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2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题4.3 三角函数的图像与性质含解析


2015 年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷 第四章 三角函数解三角形 第 03 节 三角函数的图象与性质

一、选择题
1.【景德镇市 2014 届高三第一次质检试卷】若函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin 2 x ? sin 2 x ,则 f ( x) 是( A.最小正周期为 )

? 的奇函数 2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为 ? 的偶函数

C.最小正周期为 2 ? 的偶函数

2. 已知函数 f ( x) ? sin ? ? x ?

? ?

?? ? (? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象( ??
B.关于直线 x ?



A.关于点 ? , 0 ? 对称

?? ?? ?? ??

? ? ? ?

? 对称 ? ? 对称 ?

C.关于点 ? , 0 ? 对称

D.关于直线 x ?

n s i( 2 3. ( 福建省龙岩市 2014 届高三上学期期末)将函数 ( f x) =2
若所得的图象关于直线 x= A.

x )?

?
6

的图象向左平移 m 个单位 (m>0) ,

? 12

B.

? 6

? 对称,则 m 的最小值为( ) 6 ? ? C. D. 4 3

【答案】B 【解析】将 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

) 的图象向左平移 m 个单位,得函数 g ( x) ? 2sin(2 x ? 2m ? ) 的图象,则 6 6

?

1

由题意得 2 ?

?
6

? 2m ?

?
6

? k? ?

?
2

(k∈Z), 即有 m ?

1 ? ? k? ? mmin ? . (k∈Z), ∵m>0, ∴当 k=0 时, 2 6 6

4. 【2014 高考天津卷第 8 题】已知函数 f ( x) ? 3sin ?x ? cos ?x(? ? 0), x ? R. 在曲线 y ? f ( x) 与直线

y ? 1 的交点中,若相邻交点距离的最小值为
A.

? 2

B.

2? 3

? ,则 f ( x ) 的最小正周期为( 3



C. ?

D. 2?

5. 【广东省揭阳市 2013 届高三 3 月第一次高考模拟】当 x ? 最小值,则函数 y ? f (

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得

3? ? x) 4

(

) B.是偶函数且图像关于点 (? , 0) 对称 D.是偶函数且图像关于直线 x ? ? 对称

A.是奇函数且图像关于点 (

?

2

, 0) 对称

C.是奇函数且图像关于直线 x ? 【答案】C 【解析】依题意可得 y ? f (

?
2

对称

3? ? x) ? ? A sin x ,故选 C. 4

6.【改编题】已知命题 p :函数 f ( x) ? sin x 的最小正周期为 2? ;命题 q :若函数 f ( x ? 1) 为偶函数,则

f ( x) 关于 x ? 1 对称.则下列命题是真命题的是(
A. p ? q B. p ? q

) D. p ? (?q)

C. (?p) ? (?q)

7. (山东省威海市 2014 届高三 3 月模拟考试)已知函数 f ( x) ? sin 2 x 向左平移

?
6

个单位后,得到函数

y ? g ( x) ,下列关于 y ? g ( x) 的说法正确的是(

)

2

(A)图象关于点 ( ? (C)在区间 [?

?
3

, 0) 中心对称

(B)图象关于 x ? ? (D)在 [ ?

?
6

轴对称

5? ? , ? ] 单调递增 12 6

? ?

, ] 单调递减 6 3

8.

(山东省烟台市高三 3 月统一质量检测)函数 y ? x sin x 在 ?? ? , ? ? 上的图象是(



9. 【原创题】函数 f ( x) 是 R 上的增函数且 f (sin ? ) ? f (? cos? ) ? f (? sin ? ) ? f (cos? ) ,其中 ? 是锐 角,并且使得函数 g ( x) ? sin(?x ? A. (

? 5

, ] 4 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是( 2 4 5 ? 1 ? 1 5 B. [ , ) C. [ , ) D. [ , ] 4 4 2 4 2 4

?

?



【答案】A 【解析】因为函数 f ( x ) 是 R 上的增函数,构造函数 F ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) , 所以 F ( x ) 也是增函数.而 F (sin ? ) ? F (cos ? ) ,? sin ? ? cos ? , ? ? ?

?? ? ? , ?. ?4 2?

3

10.【原创题】将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图象向左平移 单调递增区间是( A. (k? ? ) B. (k? , k? ?

? 个长度单位,得到函数 g ( x) 的图象,则 g ( x) 的 4

?

2 ? ? C. (k? ? , k? ? )(k ? Z ) 4 4

, k? )(k ? Z )

?
2

)(k ? Z )
D. (k? ?

?
4

, k? ?

3? )(k ? Z ) 4

二、填空题
11. 函数 y ? tan(

?
2

x?

?
3

) 的定义域是

.

【答案】 ? x | x ? 2k ? , k ? Z ?

? ?

1 3

? ?

【解析】由正切函数的定义域可得,

?
2

x?

?
3

?

?

1 ? k? ? k ? Z ? ,即 x ? 2k ? , k ? Z . 2 3

4

12. (山东省威海市 2014 届高三 3 月模拟考试)若函数 y ? cos 2x ? 3 sin 2x ? a 在 ? 0, 零点,则实数 a 的取值范围为_________________.

? ?? 上有两个不同的 ? 2? ?

13. 【原创题】已知 f ( x) ? cos 点 .

3x x 3x x ?? ? cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 当 x ? ? , ? ? ,则函数 f ( x) 的零 2 2 2 2 ?2 ?

三、解答题
14. 【原创题】设函数 f ? x ? ?

?? ? 2 cos x sin ? x ? ? 4? ?

(1)求 f ?

?? ? ? 的值与函数 f ? x ? 的最小正周期; ?3?

5

(2)若 x ? ?0,

? ?? ,求 f ( x ) 的单调减区间. ? 2? ?

15. 【2014 高考天津第 15 题】已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? (Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ?

? ?

??

3 2 , x?R . ? ? 3 cos x ? 3? 4

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?

6

(Ⅱ)∵ f ( x ) 在区间 犏 - ,-

轾p 犏 臌4

轾p p 骣 p÷ p 1 上是减函数,在区间 犏 , 上是增函数, f ? - ÷ =- , ? ÷ ? 犏 桫4 12 4 臌12 4

骣 p÷ 1 f? =- , ÷ ? ÷ ? 桫 12 2

骣 轾p p 1 1 p÷ 1 ,∴函数 f ( x ) 在闭区间 犏 f? = - , 上的最大值为 ,最小值为 - . ÷ ? ÷ ? 犏 桫 4 2 4 4 臌4 4

16. 【景德镇市 2014 届高三第一次质检试卷】已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (1)求 a 的值及 f ( x ) 的最小正周期; (2)在坐标纸上做出 f ( x ) 在 [0?,?? ] 上的图像.

?
6

) ? a 的最大值为 2.

(2)列表

2x ?

? 6

? 6
0
1

x

? 2 ?
6
2

?
5? 12
0

3? 2 2? 3
?2

2?

11? 12
0

13? 6

?
1

?? ? f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
画图如下:

7

备选素材:
1. 设 f ( x ) ? sin( x ? 值为( (A) ).

?
4

), 若在 x ? [0,2? ) 上关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不等的实根 x1 , x 2 , 则 x1 ? x 2 的

? 5? 或 2 2

(B)

? 3? 或 2 2

(C)

3? 2

(D)

? 2

2. 数列 {an } 满足 an ? (2n ? 1) ? sin( A. ?2015 B. ?2014

?
2

? n? ) ,则它的前 2014 项和等于(
C.2014

) D.2015

3. (山东省淄博市 2014 届高三上学期期末考试)已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x , 则下列结论正确的是( )

0) 成中心对称 A.两个函数的图象均关于点 (? ,
B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 ( ?

π 4

? 对称 4

? ?

, ) 上都是单调递增函数 4 4

8

D.可以将函数②的图像向左平移

? 个单位得到函数①的图像 4

4. 【陕西省西工大附中 2014 届高三下学期第八次适应性训练】已知函数

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |?
( )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且满足 f (? x) ? f ( x) ,则

(A) f ( x) 在 (0, (C) f ( x) 在 (0,

? ?
2 2

) 上单调递减 ) 上单调递增

( B) f ( x ) 在 (

) 上单调递减 4 ? 3? ) 上单调递增 ( D) f ( x ) 在 ( , 4 4 4

? 3?
,

5. 【2014 年上海市高三年级十三校第二次联考数学(理科)试卷】若关于 x 的方程 sin 2 x ? cos 2 x ? k 在区 间 ? 0,

? ?? 上有两个不同的实数解,则 k 的取值范围为 ? 2? ?

9

6. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级第一次模拟考试】函数 y ? log3 (2cos x ? 1) , x ? (? 域是 .

2? 2? , ) 的值 3 3

7. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷】设ω >0,若函数 f ( x) ? 2sin ? x 在

[?

? ?

, ] 上单调递增,则ω 的取值范围是_________. 3 4

8. 【2014 高考江苏卷第 5 题】已知函数 y ? cos x 与函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,它们的图像有一个 横坐标为

? 的交点,则 ? 的值是 3

.

9. 已知向量: a ? (2 cos x,1) , b ? cos x , 3 sin 2 x ,函数 f ( x) ? a ? b . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求 y ? f ? x ? 的对称轴并作出 y ? f ? x ? 在 ? ?

?

?

?

? ?

? ? ? , ? ? 的图象. ? 6 ?

10

10

【2014 高考江西理第 16 题】已知函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? a cos( x ? 2? ) ,其中 a ? R, ? ? (?

? ?

(1)当 a ?

2, ? ?

?
4

, ) 2 2

时,求 f ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的最大值与最小值;

(2)若 f ( ) ? 0, f (? ) ? 1 ,求 a, ? 的值.

?

2

11. 【高考冲刺关门卷新课标全国卷】已知向量 m ? (cos 2 x, a), n ? (a, 2 ? 3 sin 2 x) ,函数

?

?

f ( x) ? m? n ? 5(a ? R, a ? 0)
(Ⅰ) 当函数 f ( x)在[0, ] 上的最大值为 3 时,求 a 的值;

? ?

?

2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的 t ? R ,函数 y ? f ( x), x ? (t , t ? b] 的图像与直线 y ? ?1 有且仅有两个

11

不同的交点,试确定 b 的值,并求函数 y ? f ( x)在(0, b] 上的单调递减区间.

12


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