.

一、 题 号 答 案 C A C C C A A D C D D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-4-

二、13.

14.

15.

16. 134
= ,∴ sinB=3sinA,

17.解:(Ⅰ)锐角△ABC 中,由条件利用正弦定理可得 再根据 sinB+sinA=2 ,求得 sinA=

,∴角 A=

.???????(5 分) ,解得

2 2 (Ⅱ) 锐角△ABC 中,由条件利用余弦定理可得 a =7=c +9﹣6c?cos

c=1 或 c=2. 当 c=1 时,cosB= =﹣ <0,故 B 为钝角,这与已知△ABC 为锐角

三角形相矛盾, 故不满足条件. 当 c=2 时, △ABC 的面积为 bc?sinA= ?3?2? 分)

=

. (10

18.解:(Ⅰ)由题意得茎叶图如图:????????????????(5 分) (Ⅱ)用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2、3、4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样本, 则得分十位数为 2、3、别应该抽取 1,3,1 场, 所抽取的赛场记为 A,B1,B2,B3,C, 从中随机抽取 2 场的基本事件有: (A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,C), (B1,B2),(B1,B3),(B1,C),(B2,B3), (B2,C),(B3,C)共 10 个, 记“其中恰有 1 场的得分大于 4”为事件 A, 则事件 A 中包含的基本事件有: (A,C),(B1,C),(B2,C),(B3,C)共 4 个, ∴ ??????????????????????(12 分)

答:其中恰有 1 场的得分大于 4 的概率为 .

19.解:

-5-

解得: (2)



(舍去),则

..................6 分

则 ...............12 分 20. 证明:(1) CD//AB CD//平面 SAB
又 (2) CD 平面 CDEF∩平面 SAB=EF CD AD,平面 SAD CD EF CD//EF????????(6 分)

平面 ABCD SD,同理 AD 平面 SAD , ED=AD 又 ED=AD=1 SD

平面 SAD

由(1)知 EF//CD EC=AC, 在 中

AD=1,SD=

E 为 SA 中点,

的面积为

三棱锥 S-DEF 的体积

????????(12 分)

21.解:(Ⅰ)方程|f(x)|=g(x),即|x2﹣1|=a|x﹣1|,变形得|x﹣1|(|x+1|﹣a)=0, 显然,x=1 已是该方程的根,从而欲使原方程只有一解,即要求方程|x+1|=a 有且仅有一个等 于 1 的解或无解,∴a<0.????6 分 (Ⅱ)当 x∈R 时,不等式 f(x)≥g(x)恒成立,即(x ﹣1)≥a|x﹣1|(*)对 x∈R 恒成 立, ①当 x=1 时,(*)显然成立,此时 a∈R; ②当 x≠1 时,(*)可变形为 a≤ ,令φ (x)= =
2

-6-

因为当 x>1 时,φ (x)>2,当 x<1 时,φ (x)>﹣2,所以φ (x)>﹣2,故此时 a≤﹣ 2.

综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a≤﹣2.????12 分
22.解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),其导数 f'(x)= ﹣a. ①当 a≤0 时,f'(x)>0,函数在(0,+∞)上是增函数; ②当 a>0 时,在区间(0, )上,f'(x)>0;在区间( ,+∞)上,f'(x)<0. ∴f(x)在(0, )是增函数,在( ,+∞)是减函数.??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,不可能有两个零点, 当 a>0 时,f(x)在(0, )上是增函数,在( ,+∞)上是减函数,此时 f( )为函 数 f(x)的最大值, 当 f( )≤0 时,f(x)最多有一个零点,∴f( )=ln >0,解得 0<a<1,

此时, <

,且 f( )=﹣1﹣ +1=﹣ <0,

f(

)=2﹣2lna﹣

+1=3﹣2lna﹣

(0<a<1),

令 F(a)=3﹣2lna﹣

,则 F'(x)=﹣

=

>0,∴F(a)在(0,1)上单调

2 递增,∴F(a)<F(1)=3﹣e <0,即 f(

)<0,

∴a 的取值范围是(0,1).??????8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知函数 f(x)在(0, )是增函数,在( ,+∞)是减函数.分析:∵ 0 ,∴ .只要证明:f( )>0 就可以得出结论.

下面给出证明:构造函数:g(x)=f( ﹣x)﹣f(x)=ln( ﹣x)﹣a( ﹣x)﹣(lnx﹣ax)

(0<x≤ ),则 g'(x)=

+2a=



函数 g(x)在区间(0, ]上为减函数.0<x1

,则 g(x1)>g( )=0,又 f(x1)=0,

-7-

于是 f( 由(1)可知

)=ln(

)﹣a( ,即

)+1﹣f(x1)=g(x1)>0.又 f(x2)=0, .??????12 分

-8-


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