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2013—2014学年度宝应中学第二学期高一数学期中检测


2013—2014 学年度宝应中学第二学期高一数学期中检测
(满分 160 分,考试时间 120 分钟) 2014.4 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 题,每题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1. 等差数列 ?an ? 的通项公式是 an ? ?n ? 5 ,则此数列的公差为 2. cos43 cos77 ? sin 43 sin 77 =
0 0 0 0



.



. ▲ . ▲ ▲ . ▲ . .

3. 等比数列中 a2 ?

1 , a5 ? ?4 ,则此数列的公比是 2

4. 在△ABC 中,已知 b ? 4, c ? 2, A ? 1200 ,则 a 等于 5. 若数列 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0, a3a11 ? 9, 则 a7 =

6. 已知 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S3 ? 9, S 6 ? 36 ,则 S 9 的值为 7. 在△ABC 中,已知 a ? 2, b ? 3, c ? 4 ,则△ABC 的面积等于 8. 已知 tan( ▲ .

?
4

? ? ) ? 2 ,则 tan 2? =



.

9. 某剧场有 20 排座位,后一排比前一排多 2 个座位,最后一排有 60 个座位,这个剧场共 有 ▲ 个座位. 10. △ ABC 中, A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且满足 c sin A ? a cos C , 则角 C= ▲ . 11. 已知 ?an ? 是各项都为正数的等比数列, Sn 是其前 n 项和,若 a1 ? 1, 5S2 ? S4 , 则 a5 ? ▲ .

12. 已知 sin(? ? 13. 下列说法:

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 ? , ? ? ? ? 0 ,则 cos? = 5 2



.

①设 ? , ? 都是锐角,则必有 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? ②在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C , 则 ?ABC 为锐角三角形.
2 2 2

③在 ?ABC 中,若 A ? B , 则 cos 2 A ? cos 2 B ; 则其中正确命题的序号是 ▲ . 14. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? ( )n (n ? 2) , Sn ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? ? ? an ? 2n ,类 比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 3Sn ? an ? 2n?1 = ▲ .

1 2

201404 高一数学期中试题

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二、解答题: (本大题共 6 题计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分)已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? (1)求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 cos ? 的值.
10 3 , sin(? ? ? ) ? ? . 10 5

16. (本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 是首项为 1 的等差数列,数列 ?bn ? 是等比数列, (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?cn ? 的前 10 项和 S10 ; 设 cn ? an ? bn ,且数列 ?cn ? 的前三项分别为 3,6,11

201404 高一数学期中试题

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17. (本题满分 15 分)已知 ? , ? ? (0, ? ), 且 tan( ? ? ? ) ? (1)计算 tan ? 、 tan 2? 的值 (2)求 2? ? ? 的值.

1 1 , tan ? ? ? 2 7

18. (本题满分 15 分) 为了测量河对岸两点 A,B 之间的距离, 在河岸的这一边取相距 3 km 的 C,D 两点,并测得 ? ACB=75 , ? BCD=45 , ? ADC=30 , ? ADB=45 ,设 A,B, C,D 在同一个平面内,试求 A,B 两点之间的距离
0 0 0 0

B A

C

D

201404 高一数学期中试题

第 3 页 共 8 页

19.(本题满分 16 分) 若已知数列 ?an ? 是首项为 6 ? 12 t , 公差为 6 的等差数列; 数列 ?bn ? 的 前 n 项和为 Sn ? 3n ? t . (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; 得 bn?1

(2)若数列 ?bn ? 是等比数列. 试证明:对于任意的 n (n ? N *, n ? 1) ,均存在正整数 cn ,使

? acn ,并求数列 ?cn? 的前 n 项和 Tn .

?1? 20.(本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a n ? ? ? ?2? ⑴ 若数列 ?bn ? 是等差数列,求证 ?an ? 是等比数列; ?1? ⑵ 若数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? 1 ? ? ? ?2? ① 设对于任意的正整数 n ,恒有
n

bn

1 1 1 1 1 ? ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) an 2b1 ? 1 2b2 ? 1 2b3 ? 1 2bn ? 1 成立,试求实数 ? 的取值范围.
② 若数列 ?cn ? 满足 cn ? 存在,请求出这三项;如果不存在,请说明理由.

问数列 ?cn ? 中是否存在不同的三项成等比数列?如果 2bn ? 1 ,

201404 高一数学期中试题

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宝应中学高一数学期中参考答案与评分标准
一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.-1; 7. 2. ?

1 ; 2

3.-2; 9. 820; 14. n ? 1

4. 2 7 ; 10.

5. 3; 11. 16

6. 81;

3 3 15 ; 8. ; 4 4

? ; 4

12.

3 3?4 ; 10

13.① ;

二、解答题: (本大题共 6 题,计 90 分)
π π π 15.解: (1)∵? , ? ? (0, ) ,从而 ? ? ? ? ? ? .……………………2 分 2 2 2

又 sin(? ? ? ) ? ?

10 , 10

∴?

π ?? ? ? ? 0 2

…………………………4 分
1 3

∴cos(? ? ? ) ?

3 10 , 10

∴tan(? ? ? ) ? ?
3 4 ,∴cos ? ? . 5 5

………………………………7 分 ……………………………………8 分 …………12 分 ……………14 分

(2)∵? 为锐角, sin ? ?

∴cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
4 3 10 3 10 9 10 ? ? . ? ? (? )? 5 10 5 10 50

注:其他解法,请相应给分。 16.解: (1)设数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q ,……………1 分

?1 ? b1 ? 3 ? 则 ?(1 ? d ) ? b1q ? 6 ? 2 ?(1 ? 2d ) ? b1q ? 11

……………………4 分

?b1 ? 2 ? ? ?d ? 1 (q ? 0舍去) ? an ? n, bn ? 2n ?q ? 2 ?

……………………7 分

(2)数列 ?cn ? 的前 10 项和 S10 ? (a1 ? a2 ? ? ? a10 ) ? (b1 ? b2 ? ? ? b10 ) ………8 分

?

10(1 ? 10) 2(210 ? 1) ? …………………………………………………12 分 2 2 ?1

=2101…………………………………………………14 分

201404 高一数学期中试题

第 5 页 共 8 页

1 tan ? ? tan ? 1 ,∴ ? ………………2 分 2 1 ? tan ? tan ? 2 1 tan ? ? 1 7 ? 1 ,解得 tan ? ? 1 ………………5 分 而: tan ? ? ? ,∴ 1 7 3 1 ? tan ? 2 7
17.解: (1)∵ tan(? ? ? ) ? 说明:这是一种自然而本质的解法。

1 1 - tan (?-?)+tan? 1 或:tanα=tan[(α-β)+β]= = 2 7 = ………………5 分 1 1 1-tan (?-?)tan? 1+ ? 3 2 7 1 2? 2 tan ? 3 =3 ∴ tan2α= …………………………7 分 = 2 1 1 ? tan ? 1-( ) 2 4 3 3 1 + tan 2? ? tan ? (2)tan(2α-β)= = 4 7 =1. ………………………………9 分 1 ? tan 2? tan ? 1 ? 3 ? 1 4 7 1 ? ∵ tanα= >0 , ? ? (0, ? ), ∴ 0<α< ,0<2α< ? 2 3 3 ? ∵ tan2α= >0∴ 0<2α< , ………………………………11 分 2 4 ? 1 ∵ tanβ=- <0, ? ? (0, ? ), ∴ <β<π, ………………………12 分 2 7
∴ -π<2α-β<0, ∴ 2α-β=-

3? ………………………15 分 4 18. 解: ?ACD中,CD ? 3, ?ACD ? 750 ? 450 ? 1200 , ?ADC ? 300 , ?CAD ? 300
由正弦定理得:

………………………………13 分

AD CD ? ? ……………2 分 sin ?ACD sin ?CAD AD 3 ? ? AD ? 3 ……………5 分 0 sin120 sin 300

B A

?BCD中,CD ? 3, ?BDC ? 300 ? 450 ? 750 ,
?BCD ? 450 , ?CBD ? 600
由正弦定理得: C D

BD CD BD 3 ? ? ? ? BD ? 2 ………10 分 0 sin ?BCD sin ?CBD sin 45 sin 600 ?ABD中,AD ? 3, ?ADB ? 450 , BD ? 2

由余弦定理得:

AB 2 ? AD 2 ? BD 2 ? 2 AD.BD cos ?ADB ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? AB ? 5
201404 高一数学期中试题 第 6 页 共 8 页

1 ?5 ………14 分 2

故 A,B 两点间的距离为 5 km ………15 分 说明:如果先求 AC, BC 的长,再用余弦定理,同样给分。其中的 75 可用公式化为特殊角。 19. 解: (1)∵数列 ?an ? 是等差数列,∴ an ? (6 ?12t ) ? 6(n ?1) ? 6n ?12t …………2 分 而数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n ? t . ∴ 当 n ? 2 时, bn ? (3n ? t ) ? (3n?1 ? t ) ? 2 ? 3n?1 ∴ bn ? ? …………4 分
?

?3 ? t , n ? 1
n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2

…………6 分

(2)∵数列 ?bn ? 是等比数列,∴ 3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2, ∴ t ? 1 …………………8 分 ∴ an ? 6n ? 12 , bn ? 2 ? 3n?1 而 bn?1 ? 2 ? 3n , acn ? 6cn ?12 , 要使 bn?1 ………………10 分
n ?1

? acn 成立,则 bn?1 ? 2 ? 3n ? 6cn ?12 ,
? 2 为正整数

∴ cn ? 3n?1 ? 2 ,而对任意的 n (n ? N *, n ? 1) , 3

∴对任意的 n (n ? N *, n ? 1) ,均存在正整数 cn ,使得 bn?1 ? acn 成立. ………………13 分 ∴数列 ?cn? 的前 n 项和 Tn ? 2n ?

1? (1 ? 3n ) 3 n ?1 ? ? 2n 1? 3 2

………………16 分
*

20. 解(1)证明:数列 ?bn ? 是等差数列,设公差为 d ,则 bn?1 ? bn ? d 对 n ? N 恒成立,

?1? 由于 a n ? ? ? ?2? b ?b d a n ?1 ? 1 ? n ?1 n ? 1 ? 所以 ?? ? ? ? ? 是定值,从而数列 ?an ? 是等比数列. ………………3 分 an ?2? ?2?
1 ?1? (2)① 解:当 n ? 1 时, a1 ? ,当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ? ? , n ? 1 也适合此式, 2 ? 2?
n

bn

?1? 即数列 ?an ? 的通项公式是 a n ? ? ? . ?2? 所以, bn ? n

n

…………………………5 分 ……………………………6 分

不等式 1 ? ? (1 ? 1 )(1 ? 1 )(1 ? 1 ) ? (1 ? 1 ) 可化为 an 2b1 ? 1 2b2 ? 1 2b3 ? 1 2bn ? 1

1? 3 ? 5 ?? ? (2n ? 1) ………………………8 分 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n n 1? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) (n ? N *) ,则 ? ? f (n) min 令 f ( n) ? 2 ? ……9 分 2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2n f (n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? 2? ? ? 1 恒成立, 又 f ( n) 2n ? 2 n ? 1

? ? 2n ?

201404 高一数学期中试题

第 7 页 共 8 页

所以, f ( n) 单调增

………………………………………10 分

1 ? 1, 2 所以,所求实数 ? 的取值范围为 ? ? 1 ②cn ? 2n ? 1
所以, f ( n) min ? f (1) ? 2 ? 则 cn ? cm ct ,
2

……………………………………11 分

假设存在不同的三项 cm , cn , ct 成等比数列,由于 ?cn ? 是单调增数列,不妨设 m ? n ? t
2

…………………………………………12 分

由⑵ , ( 2n ? 1) ? ( 2m ? 1)( 2t ? 1) 化简得 2 (m ? t ? 2n) ? 2n 2 ? 2mt , ………………………………………13 分 由于 2 是无理数, m ? t ? 2n,2n 2 ? 2mt 均为整数, (注:如果直接认为矛盾,不能得分! ) 因此 ?

?m ? t ? 2 n ? 0
2 ?2n ? 2mt ? 0

……………………………14 分
2

消去 n ,得 m ? 2mt ? t ? 0 ,即 (m ? t ) 2 ? 0 所以, m ? t ,与 m ? n ? t 矛盾 ……………………15 分 故不存在不同的三项成等比数列, ………………………………16 分
2

201404 高一数学期中试题

第 8 页 共 8 页


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