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2017届二轮复习 数列求和及综合应用 专题卷(全国通用)


一、选择题 1.[2016· 重庆测试]在数列{an}中,若 a1=2,且对任意正整数 m, k,总有 am+k=am+ak,则{an}的前 n 项和 Sn=( A.n(3n-1) C.n(n+1) 答案 解析 C 依题意得 an+1=an+a1,即有 an+1-an=a1=2,所以数列 n?n+3? B. 2 n?3n+1? D. 2 )

{an}是以 2 为首项、2 为公差的等差数列,an=2+2(n-1)=2n,Sn= n?2+2n? =n(n+1),选 C. 2 1 2. [2016· 郑州质检]正项等比数列{an}中的 a1、 a4031 是函数 f(x)=3 x3-4x2+6x-3 的极值点,则 log
6

a2016=( B.2 D.-1

)

A.1 C. 2 答案 解析 A

因为 f′(x)=x2-8x+6,且 a1、a4031 是方程 x2-8x+6=0
6

2 的两根,所以 a1· a4031=a2016 =6,即 a2016= 6,所以 log

a2016=1,

故选 A. 3.[2016· 太原一模 ]已知数列{an}的通项公式为 an=(-1)n(2n- nπ 1)· cos 2 +1(n∈N*),其前 n 项和为 Sn,则 S60=( A.-30 C.90 答案 解析 D 由题意可得,当 n=4k-3(k∈N*)时,an=a4k-3=1;当 n B.-60 D.120 )

=4k-2(k∈N*)时,an=a4k-2=6-8k;当 n=4k-1(k∈N*)时,an=a4k

-1

=1;当 n=4k(k∈N*)时,an=a4k=8k.∴a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=8, 4.某年“十一”期间,北京十家重点公园举行免费游园活动,北

∴S60=8×15=120.故选 D. 海公园免费开放一天, 早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园, 接下来的第一 个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人 出来,第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去, 到上午 11 时 30 分公 园内的人数是( A.211-47 C.213-68 答案 解析 B 由题意,可知从早晨 6 时 30 分开始,接下来的每个 30 分 ) B.212-57 D.214-80

钟内进入的人数构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,出来的人数 构成以 1 为首项,1 为公差的等差数列,记第 n 个 30 分钟内进入公园 的人数为 an, 第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn 则 an=4×2n-1, bn=n, 4?1-210? 10?1+10? 12 则上午 11 时 30 分公园内的人数为 S=2+ - =2 2 1-2 -57. 1 5. 已知曲线 C: y=x(x>0)及两点 A1(x1,0)和 A2(x2,0), 其中 x2>x1>0. 过 A1,A2 分别作 x 轴的垂线,交曲线 C 于 B1,B2 两点,直线 B1B2 与 x 轴交于点 A3(x3,0),那么( x3 A.x1, 2 ,x2 成等差数列 C.x1,x3,x2 成等差数列 答案 解析 A 1? ? 1? ? 由题意,得 B1,B2 两点的坐标分别为?x1,x ?,?x2,x ?. ? ? 1? 2? ) x3 B.x1, 2 ,x2 成等比数列 D.x1,x3,x2 成等比数列

1 1 所以直线 B1B2 的方程为 y=-x x (x-x1)+x , 1 2 1 令 y=0,得 x=x1+x2,

所以 x3=x1+x2, x3 因此,x1, 2 ,x2 成等差数列. 6.[2016· 江西南昌模拟]设无穷数列{an},如果存在常数 A,对于 任意给定的正数 ε(无论多小),总存在正整数 N,使得 n>N 时,恒有|an - A|<ε 成立,就称数列 {an} 的极限为 A. 则四个无穷数列:① {( - 1)n×2};
? 1 1 1 1 ? ②?1×3+3×5+5×7+?+?2n-1??2n+1??; ? ? ? ? 1 1 1 1 ? ③?1+2+22+23+?+2n-1?; ?

④{1×2+2×22+3×23+?+n×2n}, 其中极限为 2 的共有( A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 答案 解析 D

)

对于①, |an-2|=|(-1)n×2-2|=2×|(-1)n-1|, 当 n 是偶

数时,|an-2|=0;当 n 是奇数时,|an-2|=4,所以数列{(-1)n×2} 没有极限,所以 2 不是数列{(-1)n×2}的极限. 对于②,|an-2|
? 1 1 1 1 ? =?1×3+3×5+5×7+?+?2n-1??2n+1?-2? ? ?

1? ?1 1? ?1 1? 1?? =2??1-3?+?3-5?+?5-7?+?+
?? ? ? ? ? ? ? 1 1 ? ? 3 1 - ? ?-4?= + >1,所以对于正数 ε0=1,不存 ?2n-1 2n+1? ? 2 4n+2

在正整数 N,使得 n>N 时,恒有|an-2|<ε0 成立,即 2 不是数列
? 1 1 1 1 ? ? ? + + +?+ ?2n-1??2n+1??的极限. ?1×3 3×5 5×7 ? 1 1 1 1 ? 对 于 ③ , |an - 2| = ?1+2+22+23+?+2n-1-2? = ? ?

1? ? ?1×? ?1- n? ? ? 2 ?-2?= 2n,令 2n<ε,得 2 ? 1-1 ? 2 2 ? ? 所以 2 是数列

n>1-log2ε,所以对于任意给定的

正数 ε(无论多小), 总存在正整数 N, 使得 n>N 时, 恒有|an-2|<ε 成立,
? 1 1 1 1 ? ?1+ + 2+ 3+?+ n-1? 的极限. 2 2 2 2 ? ?

对于④,当 n≥2 时,|an-2|=|1×2+2×22+3×23+?+n×2n -2|=2×22+3×23+?+n×2n>1,所以对于正数 ε0=1,不存在正整 数 N,使得 n>N 时,恒有|an-2|<ε0 成立,即 2 不是数列{1×2+2×22 +3×23+?+n×2n}的极限. 综上所述,极限为 2 的数列共有 1 个. 二、填空题
2 2 7.[2016· 陕西质检二]已知正项数列{an}满足 an +1-6an=an+1an,

若 a1=2,则数列{an}的前 n 项和为________. 答案 解析 3n-1
2 2 ∵an ∴(an+1-3an)(an+1+2an)=0, ∵an>0, +1-6an=an+1an,

∴an+1=3an,∴{an}为等比数列,且公比为 3,∴Sn=3n-1. 8. [2016· 唐山统考]Sn 为等比数列{an}的前 n 项和, 若 2S4=S2+2, 则 S6 的最小值为________. 答案 解析 3 由题意得 2(a1+a1q+a1q2+a1q3)=a1+a1q+2, 整理, 得(a1

+a1q)(1+2q2)=2,即 S2· (1+2q2)=2.因为 1+2q2>0,所以 S2>0.又由 1 2S4=S2+2,得 S4=2S2+1.由等比数列的性质,得 S2,S4-S2,S6-S4 ?S4-S2?2 成等比数列,所以 (S4 - S2) = S2(S6 - S4) ,所以 S6 = S + S4 = 2
2

1 ? ? ?1- S2?2 2 ? ? S2

1 3 1 +2S2+1=4S2+S ≥2
2

3 1 3 1 S 2· = 3 ,当且仅当 S2 = ,即 4 S2 4 S2

2 3 S2= 3 时等号成立,所以 S6 的最小值为 3. 1 9. [2016· 武昌调研]设 Sn 为数列{an}的前 n 项和, Sn+2n=(-1)nan(n ∈N*),则数列{Sn}的前 9 项和为________. 答案 解析 341 -1024 1 1 因为 Sn + 2n = ( - 1)nan ,所以 Sn - 1 + n-1 = ( - 1)n - 1an - 2 1 1 Sn-Sn-1+2n- n-1=(-1)nan-(-1)n-1an-1, 2

1(n≥2),两式相减得

1 即 an-2n=(-1)nan+(-1)nan-1(n≥2), 1 1 当 n 为偶数时,an-2n=an+an-1,即 an-1=-2n, 1 此时 n-1 为奇数,所以若 n 为奇数,则 an=- n+1; 2 1 1 当 n 为奇数时,an-2n=-an-an-1,即 2an-2n=-an-1,所以 an
-1

1 1 = n-1,此时 n-1 为偶数,所以若 n 为偶数,则 an=2n. 2

?-2 ,n为奇数 所以数列{a }的通项公式为 a =? 1 ?2 ,n为偶数
n+1 n n n

1

所以数列{Sn}的前 9 项和为 S1+S2+S3+?+S9=9a1+8a2+7a3 +6a4+?+3a7+2a8+a9=(9a1+8a2)+(7a3+6a4)+?+(3a7+2a8)+
?1?5? 1 ? 2×?1-? ? ? 2 ? ?4? ? 1 1 1 1 1 341 a9=-22-24-26-28-210=- =- 1 1024. 1-4

三、解答题 n+1 1 10. [2016· 合肥质检 ]在数列{an}中,a1=2,an+1= 2n · an , n ∈

N*.
?an? (1)求证:数列? n ?为等比数列; ? ?

(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解 n+1 a n +1 1 a n (1)证明:由 an+1= 2n an 知 = ·, n+1 2 n
? ?

?an? 1 1 ∴? n ?是以2为首项,2为公比的等比数列. ?an? 1 1 (2)由(1)知? n ?是首项为2,公比为2的等比数列, ? ?

an ?1? n ∴ n =?2?n,∴an=2n,
? ?

1 2 n ∴Sn=21+22+?+2n,① 1 1 2 n 则2Sn=22+23+?+ n+1,② 2 n+2 1 1 1 1 1 n ①-②得2Sn=2+22+23+?+2n- n+1=1- n+1 , 2 2 n+2 ∴Sn=2- 2n . 11.[2015· 安徽高考]设 n∈N*,xn 是曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2)处 的切线与 x 轴交点的横坐标. (1)求数列{xn}的通项公式; 1 2 2 2 (2)记 Tn=x1 x3?x2 n-1,证明:Tn≥ 4n. 解 (1)y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1, 曲线 y=x2n+2+1 在点(1,2) 处的切线斜率为 2n+2, 从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1). 令 y=0,解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn=1- (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知
?1?2?3?2 ?2n-1?2 2 2 2 ? ? ? ? ?? ?. Tn=x1 x3?x2 = - n 1 ?2? ?4? ? 2n ?

1 n = . n+1 n+1

1 当 n=1 时,T1=4. 2n-1 2 ?2n-1? 2 ?= 当 n≥2 时, 因为 x2 2 n-1=?
? ? ? 2n ?
2

?2n?

?2n-1?2-1 2n-2 > = 2n = ?2n?2

n-1 n , n-1 1 ?1? 1 2 所以 Tn>?2?2×2×3×?× n =4n.
? ?

1 综上可得对任意的 n∈N*,均有 Tn≥4n. 1 12.[2016· 河南开封质检]已知数列{an}满足 a1=1,an+1=1-4a ,
n

其中 n∈N*. (1)设 bn= 项公式; 4an (2)设 cn= , 数列{cncn+2}的前 n 项和为 Tn, 是否存在正整数 m, n+1 1 使得 Tn< 对于 n∈N*恒成立?若存在,求出 m 的最小值;若不存 cmcm+1 在,请说明理由. 解 = 2 2 (1)∵bn+1-bn= - 2an+1-1 2an-1 2 2 - 1 ? ? 2an-1 2?1-4a ?-1 ? n? 4an 2 - =2(常数), 2an-1 2an-1 2 ,求证:数列{bn}是等差数列,并求出{an}的通 2an-1



∴数列{bn}是等差数列. ∵a1=1,∴b1=2, 因此 bn=2+(n-1)×2=2n, n+1 2 由 bn= 得 an= 2n . 2an-1

(2)由 cn=

n+1 4an 2 ,an= 2n 得 cn=n, n+1
?1 1 ? 4 =2?n-n+2?, n?n+2? ? ?

∴cncn+2= ∴ Tn



2

? 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1- + - + - +?+ - 3 2 4 3 5 n n+2? ? ?



? 1 1 1 ? 2?1+2-n+1-n+2?<3, ? ?

依题意要使 Tn< m?m+1? ≥3, 4

1 1 对于 n ∈ N* 恒成立,只需 ≥3 ,即 cmcm+1 cmcm+1

解得 m≥3 或 m≤-4,又 m 为正整数,所以 m 的最小值为 3.

典题例证 [2016· 山东高考]已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2+8n,{bn}是等 差数列,且 an=bn+bn+1. (1)求数列{bn}的通项公式; ?an+1?n+1 (2)令 cn= .求数列{cn}的前 n 项和 Tn. ?bn+2?n 切入点 依据 an 与 Sn 的关系可求 an,进而求出 审题过程 bn 的通项. 关注点 先化简数列 cn,然后依据其结构特征采 取错位相减求和. [规范解答] (1)由题意知当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n+5, 当 n=1 时,a1=S1=11,

所以 an=6n+5. 设数列{bn}的公差为 d,
? ?a1=b1+b2, 由? ?a2=b2+b3, ? ?11=2b1+d, ? 得? ? ?17=2b1+3d,

可解得 b1=4,d=3. 所以 bn=3n+1. ?6n+6?n+1 (2)由(1)知 cn= =3(n+1)· 2n+1. ?3n+3?n 又 Tn=c1+c2+?+cn, 所以 Tn=3×[2×22+3×23+?+(n+1)×2n+1], 2Tn=3×[2×23+3×24+?+(n+1)×2n+2], 两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+?+2n+1-(n+1)×2n+2]
? ? 4?1-2n? -?n+1?×2n+2?=-3n· =3×?4+ 2n+2,所以 Tn=3n· 2n+2. 1-2 ? ?

模型归纳 求数列的通项公式及前 n 项和的模型示意图如下:


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