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黑龙江省大庆市铁人中学2015-2016学年高一数学上期末试题


黑龙江省大庆市铁人中学 2015-2016 学年高一数学上期末试题
考试时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷(选择题 满分 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 A={1,2}, B={x|ax-2=0}, 若 B? A, 则实数 a 的所有可能值构成的集合为( ) 1 A.{1, } B.{1,2} C.{0,1,2} D.以上都不对 2 2.下列函数中,既是奇函数又存在零点的函数是 ( ) 3 A.y=sin x B.y=cos x C.y=ln x D.y=x +1 3. 下列说法正确的是 ( ) → → → → A.向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线 B.共线向量是在一条直线上的向量 C.长度相等的向量叫做相等向量 D.零向量长度等于 0 |sin α | cos α 4. 当 α 为第二象限角时, - 的值是 ( ) sin α |cos α | A.1 B.2 C. 0 D.-2 5.下面 4 个实数中,最小的数是 A. sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4 1 π π 6.已知 sin α cos α = 且 <α < ,则 cos α -sin α = ( ) 8 4 2 A.± 3 2 B.- 3 2 C. 3 2 D.不能确定

π 1 7.将函数 y=sin(x+ )图像上各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变),再将图像向右平 6 2 π 移 个单位长 3 度,那么所得图像的一条对称轴方程为( ) π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 2 4 8 4 8.已知实数 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b ? ? ? x ? b ?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? A.仅一个零点且位于区间 ? c, ?? ? 内 B.仅一个零点且位于区间 ? ??, a ? 内 C.有两个零点且分别位于区间 ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 D.有两个零点且分别位于区间 ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内 9.在同一个坐标系中画出函数 y=a 给图像中可能正确的是( )
x

(

)

,y=sin ax 的部分图像,其中 a>0 且 a≠1,则下列所

-1-

A

B

C

D 5 3 ,sin(α +β )= ,则 cos β 等于( 5 5 2 5 2 5 C. 或 25 5 D.

10.设 α 、β 都是锐角,且 cos α = 2 5 A. 25 2 5 B. 5

)

5 5 或 5 25

11. 已知函数 f(x)= ?

?| lg x |, ? x 6? , ? ? 2

0 ? x ? 10, x ? 10.
,若正实数 a,b,c,互不相等,且 f(a)=f(b)

=f(c),则 abc 的取值范围是( ) A. (1,10) B.(5,6)
2 2 2

C. (10,12)
2

D. (20,24)

12.已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? a ? 2? x ? a , g ? x ? ? ?x ? 2 ? a ? 2? x ? a ? 8 。设函数

? f ( x), f ( x) ? g ( x) ? g ( x), f ( x) ? g ( x) ,记 H1 ? x ? 的最小值为 H1 ? x ? ? ? , H2 ? x ? ? ? ? g ( x), f ( x) ? g ( x) ? f ( x), f ( x) ? g ( x)
A, H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B ? (
A. 16 B. ?16 ) C. a ? 2a ? 16
2

D. a ? 2a ? 16
2

第Ⅱ卷 (非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若一扇形的面积为 80π ,半径为 20 ,则该扇形的圆心角为________。 14.函数 y ? 2 ? a
x ?2

(a ? 0且a ? 1) 的图像必过定点 P , P 点的坐标为________。
π x,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 015) +f(2 016)=________。 3
-2-

15.设函数 f(x)=cos

16 . 若 函 数 f ? x ? ? = 。

2 2 s i nx (? 2

?
4

? ? )x? x2 ? 2

?

2

? 2

2

4c xo s
的 值 域 为 [m,n] , 则 m + n

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? log3 8 ? 2x ? x2 , g ( x) ? 4x ? 2x?2 ? 3 , (Ⅰ)求函数 f ( x) 定义域和值域; (Ⅱ)若函数 f(x)与函数 g(x)定义域相同,求函数 g(x)的值域。

?

?

18(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg?

? 20 ? ? a ? 为奇函数, ? x ? 10 ?

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)求不等式 f ( x) ? 0 的解集。

19(本小题满分 12 分) π π 2 2 已知在△ABC 中,0<A< ,0<B< ,sin A= ,tan(A-B)=- ,求: 2 2 10 11 (Ⅰ)tan B 的值; (Ⅱ)A+2B 的大小。

20(本小题满分 12 分) π π 2 ω x 已知函数 f(x)=sin(ω x+ )+sin(ω x- )-2cos ,x∈R(其中实数 ω >0), 6 6 2 (Ⅰ)求函数 f(x)的值域; π (Ⅱ) 若函数 y=f(x)的图像与直线 y=-1 的两个相邻交点间的距离为 , 求函数 y=f(x) 2 的单调增区间。 21(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=cos 2x+asin x( a ? R ) , (Ⅰ)若 a =6,求 f(x)的最大值及此时 x 的值; π π (Ⅱ)若函数 f (x)在区间 [ , ]上的最小值为 4,求实数 a 的值。 6 2

-3-

22(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=a(1 ? 2 x ?

1 ) , a 为常数且 a >0 , 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的图像与 x 轴围成的三角形的面积; (Ⅱ)若 x0 满足 f (f (x0 ))=x0 , 且 f (x0 ) ? x0 , 则称 x0 为函数 f (x) 的二阶周期点 , 如果

f (x) 有两
个二阶周期点 x1 ,x2 , 试确定 a 的取值范围。 数学试题参考答案 一、选择题 CADBDB ACDACB 二、填空题 2π 72°(或 ) 5 三、解答题
2 17、 解: (Ⅰ) 由 8 ? 2 x ? x ? 0 可得函数 f ( x) 定义域为(-2, 4), 值域为 (??,2] ; -----6 分

(2,3)

0

2

x (Ⅱ)设 t = 2 , t ? ( ,16) 原函数 g(x)转化为 y=t -4t+3,
2

1 4











g(x)









[



1



195)

------10 分 18、解: (Ⅰ)由奇函数定义域关于原点对称得 a =-1, 经验证, 此时 f ( x) 定义域为(-10, 10), 且有 f (? x) ? ? f ( x) , 故实数 a =-1; 分 (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) 定义域为(-10,10),故 f ( x) ? lg -----6

10 ? x ? lg(10 ? x) ? lg(10 ? x) 10 ? x
------12

? f ( x) ? 0 即 lg(10 ? x) ? lg(10 ? x) , 故不等式 f ( x) ? 0 的解集为(-10, 0)。


2 7 2 1 ,∴cos A= ,tan A= , 10 10 7 tan A-tan(A-B) 1 ∴ tan B = tan[A - (A - B)] = = (用其他方法解答的请酌情给分) 1+tan A?tan(A-B) 3 -----6 分 1 2tan B 3 tan A+tan 2B (Ⅱ) ∵tan B= , ∴tan 2B= 故 2B 也是锐角, ∴tan(A+2B)= 2 = , 3 1-tan B 4 1-tan A?tan 2B 19、解: (Ⅰ)∵A,B 是锐角,sin A=

-4-

=1. π π π 又 0<A< , 0<2B< , ∴0<A+2B< ? , ∴A+2B= 2 2 4 分 20、解: (Ⅰ)f(x)= = 2( 3 1 3 1 sin ω x+ cos ω x+ sin ω x- cos ω x-(cos ω x+1) 2 2 2 2 ------12

3 1 π sin ω x - cos ω x) - 1 = 2sin(ω x - ) - 1. 易得函数 f(x) 的值域为 [ - 3,1] ; 2 2 6 -----6 分 2π (Ⅱ)由题设条件及三角函数图象和性质可知,y=f(x)的周期为 π = π ,即 ω =2, ω π π π π π 所以 f(x)=2sin(2x- )-1, 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 解得 kπ - ≤x≤kπ 6 2 6 2 6 π + (k∈Z). 3 π π 所 以 函 数 y = f(x) 的 单 调 增 区 间 为 [kπ - , kπ + ](k ∈ Z) 6 3 ------12 分 2 21、解: f (x)=-2sin x+acos x+1,设 t=sin x, 2 (Ⅰ)原函数转化为 y=-2t +6t+1,t∈[-1,1], 故 t =1,即 x∈ ? x | x ? 2k? ?

? ?

?

? , k ? Z ? 时,函数有最大值为 5; 2 ?

-----6 分

1 2 (Ⅱ)原函数转化为 y=-2t +a t+1,t∈[ ,1],分类如下: 2 1 a ?1 ? 4 ,故符合题意的 a =7; (1)若 a ? 3, 当 t = 时, ymin ? 2 2 (2)若 a ? 3, 当 t =1 时, ymin ? a ?1 ? 4 ,此时不存在符合题意的实数 a ; 综上,符合题意的 a =7 ------12 分

22、解:(I)由题,函数 f ( x) 的图像与 x 轴交于(0,0) , (1,0) ,且有最大值为 a 故所求即为 1 a 2 ------4 分

(Ⅱ)分类讨论如下:

(1)当 0 ? a ?

? 4 a x, 1 ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? 2 2 ? ?4a (1 ? x),
2

1 x? , 2 1 x? . 2

所以 f ( f ( x)) ? x 只有一个解 x ? 0 ,又 f (0) ? 0 ,故 0 不是二阶周期点.

? x, 1 (2)当 a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? 2 ?1 ? x,

1 x? , 2 1 x? . 2
-5-

所以 f ( f ( x)) ? x 有解集 ? x | x ? 点都不是二阶周期点.

? ?

1? 1 ? ? , 又当 x ? 时 , f ( x) ? x , 故 ? x | x ? 2? 2 ?

1? ? 中的所有 2?

1 , 4a 2 ? 4 a x, 1 1 ? ?x? , 2 1 2 a ? 4 a x , 4a 2 (3)当 a ? 时,有 f ( f ( x)) ? ? ? 2 2 ?2a(1 ? 2a) ? 4a x, 1 ? x ? 4a ? 1 , ? 4 a 2 ? 4 a 2 x, 2 4a ? 4a ? 1 x? . 4a x?
所以 f ( f ( x)) ? x 有四个解 0,

2a 2a 4a 2 2a 2a )? , , ,又 f (0) ? 0, f ( , 2 2 1 ? 2a 1 ? 2a 1 ? 4a 1 ? 2a 1 ? 4a

2a 4a 2 2a 2a 4a 4a , f( ) ? , f ( ) ? , 故只有 是 f ( x ) 的二阶周期点, 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2 1 ? 4a 2
综 上 所 述 , 所 求

a













a?

1 2

------12 分

-6-


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