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2016-2017学年高中数学配套练习2.3.2平面与平面垂直的判定.doc


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2.3.2

平面与平面垂直的判定

【课时目标】 1.掌握二面角的概念,二面角的平面角的概念,会求简单的二面角的 大小.2.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理判定两个平面垂直.

1.二面角:从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面 角.________________叫做二面角的棱.________________________叫做二面角的面. 2.二面角的平面角

如图:在二面角 α-l-β 的棱 l 上任取一点 O,以点 O 为________,在半平面 α 和 β 内 分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB,则射线 OA 和 OB 构成的________叫做二面角的平面 角. 3.平面与平面的垂直 (1)定义:如果两个平面相交,且它们所成的二面角是 ________________,就说这两个 平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理 文字语言:一个平面过另一个平面的 ________ ,则这两个平面垂直.符号表示: a⊥β
? ? ?? α⊥β. ? ?

一、选择题 1.下列命题: ①两个相交平面组成的图形叫做二面角; ②异面直线 a、b 分别和一个二面角的两个面垂直,则 a、b 组成的角与这个二面角的平 面角相等或互补; ③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角; ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. 其中正确的是( A.①③ ) B.②④ C.③④ D.①②

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2.下列命题中正确的是(

)

A.平面 α 和 β 分别过两条互相垂直的直线,则 α⊥β B.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内两条平行线,则 α⊥β C.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内两条相交直线,则 α⊥β D.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内无数条直线,则 α⊥β 3.设有直线 M、n 和平面 α、β,则下列结论中正确的是( ①若 M∥n,n⊥β,M? α,则 α⊥β; ②若 M⊥n,α∩β=M,n? α,则 α⊥β; ③若 M⊥α,n⊥β,M⊥n,则 α⊥β. A.①② B.①③ C.②③ ) D.①②③ )

4.过两点与一个已知平面垂直的平面( A.有且只有一个 C.有且只有一个或无数个

B.有无数个 D.可能不存在

5.在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,把菱形沿对角线 AC 折起,使折起后 BD= 3 ,则二面角 B-AC-D 的余弦值为( 2 1 B. 2 2 2 C. 3 ) D. 3 2

1 A. 3

6.在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论中 不成立的是( ) B.DF⊥面 PAE D.面 PAE⊥面 ABC

A.BC∥面 PDF C.面 PDF⊥面 ABC

二、填空题 7.过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 AP⊥平面 ABCD,且 AP=AB,则平面 ABP 与平 面 CDP 所成的二面角的度数是________. 8.如图所示,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,图中互相垂直的平面有________对.

9.已知 α、β 是两个不同的平面,M、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个 论断: ①M⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④M⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: ________________.
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三、解答题 10.如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、 DA 和对角线 AC 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 BGD.

11.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60° ,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3. (1)证明:平面 PBE⊥平面 PAB; (2)求二面角 A—BE—P 的大小.

能力提升 12.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E、F 分别是 A1B、A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C. 求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.
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13.如图,在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB,∠ABC=60° ,∠BCA= 90° ,点 D、E 分别在棱 PB、PC 上,且 DE∥BC. (1)求证:BC⊥ 平面 PAC. (2)是否存在点 E 使得二面角 A—DE—P 为直二面角?并说明理由.

1.证明两个平面垂直的主要途径 (1)利用面面垂直的定义,即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平 面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直. (2)面面垂直的判定定理,即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平 面互相垂直. 2.利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法:先从现有的直线中寻找平面 的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的
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直线, 则可通过作辅助线来解决, 而作辅助线则应有理论依据并有利于证明, 不能随意添加. 3.证明两个平面垂直,通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的,因 此,在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直 的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直,最终达到目的的.

2.3.2 平面与平面垂直的判定 答案

知识梳理 1.两个半平面 这条直线 这两个半平面 2.垂足 ∠AOB 3.(1)直二面角 作业设计 1. B 选 B.] 2.C 3.B 线垂直.] 4.C [当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直,当两点连线与平面 [②错,当两平面不垂直时,在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交 [①不符合二面角定义, ③从运动的角度演示可知, 二面角的平面角不是最小角. 故 (2)垂线 a? α

不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直.] 5.B [

如图所示,由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角. ∵DO=OB=BD= ∴∠BOD=60° .] 6.C [ 3 , 2

如图所示,∵BC∥DF,
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∴BC∥平面 PDF. ∴A 正确. 由 BC⊥PE,BC⊥AE, ∴BC⊥平面 PAE. ∴DF⊥平面 PAE. ∴B 正确. ∴平面 ABC⊥平面 PAE(BC⊥平面 PAE). ∴D 正确.] 7.45° 解析 可将图形补成以 AB、AP 为棱的正方体,不难求出二面角的大小为 45° . 8.5 解析 由 PA⊥面 ABCD 知面 PAD⊥面 ABCD,面 PAB⊥面 ABCD, 又 PA⊥AD,PA⊥AB 且 AD⊥AB, ∴∠DAB 为二面角 D—PA—B 的平面角, ∴面 DPA⊥面 PAB.又 BC⊥面 PAB, ∴面 PBC⊥面 PAB,同理 DC⊥面 PDA, ∴面 PDC⊥面 PDA. 9.①③④? ②(或②③④? ①) 10.证明 ∵AB=BC,CD=AD,G 是 AC 的中点, ∴BG⊥AC,DG⊥AC, ∴AC⊥平面 BGD. 又 EF∥AC,∴EF⊥平面 BGD. ∵EF? 平面 BEF,∴平面 BEF⊥平面 BGD. 11.(1)证明 如图所示,连接 BD,由 ABCD 是菱形且∠BCD=60° 知,△ BCD 是等边 三角形. 因为 E 是 CD 的中点,所以 BE⊥CD.

又 AB∥CD,所以 BE⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABCD, BE? 平面 ABCD, 所以 PA⊥BE.而 PA∩AB=A,
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因此 BE⊥平面 PAB. 又 BE? 平面 PBE, 所以平面 PBE⊥平面 PAB. (2)解 由(1)知,BE⊥平面 PAB,PB? 平面 PAB,

所以 PB⊥BE.又 AB⊥BE, 所以∠PBA 是二面角 A—BE—P 的平面角. 在 Rt△ PAB 中,tan∠PBA= PA = 3,则∠PBA=60° . AB

故二面角 A—BE—P 的大小是 60° . 12.证明 (1)由 E、F 分别是 A1B、A1C 的中点知 EF∥BC. 因为 EF?平面 ABC. BC? 平面 ABC. 所以 EF∥平面 ABC. (2)由三棱柱 ABC—A1B1C1 为直三棱柱知 CC1⊥平面 A1B1C1. 又 A1D? 平面 A1B1C1,故 CC1⊥A1D. 又因为 A1D⊥B1C,CC1∩B1C=C,故 A1D⊥平面 BB1C1C,又 A1D? 平面 A1FD,所以 平面 A1FD⊥平面 BB1C1C. 13.(1)证明 ∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥BC. 又∠BCA=90° , ∴AC⊥BC. 又∵AC∩PA=A,∴BC⊥平面 PAC. (2)解 ∵DE∥BC,又由(1)知,

BC⊥平面 PAC, ∴DE⊥平面 PAC. 又∵AE? 平面 PAC,PE? 平面 PAC, ∴DE⊥AE,DE⊥PE. ∴∠AEP 为二面角 A—DE—P 的平面角. ∵PA⊥底面 ABC, ∴PA⊥AC,∴∠PAC=90° . ∴在棱 PC 上存在一点 E, 使得 AE⊥PC. 这时∠AEP=90° , 故存在点 E,使得二面角 A—DE—P 为直二面角.

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