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广东省高州三中2011届高三上学期期末考试(数学理)


广东省高州三中 2010—2011 学年度第一学期高三期末考试

数学(理)试题
第 I 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡上. 1.已知命题 p : ? x ? R , x ? sin x ,则 ( ) A. ? p : ? x ? R , x ? sin x B. ? p : ? x ? R , x ? sin x C. ? p : ? x ? R , x ? sin x D. ? p : ? x ? R , x ? sin x 2.在等差数列 ?a n ? 中,若 a 4 + a 6 + a 8 + a10 + a12 =120,则 2 a10 - a12 的值为 A.20 B.22
1 4





C.24

D.28 ( )

3、已知 ?a n ? 是等比数列, a 2 ? 2, a 5 ? A.16( 1 ? 4 C.
32
?n

,则 a 1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a n a n ?1 = B.16( 1 ? 2 D.
32
?n

) )



(1 ? 2 ) 3 3 4 、 根 据 表 格 中 的 数 据 , 可 以 判 定 方 程 ex ? x ? 2 ? 0 的 一 个 零 点 所 在 的 区 间 为
( k , k ? 1)( k ? N ) ,则 k 的值为

(1 ? 4

?n

?n

( 1 2.72 3 C.1 2 7.39 4 D.2 ( C. [? 1,3 ]
4 x



x
e
x

-1 0.37 1 B.0

0 1 2

3 20.09 5

x?2

A.-1

5.函数 y ? log 2 x ? log x ( 2 x ) 的值域是 A. ( ?? , ? 1] B. [3, ?? )



D. ( ?? , ? 1] ? [3, ?? ) ,且当 x ? [ ? 3 , ? 1] 时, f ( x ) 的 ( )

6.已知函数 y ? f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时,有 f ( x ) ? x ? 值域是 [ n , m ] ,则 m ? n 的值是 A.
1 3

B.

2 3

C. 1

D.

4 3

? (2 a ? 1) x ? 4 a , ( x ? 1) 7.已知 f ( x ) ? ? 是 ( ?? , ?? ) 上的减函数,那么 a 的取值范围是( x ( x ? 1) ? log a ,



A. ( 0 ,1)

1 B. (0, ) 2 1 2

1 1 C. [ , ) 6 2

1 D. [ ,1) 6

8、已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? cos ? ?
7 4
1 2

,则 cos 2? 的值为
7 4


3 4



A.

B. ?

7 4
1 2

C. ?

D. ?



9.已知函数 f ( x ) ? A. ? ? 1,1?

(sin x ? cos x ) ?

sin x ? cos x ,则 f ( x ) 的值域是





? 2 ? B. ? ? ,1 ? ? 2 ?

? 2? C. ? ? 1, ? 2 ? ?
??? ? ??? ? ????

? 2? D. ? ? 1, ? ? 2 ? ?

C 10. 已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , O ? 1O a ?1O 若 B a 0A 0

, A, B, C 三点共线 且 (该 ( )

直线不过点 O) ,则 S 200 等于 B.101 C.200 D.201 ln x 11.若 b ? a ? 3, f ( x ) ? ,则下列各结论中正确的是 x a?b a?b ) ? f ( ab ) ) ? f ( b ) ? f ( ab ) A. f ( a ) ? f ( B. f ( 2 2 a?b a?b ) ? f (a) ) ? f ( ab ) C. f ( ab ) ? f ( D. f ( b ) ? f ( 2 2 A.100





12.设 f ( x ) ?| 3 x ? 1 | , c ? b ? a 且 f ( c ) ? f ( a ) ? f ( b ) ,则下列关系中一定成立的是(
c b A. 3 ? 3



B. 3 ? 3
b
c

a

C. 3 ? 3 ? 2
c a

D. 3 ? 3 ? 2
a

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分?将答案填在各题中的横线上 13.若 ? 是锐角,且 sin ? ?

?

?
6

? ? 13 ,则 cos ? 的值是



2 14、由抛物线 y ? x 和直线 x ? 2 所围成图形的面积为___________.

? x ? 0, ? ( k 为常数 ), 若 z ? x ? 3 y 的最 大值为 8,则 15.已知点 P(x,y)满足条件 ? y ? x , ?2 x ? y ? k ? 0 ?

k ?



16.若关于 x 的不等式 2 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集为实数集 R ,则实数 a 的取值

范围

是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) ? ? ? ? ? 设向量 a ? (sin x , cos x ) , b ? (cos x , cos x ) ,x∈R,函数 f ( x ) ? a ? ( a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和最小值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 ? 0, π ? 上的单调增区间.

18. (本小题满分 12 分)
2 设 P:关于 x 的不等式 cx ? cx ? 1 ? 0 的解集为实数集 R,Q:不等式 x ? | x ? 2 c |? 1 在实

数集 R 上有解,如果 P ? Q 为真, P ? Q 为假,求 c 的取值范围.

0 19. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,已知 AB ? 5, B ? 60 , AC 边上的中线 BD=

7 2

,求 sinA

的值.

20. (本小题满分 12 分) 等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n, a1 ? 1 ?
2, S 3 ? 9 ? 3 2 .

(Ⅰ)求数列 { a n } 的通项 a n 与前 n 项和 S n ; (Ⅱ)设 b n ? a n ?
2 ( n ? N ) , {b n } 中的部分项 b k1 , b k 2 ,? ? ?b k n 恰好组成等比数列,且
*

k 1 ? 1, k 4 ? 63 ,求数列 { k n } 的通项公式;
(III)设 c n ?
Sn n ( n ? N ) ,求证:数列 { c n } 中任意相邻的三项都不可能成为等比数列.
*

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?
4x ? 7
2

2? x

1? , x ? ? 0,

(Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间和值域;
1? 1? (Ⅱ)设 a ? 1 ,函数 g ? x ? ? x ? 3 a x ? 2 a, x ? ? 0, ,若对于任意 x1 ? ? 0, ,总存在
2 2

x 0 ? ? 0, ,使得 g ? x 0 ? ? f ? x1 ? 成立,求 a 的取值范围 1?

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? e ? ln( x ? 1) 。
x

(I)求函数 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)已知 0 ? x1 ? x 2 ,求证: e
x 2 ? x1

? 1 ? ln

x2 ? 1 x1 ? 1



参考答案
一、选择题: CCBCD CCBCA 二、填空题: 13、
2 6 ?1 6
5

DD

14、

8 2 3

15、-6

16、 a ?

2 三、解答题:

17.解: (Ⅰ) ? ? ? ? ? ? ? f (x ) ? a ? (a ? b) ? a ? a ? a ? b ∵ 2 2 2 ? sin x ? cos x ? sinxcosx ? cos x =1+
1 2 sin2x ? 1 2 ( cos2x ? 1) ? 3 2 ? 2 2 sin ( 2x ?

2分

?
4

)

4分

∴最小正周期是

2? 2

? ? ,最小值为

3? 2

2



6分

(Ⅱ)解法一:因为 f ( x ) ? 令 2k ? ?
? 2 ? 2x ? ? 4 ? 2k ? ?

3 2

?

2 2

sin (2x ?

?
4

),

? 2

(k ? Z )

8分 12 分

? 5 得函数在 ? 0, π ? 上的单调增区间为 [0, ]和[ ? , ? ] 。 8 8

解法二:作函数 f ( x ) ?

3 2

?

2 2

sin (2x ?

?
4

) 图象,

由图象得函数 f ( x ) 在区间 ? 0, π ? 上的上的单调

? 不 等 式 x ? | x ? 2 c |? 1在 R 上 有 解 ? 2 c ? 1 ? c ?

1 2

.
1

10 分

? c ? 4 。 12 分 2 19、解:本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变

如果 P ? Q 为真, P ? Q 为假,则 C 的取值范围为 c ? 0 或

形的技能和运算能 力. 设 E 为 BC 的中点,连接 DE,则 DE//AB,且 DE= 在△BDE 中利用余弦定理可得: BD2=BE2+ED2-2BE· cos∠BED, ED· 49 25 5 2 ? x ? ? x, 4 4 2
解得x ? 3 2 , x ? ? 4, ( 舍 去 ),
2 2 2

1 2

AB ?

5 2

, 设 BE ? x , 2 分

6分

故 BC ? 3, 从 而 AC ? AB ? BC ? 2 AB ? BC cos B ? 19,
即 AC ? 19 ,又 sin B ? 3 2 ,故 3 sin A ? 19 3 2 , sin A ? 3 57 38 .

12 分

? a1 ? 2 ? 1, ? 20、解: (Ⅰ)由已知得 ? ,? d ? 2 ,……………………1 分 ? 3 a1 ? 3 d ? 9 ? 3 2 ?

故 an ? 2 n ? 1 ?

2, S n ? n ( n ?

2 ) .……………………………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得, b n ? 2 n ? 1 ,……………………………………………5 分 再由已知得,等比数列 {b k n } 的公比 q ?
3

b 63 b1

? 125 ,? q ? 5 ………6 分

? 2k n ? 1 ? 5

n ?1

? ? kn ?

1 2

(5

n ?1

? 1) ……………………………………8 分

(III)由(Ⅰ)得 c n ?

Sn n

?n?

2 ( n ? N ) .………………………………9 分
*

假设数列中存在相邻三项 c n , c n ?1 , c n ? 2 ( n ? N ? ) 成等比 数列,
2 则 c n ?1 ? c n c n ? 2 ,即 ( n ? 1 ?

2 ) ? (n ?
2

2 )( n ? 2 ?

2 ) .…………10 分

推出 1 ? 0 矛盾.所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列.12 分 21、解:对函数 f ? x ? 求导,得 f ? ? x ? ? 令 f ? ? x ? ? 0 解得 x1 ? 当 x 变化时, f x


? 4 x ? 16 x ? 7
2

?2 ? x?

2

??

? 2 x ? 1? ? 2 x ? 7 ? 2 ?2 ? x?
2分

1 2

或 x2 ?

7 2

? x ? 、 f ? x ? 的变化情况如下表:
0
? 1? ? 0, ? ? 2?
1 2

?1 ? 1 ? ,? ?2 ?

1

f



? x?
? 7 2

?


0
?4

?


f ? x?

?3
4分

? 1? ?1 ? 1 所以,当 x ? ? 0, ? 时, f ? x ? 是减函数;当 x ? ? ,? 时, f ? x ? 是增函数; ? 2? ?2 ?

1 ? 当 x ? ? 0,? 时, f ? x ? 的值域为 ? ? 4, 3 ? 。

6分

(Ⅱ)对函数 g ? x ? 求导,得 g ,? x ? ? 3 ? x 2 ? a 2 ?
1 因此 a ? 1 ,当 x ? ? 0,? 时, g ,? x ? ? 3 ?1 ? a 2 ? ? 0 1 因此当 x ? ? 0,? 时, g ? x ? 为减函数,

7分

( 式得 a ? 1 或 a ? ? 解 1)

5 3

( 式得 a ? 解 2)
3 2

3 2

又a ?1, 12 分

故: a 的取值范围为 1 ? a ? 22、 (本小题满分 14 分) .



x 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域是 ? x x ? ? 1? , f ?( x ) ? e ?

1 x ?1

…………2 分

当 ? 1 ? x ? 0 时,∵

1 x ?1

?1? e

x

∴e ?
x

1 x ?1

? 0 即 f ?( x ) ? 0

这说明函数 f ( x ) 在区间 ? ? 1, 0 ? 上是减函数 当 x ? 0 时, f (0) ? 1 当 x ? 0 时, ∵e ? 1 ?
x

……………4 分 …………5 分

1 x ?1

? 0 ∴e ?
x

1 x ?1

? 0 即 f ?( x ) ? 0

这说明函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数 故当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 1

………………6 分 ……7 分

(Ⅱ)由(1)知,当 x ? 0 时, f ( x ) ? e x ? ln( x ? 1) ? f ( x ) min ? 1 ……8 分
x ?x 而 0 ? x1 ? x 2 , x 2 ? x1 ? 0 ,因此 f ( x 2 ? x1 ) ? e 2 1 ? ln( x 2 ? x1 ? 1) ? 1

∴e

x 2 ? x1

? 1 ? ln( x 2 ? x1 ? 1)


? ln ( x 2 ? x1 ? 1)( x1 ? 1) x2 ? 1

…12 分

又 ln( x 2 ? x1 ? 1) ? ln

x2 ? 1 x1 ? 1

? ln

x1 ( x 2 ? x1 ) ? ( x 2 ? 1) x2 ? 1

? x ( x ? x1 ) ? ? ln ? 1 2 ? 1? ? ln 1 ? 0 ? x2 ? 1 ?

∴ ln( x 2 ? x1 ? 1) ? ln

x2 ? 1 x1 ? 1



…13 分

综合①、②得 e

x 2 ? x1

? 1 ? ln

x2 ? 1 x1 ? 1

成立

…14 分



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