3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014年北京市顺义区高三二模数学(理)试卷Word版带解析


北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 数学(理科)试卷
2014.4

本试卷共 4 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效.考试结束后将答题卡交回. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、 选择题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.复数 i(1 ? i) 等于 A. 1 ? i B. ?1 ? i C. ?1 ? i D. 1 ? i

解析: i (1 ? i ) ? 1 ? i 难度系数:2 知识点:推理与证明、数系的扩充与复数------复数------复数乘除和乘方 答案:D 2.已知 a ? log 2 3 , b ? log 1 3 , c ? 3
2
? 1 2

,则 C. a ? b ? c D. a ? c ? b

A. c ? b ? a

B. c ? a ? b

解析: a ? 1; b ? 0;0 ? c ? 1 难度系数:3 知识点:函数与导数-----基本初等函数与应用-------对数与对数函数 答案:D 3.已知向量 a ? (1,1) , b ? (?1,1) ,若 ka ? b 与 a 垂直,则实数 k ? A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

?

?

? ?

?

解析: ka ? b ? (k ? 1, k ?1),(ka ? b) ? b ? k ? 1 ? k ?1 ? 0?k ? 0 难度系数:3 知识点:平面向量------数量积及其应用------数量积的定义 答案:B 4.如图所示, 一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为 2 的正方形, 俯视图是一个直径 为 2 的圆,那么这个几何体的侧面积为 A. 8? B. 4? C. 2? D. ? S ? 2? ? 2 ? 4? 解析:该几何体是圆柱,侧面积是矩形 难度系数:2 知识点:立体几何-----空间几何体------空间几何体的表面积与体 积 正视图 答案:B

? ?

? ?

?

左视图

1 / 11

俯视图

5.“ ? ? 0 ”是“函数 y ? sin( x ? ? ) 为奇函数”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:“ ? ? 0 ” 可得“函数 y ? sin( x ? ? ) 为奇函数”;“函数 y ? sin( x ? ? ) 为奇函数”

? ? k? , k ? Z ,所以是充分不必要条件。
难度系数:3 知识点:集合与常用逻辑用语------常用逻辑用语-----充分与必要条件 答案:A 6. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的 值是 A. 2 B. 5 C. 11 D. 23

解析:第一次循环 y=5, x ? y ? 3 ;第二次循环 y=11, x ? y ? 6 ;第 三次循环 y=23, x ? y ? 12 ;输出 y 的值。 难度系数:3 知识点:算法与框图-----算法和程序框图 答案:D

7.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1( a ? 0 ),与抛物线 y 2 ? 4x 的准线交于 A, B a2

两点, O 为坐标原点,若 ? AOB 的面积等于 1 ,则 a ?

A. 2

B. 1

C.

2 2

D.

1 2

解析: ? AOB 是等腰三角形,根据面积得 A 点坐标 (?1,1) ,带入双曲线方程 a=

2 2

难度系数:3 知识点:解析几何-----圆锥曲线----双曲线;解析几何-----圆锥曲线----抛物线 答案:C

8.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x] x ? 0, 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数, x ? 0, ? f ( x ? 1)

2 / 11

(如 [?1.1] ? ?2 , [? ] ? 3 , ??? ).若直线 y ? k ( x ? 1) 三个不同的交点,则实数 k 的取值范围是 A. [ , )

(k ? 0) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有

1 1 5 4

B. [ , )

1 1 4 3

C. [ , )

1 1 3 2

D. (0,1]

解析:做出函数图像,函数是以 1 为周期的函数,直线恒过(-1,0),当直线过点(2,1) 有三个交点, k ?

1 1 1 1 ,当直线过点(3,1)有四个交点 k ? ,所以 k 的取值范围是 [ , ) 3 4 4 3

难度系数:4 知识点:函数与导数-------函数------函数的方程 答案:B 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上. 9.在极坐标系中,点 (2,

?
6

) 到极轴的距离是 ______.

解析:点到极轴的距离 2 sin

?
6

? 13

难度系数:2 知识点:解析几何----------极坐标---------极坐标系 答案:1 10.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a1 ? 1 , a3 ? 4 ,则 a2 ? ________; 此数列的其前 n 项和 Sn ? __________.

a3 a1 (1 ? q n ) 2 解析: ? q ? 4 ? q ? 2, a2 ? a1q ? 2, Sn ? ? 2n ? 1 a1 1? q
难度系数:2 知识点:数列-------等比数列 答案: 2, 2 ? 1
n

11.如图, AB 是圆 O 的直径, AB ? 2 , D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的切线交 AB 的 延长线于点 C .若 DA ? DC , 则 ?BDC ? ________; BC ? __________ .

D

解析: ?A ? ?C ? ?BDC ??BDC ? 30 , BC ? 1
0

难度系数:3 知识点:解析几何--------几何证明选讲------圆
0 答案: 30 , 1

A

O

B

C

3 / 11

12.对甲、乙、丙、丁 4 人分配 4 项不同的工作 A、B、C、D,每人一项,其中甲不能承担 A 项工作,那么不同的工作分配方案有 _________ 种.(用数字作答)
1 3 解析: 从乙、 丙、 丁三人中选一人承担 A 工作, 其余三人做 B,C,D 三项工作。 共有 C3 ? A3 ? 18

难度系数:3 知识点:概率与统计-------排列组合与二项式定理--------排列组合综合应用 答案:18

13.在 ? ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 a ? c ? 6 , sin 则 cos B ? _______; b ? ________ . 解析: cos B ? 1 ? 2sin

B 3 , ? 2 3

2

B 1 a 2 ? c 2 ? b2 ? , cos B ? ?b ? 2 2 2 3 2ac

难度系数:3 知识点:三角函数-------解三角形----------余弦定理 答案: , 2 2

1 3

? x ? 0, ? 14.已知点 M (a, b) 在由不等式 ? y ? 0, 确定的平面区域内,则点 N (a ? b, a ? b) 所在的 ? x ? y ? 2, ?
平面区域面积是 ________.

?x? y ?0 x? y ? 2 ? ? a? ?x ? a ? b ? ? ?y?x 2 ?? ?? ?0 解析: ? 做出平面区域,围城三角形的面积 4 ? y ? a ? b ?b ? y ? x ? 2 ? ?x? y y? x ? 2 ? 2 ? 2 ?2 ?
难度系数:4 知识点:不等式--------线性规划--------线性规划 答案:4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? cos 2 x 的图象过点 ( (Ⅰ)求实数 a 的值;

?
8

, 0) .

4 / 11

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最大值. 知识点:三角函数------三角函数---------三角函数的图像和性质 难度系数:3 16. (本小题共 13 分) 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛” , 在相同的条件下,两人 5 次测试的成绩(单 位:分)记录如下: 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 (Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据; (Ⅱ)现要从甲乙二人中选派一名运动员参加比赛,你认为选派谁参赛更好?说明理由(不 用计算) ; (Ⅲ) 若将频率视为概率, 对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测, 记这三次成绩高于 80 分的次数为 X ,求 X 的分布列和数学期望 EX . 知识点:概率与统计--------统计------用样本估计总体;概率与统计------------概率-----------随机 变量的期望和方差 难度系数:3 17. (本小题共 14 分) 如图:在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ? AB ? 2 ,

PB ? PD ? 2 2 ,点 E 在 PD 上,
1 PD . 3 (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 E ? AC ? D 的余弦值; (Ⅲ)证明:在线段 BC 上存在点 F , 使 PF ∥平面 EAC ,并求 BF 的长.
且 PE ?

P E

A B C

D

知识点:立体几何----------点线面位置关系的判定------垂直;立体几何=====空间向量--------空间的角 难度系数:3 18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? a ,其 a 中为常数, a ? 2 . ex

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的极大值为 2 ?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 知识点:函数与导数-------导数---------导数的概念和几何意义;函数与导数-------导数-------利 用导数球最值和极值
5 / 11

难度系数:3 19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 E 的两个焦点分别为 (?1, 0) 和 (1, 0) ,离心率 e ? (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? x ? m ( m ? 0 )与椭圆 E 交于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分线 交 x 轴于点 T ,当 m 变化时,求 ?TAB 面积的最大值. 知识点:解析几何--------圆锥曲线----------椭圆 难度系数:3 20. (本小题共 13 分) 已知集合 A ? ?a1, a2 , a3 , ???an ? , (0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an , n ? N ? , n ? 3) 具有性质 P :对任意的 i , j (1 ? i ? j ? n) , a j ? ai , a j ? ai 至少有一个属于 A . (Ⅰ)分别判断集合 M ? ?0,2,4? 与 N ? ?1, 2,3? 是否具有性质 P ; (Ⅱ)求证:① a1 ? 0 ; ② a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?

2 . 2

n an ; 2

(Ⅲ)当 n ? 3, 4 或 5 时集合 A 中的数列 ?an ? 是否一定成等差数列?说明理由. 知识点:数列--------数列综合 难度系数:5

北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 高三数学(理科)试卷参考答案及评分标准
题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 B

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)其它答案参考给分
n 0 9. 1 ;10. 2, 2 ? 1 ;11. 30 , 1 ;12. 18 ;13. , 2 2 ;14. 4

1 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)由已知函数 f ( x) ? a sin x cos x ? cos 2 x

a sin 2 x ? cos 2 x ————3 分 2 ? a ? ? ? f ( x) 的图象过点 ( , 0) ,? sin ? cos ? 0 ,————5 分 8 2 4 4 a ? 2 解得 ————7 分 ?
6 / 11

(Ⅱ)由(Ⅰ)得函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ?

? 最小正周期 T ?

2? ? ? ,———11 分 2

2 sin(2 x ? ) ———9 分 4

?

最大值为 2 .————13 分 16.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)茎叶图





8 7 2
————3 (Ⅱ) 由图可知, 乙的平均成绩大 且乙的方差小于甲的方差, 且乙的 最高分,因此应选派乙参赛更好.

7 8 9

8 2 2 8 5
于甲的平均成绩, 最高分高于甲的 ————6 分 分

6 2

(Ⅲ)记甲“高于 80 分”为事件 A,? P( A) ?

2 5

2 2 2 ? X ? B (3, ) , P( x ? k ) ? C3k ( ) k (1 ? )3? k ————8 分 5 5 5
X 的可能取值为 0,1, 2,3 .
分布列为:

X P

0

1

2

3

27 125 6 5
————13 分

54 125

36 125
————11 分

8 125

EX ?

P E

17. (本小题共 14 分) 解 :( Ⅰ ) 证 明 : ? PA ? AB ? 2 , PB ? 2 2 ,

? PA2 ? AB 2 ? PB 2 ? PA ? AB ,同理 PA ? AD ————2 分 又 AB ? AD ? A ,? PA ? 平面 ABCD .———4 分
(Ⅱ)以 A 为原点, AB, AD, AP 分别为 x, y, z 轴建立空间直 角坐标系,

A B C

D

则 A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0), P (0, 0, 2), E (0, , ) ———6 分 平面 ACD 的法向量为 AP ? (0,0, 2) , 设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z)

2 4 3 3

??? ? ?

———7 分

7 / 11

? ???? ?x ? 2 ???? ??? ? ? ?0 ?x ? y ? 0 2 4 ? ?n ? A C , ? ? , 取 ? y ? ?2 ? AC ? (2, 2, 0), AE ? (0, , ) , 由 ? ? ??? ? 3 3 ?0 ? y ? 2z ? 0 ? ?z ? 1 ?n ? A E ? ? ? n ? (2, ?2,1) ,———8 分
设二面角 E ? AC ? D 的平面角为 ?

? ??? ? 1 n ? AP 1 ? ? ,? 二面角 E ? AC ? D 的余弦值为 .———10 分 cos? ? ? ??? 3 | n | ? | AP | 3
(Ⅲ)假设存在点 F ? BC ,使 PF ∥平面 EAC , 令 F (2, a,0) , (0 ? a ? 2) ———12 分

??? ? ? ??? ? ? PF ? (2, a, ?2) 由 PF ∥平面 EAC ,? PF ? n ? 0 ,解得 a ? 1

? 存在点 F (2,1, 0) 为 BC 的中点,即 BF ? 1 . ———14 分
18. (本小题共 13 分)

x2 ? x ? 1 解: (Ⅰ) a ? 1 , f ( x) ? ,? f (0) ? 1 ,———1 分 ex

? f ' ( x) ?

(2 x ? 1)e x ? e x ( x 2 ? x ? 1) ? x 2 ? x ? x( x ? 1) ? ? ,? f ' (0) ? 0 ———3 分 2x x x e e e

则曲线在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 1 .———5 分 (Ⅱ) f ( x) ?
'

(2 x ? a)e x ? e x ( x 2 ? ax ? a) ? x[ x ? (2 ? a)] ? e2 x ex

f ' ( x) ? 0 的根为 0,

2 ? a ,———6 分

? a ? 2 ,? 2 ? a ? 0
' 当 a ? 2 时, f ( x) ?

? x2 ? 0 ,? f ( x) 在 (??, ??) 递减,无极值;——8 分 ex

当 a ? 2 时, 2 ? a ? 0 , f ( x ) 在 (??,0),(2 ? a, ??) 递减,在 (0, 2 ? a) 递增;

? f (2 ? a) ? (4 ? a)ea?2 为 f ( x) 的极大值,———10 分
令 u(a) ? (4 ? a)e
a ?2

, (a ? 2) , u (a) ? (3 ? a)e
'

a ?2

?0

? u (a) 在 a ? (??, 2) 上递增,? u(a) ? u(2) ? 2 , ? 不存在实数 a ,使 f ( x) 的极大值为 2 .———13 分
8 / 11

19. (本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知椭圆的焦点在 x 轴上, c ? 1 ,

c 2 , ? a 2

? a ? 2 , b ? 1 ,———2 分

? 椭圆 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1———4 分 2

?y ? x ? m ? 2 2 (Ⅱ) ? x 2 ,消去 y 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

? 直线 l 与椭圆有两个交点,? ? ? 0 ,可得 m2 ? 3 (*)———6 分
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )

? x1 ? x2 ? ?

4m 2m 2 ? 2 2 2 , x1 x2 ? ,弦长 | AB |? 6 ? 2m2 ,———8 分 3 3 3

2m m AB 中点 M (? , ) , 设 T ( x, 0) ,? k AB ? kMT ? ?1 ,? 3 3 m 3 m 2 |m| , 0, ) | TM |? ———11 分 3 3

m 3 ?1 ? ?1 , 2m ? ?x 3

?x??

? T (?

?S ?

1 2 2 3 9 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? ?2(m2 ? ) 2 ? 2 9 9 2 2
3 2 时, S max ? ,——14 分 2 3

? m2 ? 3 ,? m2 ?

(或: S ?

1 2 2 (6 ? 2m2 ) ? 2m2 | AB || MT |? (6 ? 2m2 )m2 ? 2 9 9 2
( 6 ? 2m 2 ? 2m 2 2 ) 2 3 2 2 . ? ? ? 2 9 2 3
3 2 时成立, S max ? .(用其它解法相应给分) 2 3

?

2 9

" ? " 当且仅当 m2 ?

9 / 11

20. (本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)?

2 ? 0 ? 2, 4 ? 2 ? 2, 4 ? 0 ? 4, ? 集合 M 具有性质 P , 0 ? 0 ? 0, 2 ? 2 ? 0, 4 ? 4 ? 0,

? 3 ? 3 ? 6 ? A , 3 ? 3 ? 0 ? A ,? 集合 N 不具有性质 P .———3 分
(Ⅱ)由已知 0 ? a1 ? a2 ? ??? ? an ,? an ? an ? 2an ? A , 则 an ? an ? 0 ? A ,仍由 0 ? a1 ? a2 ? ??? ? an 知 a1 ? 0 ;———5 分

? 0 ? an ? an ? an ? an?1 ? an ? an?2 ? ??? ? an ? a1 ? an ? an?i ? an , (i ? 1, 2,3 ??? n ? 2) ,? an ? an?i ? A , ? a1 ? an ? an , a2 ? an ? an?1, ???an ? an ? a1 ———6 分
将上述各式两边相加得 a1 ? a2 ? a3 ????an ? nan ? (a1 ? a2 ???? ? an )

? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ???an ) ? nan ,即 a1 ? a2 ? a3 ? ???an ?

n an ;———8 分 2

(Ⅲ)当 n ? 3 时,集合 A 中的数列 a1 , a2 , a3 一定是等差数列. 由(Ⅱ)知 a1 ? 0 ,且 0 ? a1 ? a2 ? a3 ,? a3 ? a2 ? a3 ? A 故 a3 ? a2 ? A ,而这里 a3 ? a2 ? a3 ,反之若不然 a2 ? 0 ? a1 这与集合 A 中元素互异矛盾,? 只能 a3 ? a2 ? a2 ,即 2a2 ? a3 ? a3 ? 0 ? a3 ? a1

? a1 , a2 , a3 成等差数列. ———9 分
当 n ? 4 时,集合 A 中的元素 a1 , a2 , a3 , a4 不一定是等差数列. 如 A ? ?0,1,2,3? , A 中元素成等差数列, 又如 A ? ?0, 2,3,5? , A 中元素不成等差数列;———11 分 当 5 时,集合 A 中的元素 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 一定成等差数列 证明: 0 ? a1 ? a5 ? a5 ? a5 ? a4 ? a5 ? a3 ? a5 ? a2 ? a5 ? a1 令 a1 ? 0, a2 ? a5 ? a4 ① a3 ? a5 ? a3 ② ② ? ①有 a4 ? a3 ? a3 ? a2 ,且由① a2 ? a4 ? a5

? a4 ? a3 ? a4 ? a2 ? a5 ,? a4 ? a3 ? A

? a4 ? a3 ? A
10 / 11

? 0 ? a1 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a3 ,? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? a2 ? a1
又 a2 ? a5 ? a4 ,? a5 ? a4 ? a4 ? a3 ? a3 ? a2 ? a2 ? 0 ? a2 ? a1

? a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等差数列. ———13 分

11 / 11


推荐相关:

北京市顺义区2018年高三年级二模数学试题(理)Word版 (...

北京市顺义区2018年高三年级二模数学试题(理)Word版 (答案) - 顺义区 2018 届高三第二次统练 数学试卷答案(理科) 一、ADDB BCCC 二、9. 1. 12. 10. 1...


北京市顺义区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】

北京市顺义区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市顺义区2017届高三二模数学(理)试题【含答案】 ...


2014北京顺义高三二模数学(理)试卷

2014北京顺义高三二模数学(理)试卷 - www.yitiku.cn 2014 高考高频考点尽在易题库 北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 数学(理科)试卷 2014...


...2018学年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版含解析

北京市顺义区2017-2018学年高三上学期第一次模拟数学(理)试卷 Word版解析_数学_高中教育_教育专区。北京市顺义区 2017-2018 学年高考数学一模试卷(理科) 最新...


2014北京顺义高三二模数学(理)试卷

2014北京顺义高三二模数学(理)试卷 - www.yitiku.cn 2014 高考高频考点尽在易题库 北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 数学(理科)试卷 2014...


2017年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)(解析版)

若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由. 第 4 页(共 21 页) 2017 年北京市顺义区高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8...


北京市顺义区2018届高三第二次统练(二模)数学理试题

北京市顺义区2018届高三第二次统练(二模)数学理试题 - 顺义区 2018 届高三第二次统练 数学试卷(理科) 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题(本大题共 ...


北京市顺义区2014届高三二模理综生物试题Word版含答案

北京市顺义区2014高三二模理综生物试题Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。北京市顺义区2014高三二模理综生物试题Word版含答案 ...


...2018届高三下学期第二次统练(二模)数学(理)试题 含...

【数学】北京市顺义区2018届高三下学期第二次统练(二模)数学(理)试题 含答案_高中教育_教育专区。顺义区 2018 届高三第二次统练 数学试卷(理科) 第一部分(...


2014北京顺义高三二模数学(文)试卷

2014北京顺义高三二模数学()试卷 - www.yitiku.cn 2014 高考高频考点尽在易题库 北京市顺义区 2014 届高三 4 月第二次统练(二模) 数学(文科)试卷 2014...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com