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2015-2016学年高中数学 1.1.1 正弦定理课时训练 新人教A版必修5


课时训练 1
一、正弦定理变形的应用

正弦定理

1.在△ABC 中,若角 A,B,C 对应的三边分别是 a,b,c,则下列各式一定成立的是( A. C.asin B=bcos A 答案:B 解析:在△ABC 中,由正弦定理得,即. B. D.a=bsin A

)

2.(2015 山东威海高二期中,4)已知△ABC 的三个内角之比为 A∶B∶C=3∶2∶1,那么对应的三边之 比 a∶b∶c 等于( A.3∶2∶1 C.∶1 答案:D 解析:∵A∶B∶C=3∶2∶1,∴B=2C,A=3C,再由 A+B+C=π ,可得 C=,故 A=,B=,C=. ) B.∶2∶1 D.2∶∶1

∴a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶=2∶∶1.故选 D.
3.在△ABC 中,A=60°,a=3,则等于( A. C. 答案:D 解析:利用正弦定理及比例性质,得 B. D.2 )

=2.
二、利用正弦定理解三角形 4.(2015 山东潍坊四县联考,2)在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等于( A.4 答案:A 解析:∵B=60°,C=75°, B.4 C.4 D. )

∴A=180°-60°-75°=45°. ∴由正弦定理可得 b==4.
故选 A. 5.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a=,b=,B=60°,那么 A=( A.45° C.45°或 135° 答案:A 解析:由正弦定理可得 sin A=,但 a<b,所以 A<B,故 A 只能是锐角 45°. 6.(2015 河南南阳高二期中,2)在△ABC 中,A=30°,AB=4,满足此条件的△ABC 有两解,则边 BC 长度 的取值范围为( ) B.135° D.60° )

1

A.(2,4) C.(4,+∞) 答案:B

B.(2,4) D.(2,4)

解析:∵满足条件的△ABC 有两解,

∴ABsin 30°<BC<4. ∴2<BC<4,故选 B.
7.在△ABC 中,a=,b=,B=45°,则 A= 答案:60°或 120° 解析:由正弦定理,得 sin A=.

.

∵a>b,∴A=60°或 A=120°.
8.在△ABC 中,已知 a=5,B=120°,C=15°,求此三角形最大的边长. 解:∵B=120°,C=15°,

∴A=180°-B-C=180°-120°-15°=45°. ∵B 最大,∴b 最大.
由正弦定理,得

b=.
9.在△ABC 中,已知 a=2,c=,C=,求 A,B,b. 解:∵,∴sin A=.

∵c>a,∴C>A.∴A=. ∴B=,b=+1.
三、判断三角形形状 10.(2015 河北邯郸三校联考,7)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos

B=asin A,则△ABC 的形状为(
A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案:B 解析:∵bcos C+ccos B=asin A, D.不确定

)

B.直角三角形

∴由正弦定理可得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,
即 sin(B+C)=sin Asin A,可得 sin A=1, 故 A=,故三角形为直角三角形. 故选 B. 11.在△ABC 中内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2ccos A,c=2bcos A,则△ABC 的形状为 ( ) B.锐角三角形 D.等腰直角三角形 A.直角三角形 C.等边三角形 答案:C 解析:由 b=2ccos A,根据正弦定理, 得 sin B=2sin Ccos A,

2

∵在三角形中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
代入上式,可得 sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A, 即 sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0, 又-π <A-C<π ,

∴A-C=0,即 A=C.
同理 A=B,∴△ABC 为等边三角形,故选 C. 12.(2015 山东威海高二期中,7)在△ABC 中,若,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案:C 解析:∵, )

∴,
可化为, 即 sin=sin=sin.

∵A,B,C 均为三角形的内角, ∴A=B=C.
即△ABC 为等边三角形.故选 C.

(建议用时:30 分钟) 1.(2015 福建厦门高二期末,3)在△ABC 中,若 A=30°,B=45°,BC=,则 AC 等于( A. 答案:B 解析:由正弦定理可得, 从而有 AC==2,故选 B. 2.在△ABC 中,已知 a=5,c=10,A=30°,则 B 等于( A.105° C.15° 答案:D 解析:由正弦定理,得 ,sin C=. B.60° D.105°或 15° ) B.2 C.1 D. )

∵a<c,∴A<C,∴C=45°或 135°.
再由 A+B+C=180°,求出 B=105°或 15°. 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 acos A=bsin B,则 sin Acos A+cos B=( A.B. C.-1 D.1
2

)

3

答案:D 解析:根据正弦定理=2R 得,

a=2Rsin A,b=2Rsin B, ∴acos A=bsin B 可化为 sin Acos A=sin2B. ∴sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.
4.在△ABC 中,角 A,C 的对边分别为 a,c,C=2A,cos A=,则的值为( A.2 答案:C 解析:由正弦定理得=2cos A=. 5.在△ABC 中,b=2,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( A.0°<A<30° C.60°<A<90° 答案:B 解析:∵△ABC 有解,∴b·sin A≤a,即 sin A≤. 又 a<b,∴A 为锐角.∴0°<A≤45°. 6.在△ABC 中,若 a=3,b=,A=60°,则角 C 的大小为 答案:90° 解析:由正弦定理得,,从而, 即 sin B=,∴B=30°或 B=150°. 由 a>b 可知 B=150°不合题意,∴B=30°. B.0°<A≤45° D.30°<A<60° ) B. C. D.1 )

.

∴C=180°-60°-30°=90°.
7.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3b=2asin B,且 cos B=cos C,则△ABC 的形状 是

.

答案:等边三角形 解析:由正弦定理可将 3b=2asin B 化为 3sin B=2sin Asin B.∴sin A=.

∵△ABC 为锐角三角形,∴A=.
又∵cos B=cos C,0<B<,0<C<,∴B=C.

∴△ABC 为等边三角形.
8.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c.asin Bcos C+csin Bcos A=b,且 a>b,则

B=
答案:

.

解析:由正弦定理=2R, 得 2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A=×2Rsin B. 由 0<B<π ,所以 sin B≠0,从而 sin(A+C)=, 即 sin(π -B)=sin B=. 因为 a>b,所以在△ABC 中,B 为锐角,则 B=. 9.在△ABC 中,已知 a tan B=b tan A,试判断△ABC 的形状. 解:由已知得,
2 2

4

由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B(R 为△ABC 的外接圆半径),

∴. ∴sin Acos A=sin Bcos B. ∴sin 2A=sin 2B.
又 A,B 为三角形的内角,

∴2A=2B 或 2A=π -2B,即 A=B 或 A+B=. ∴△ABC 为等腰或直角三角形.
10.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对应的边,且 b=6,a=2,A=30°,求 ac 的值. 解:由正弦定理得 sin B=. 由条件 b=6,a=2,知 b>a,所以 B>A.

∴B=60°或 120°.
(1)当 B=60°时,C=180°-A-B=180°-30°-60°=90°. 在 Rt△ABC 中,C=90°,a=2,b=6,则 c=4,

∴ac=2×4=24.
(2)当 B=120°时,C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,∴A=C,则有 a=c=2.

∴ac=2×2=12.

5



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