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高中数学北师大版必修5同步精练:1.3.1等比数列 含答案

第一课时 基础巩固 1 下列说法中正确的是( ) A.一个数列每一项与它的前一项的比都等于常数,这个数列就叫等比数列 B.一个数列每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这个数列就叫等 比数列 C.一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于常数,这个数列 就叫等比数列 D.一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这 个数列就叫等比数列 2 公差不为零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S8=32,则 S10 等于( A.18 ) B.24 C.60 D.90 3 设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数 列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=__________. 4 已知数列{an}满足:lgan=3n+5,求证:{an}是等比数列. 5 在等比数列{an}中, (1)已知 a3=9,a6=243,求 a5; 9 1 2 (2)已知 a1= ,an= ,q= ,求 n. 8 3 3 6 某厂生产微机,原计划第一季度每月增加台数相同,在生产过程中,实际 上二月份比原计划多生产 10 台,三月份比原计划多生产 25 台,这样三个月产量 成等比数列.而第 3 个月的产量是原计划第一季度总产量的一半少 10 台,问该 厂第一季度实际生产微机多少台? 综合过关 7 已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的第 1、5、17 项顺次成等比数列,则 这个等比数列的公比是( A.4 B.3 ) C.2 D. 1 2 8 设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an} 的前 n 项和 Sn 等于( n2 7n A. + 4 4 n2 3n C. + 2 4 ) n2 5n B. + 3 3 D.n2+n 9 首项为 3 的等比数列{an},它的第 n 项为 48,第 2n-3 项为 192,问从第 几项起各项的绝对值都超过 100? 10 设关于 x 的一元二次方程 anx2-an+1x+1=0(n∈N+)有两根 α,β,且满足 6α-2αβ+6β=3. (1)试用 an 表示 an+1; 2 (2)求证:{an- }是等比数列; 3 7 (3)当 a1= 时,求数列{an}的通项公式. 6 能力提升 11 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= (n∈N+),求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比 n 数列. 12 已知数集 A={a1,a2,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质 P:对 aj 任意的 i,j(1≤i≤j≤n),aiaj 与 两数中至少有一个属于 A. ai (1)分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质 P,并说明理由; (2)证明:a1=1,且 a1+a2+…+an 1 -1=an; a +a- 2 +…+an -1 1 (3)证明:当 n=5 时,a1,a2,a3,a4,a5 成等比数列. 参考答案 1 解析:很明显仅有 D 符合等比数列的定义. 答案:D 2 解析:由 a2 4=a3a7,则 ??a +3d? =?a +2d??a +6d?, ?8a +56d=32, 2 ? 2 1 1 1 1 解得 d=2,a1=-3,所以 S10=10a1+ 答案:C 90 d=60. 2 3 解析:{an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,但仅有四项- 3 24,36,-54,81 成等比数列,公比为 q=- ,6q=-9. 2 答案:-9 4 分析:利用等比数列的定义证明 an+1 =q(常数). an 证明:由 lgan=3n+5,得 an=103n+5, ∴ an+1 103?n+1?+5 = =1 000=常数. an 103n+5 ∴{an}是等比数列. 5 分析:由已知条件列出关于 a1,q 的方程(或方程组),或有关量的方程(或 方程组). 1 解:(1)∵a6=a3q3,∴q3=27.∴q=3.∴a5=a6· =81. 3 1 9 2 n-1 (2)∵an=a1qn-1,∴ = · ( ) . 3 8 3 2 2 ∴( )n-1=( )3.∴n=4. 3 3 6 分析:可根据等差数列、等比数列的条件列出方程组得出所求. 解:根据已知,可设该厂第一季度原计划 3 个月生产微机台数分别为 x-d, x,x+d(d>0), 则实际上这 3 个月生产微机台数分别为 x-d,x+10,x+d+25, ??x+10? =?x-d??x+d+25?, 由题意得? 3x x+d+25= -10, 2 ? 2 解得 x=90,d=10. 则该厂第一季度实际生产微机 (x-d)+(x+10)+(x+d+25)=3x+35=3×90+35=305(台). 7 解析:设公差为 d,则 a2 5=a1a17, 即(a1+4d)2=a1(a1+16d),整理,得 a1=2d. a5 a1+4d 2d+4d 所以 = = =3. a1 a1 2d 答案:B 2 8 解析:a2 3=a1a6,设数列{an}的公差为 d,则(2+2d) =2(2+5d),解得 d 1 n?n-1? 1 n2 7n = 或 d=0(舍去),所以数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+ × = + . 2 2 2 4 4 答案:A 9 解:设公比为 q,则 n-1 ?3q =48, ? 2n-4 ?3q =192, n-1 ?q =16, 即? 2n-4 ?q =64. ① ② ①2÷ ②得 q2=4, ?q=2, ∴? ?n=5, ?q=-2, 或? ?n=5. ∴由|an|=3×2n-1>100,得

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