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第7课时双曲线的简单几何性质

第 7 课时

双曲线的简单几何性质
基础达标(水平一 )

1.双曲线 9y2-16x2=144 的渐近线方程为(

).

A.y= x C.y=± x

B.x= y D.x=± y

【解析】令 9y2-16x2=0,可得渐近线方程为 y=± x. 【答案】C 2.若双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r 等于( A. B.2 C.3 D.6 ).

【解析】由题可知,双曲线的渐近线方程为 y=± x,圆的圆心为(3,0). 由题意得圆心到渐近线的距离等于圆的半径 r,即 r= 【答案】A 3.对于方程 -y2=1 和 -y2=λ(λ>0 且 λ≠1)所分别表示的双曲线有如下结论:

=

=

.

①有相同的顶点;②有相同的焦点; ③有相同的离心率;④有相同的渐近线.
其中正确结论的序号是( A.①④ B.②④ ). C.③④ D.②③ ;对于方程 -y2=λ,a'=2 ,b'= ,c'= ·

【解析】对于方程 -y2=1,a=2,b=1,c=

.显然 a',b',c'分别是

a,b,c 的

倍,因此有相同的离心率和渐近线.

【答案】C 4.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线可能是( ).

【解析】 由题意,方程可化为 y=mx+n 和 + =1,B,D 选项中,两椭圆中 m>0,n>0,但直线中 m<0,矛盾;A 选项 中,双曲线中 n>0,m<0,但直线中 m>0,矛盾;C 选项中,双曲线中 m>0,n<0,直线中 m>0,n<0,符合.故选 C. 【答案】C

5.已知双曲线 E: - =1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点分别为双曲线 E 的两个 焦点,且 2|AB|=3|BC|,则双曲线 E 的离心率是

.
,B ,所以|AB|= ,|BC|=2c,由

【解析】假设点 A 在第一象限,点 B 在第二象限,则 A

2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2 得离心率 e=2 或 e=- (舍去),所以双曲线 E 的离心率为 2. 【答案】2 6.已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),A,B 是圆(x+c)2+y2=4c2 与双曲线 C 位 于 x 轴上方的两个交点,且 F1A∥F2B,则双曲线 C 的离心率为 【解析】

.

由双曲线定义得 AF2=2a+2c,BF2=2c-2a,因为 F1A∥F2B,所以 cos∠F2F1A=-cos∠F1F2B, 再利用余弦定理得

=-

-

-

,

化简得 2e2-3e-1=0,又 e>1,所以 e= 【答案】

.

7.已知双曲线的中心在原点,离心率为 2,一个焦点 F 是(-2,0). (1)求双曲线的方程; (2)设 Q 是双曲线右支上一点,且过点 F,Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M,若| 【解析】(1)由题意可设所求的双曲线方程为 - =1(a>0,b>0),

|=|

|,求直线 l 的方程.

∵e= =2,c=2,∴a=1,∴b=

,

∴所求的双曲线方程为 x2- =1.
(2)设双曲线的右焦点为 F1(2,0),则 F1Q⊥x 轴,

∴Q 点的坐标为(2,3)或(2,-3), ∴直线 l 的方程为 3x+4y+6=0 或 3x-4y+6=0.

拓展提升(水平二)

8.已知离心率为 e 的双曲线和离心率为 的椭圆有相同的焦点 F1,F2,P 是两曲线的一个公共点,若∠F1PF2= , 则 e 等于( A. B. ). C. D.3

【解析】由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2

c?|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=8c2,由余弦定理可得

|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2,
从而解得|PF1||PF2|= c2?(|PF1|-|PF2|)2=8c2【答案】A 9.中心在坐标原点,离心率为 的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为( A.y=± x C.y=± x D.y=± x B.y=± x ). ?4a2= ? = ?e= .故选 A.

【解析】∵ = ,∴ =

= ,∴ = ,

∴ = , = .
又∵双曲线的焦点在 y 轴上,

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,
故所求双曲线的渐近线方程为 y=± x. 【答案】D 10.已知双曲线 - =1(b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x,点 P( 则 · ,y0)在双曲线上,

=

.

【解析】由渐近线方程为 y=x 知, =1, 即 b= , ,y0)在双曲线上,所以 y0=±1. ,1),F1(-2,0),F2(2,0),

因为点 P(

当 y0=1 时,P( 所以 ·

=0;
,-1), ·

当 y0=-1 时,P(

=0 .

【答案】0 11.已知双曲线 C: -y2=1,P 是 C 上的任意一点. (1)求证:点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)若点 A 的坐标为(3,0),求|PA|的最小值. 【解析】(1)设 P(x1,y1)是 C 上任意一点, 由题可知,双曲线的两条渐近线方程分别是 x-2y=0 和 x+2y=0. 所以点 P(x1,y1)到两条渐近线的距离分别是 所以
-



,

·

=

-

=.

故点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)由点 A 的坐标(3,0),得|PA|2=(x1-3)2+ 又点 P 在双曲线上,所以|x1|≥2, 故当 x1= 时,|PA|2 的最小值为 , 即|PA|的最小值为

=(x1-3)2+ -1=

-

+ .

.


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