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2015-2016学年高中数学 2.5等比数列的前n项和(第2课时)学案设计 新人教A版必修5


第二章 2.5 2.5

数列

等比数列的前 n 项和

等比数列的前 n 项和(第 2 课时)
学习目标

掌握等比数列的前 n 项和公式,能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题.通过等比数 列的前 n 项和公式的推导过程,体会“错位相减法”以及分类讨论的思想方法.通过对等比 数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数学的科学价值、 应用价值,发展数学的理性思维.

合作学习
一、设计问题,创设情境 复习引入: 1.等比数列的通项公式 ; 2.等比数列的前 n 项和公式 . 3.类比等差数列的前 n 项和,等比数列的前 n 项和会有怎样的性质? 已知数列{an}是等差数列,Sn 是其前 n 项和. * 可以证明若 k∈N ,Sk,S2k-Sk, 成等差数列. 那么等比数列是否有类似的性质? 二、信息交流,揭示规律 1.等比数列的通项公式和前 n 项和公式这两个公式中含有五个量,分别是 Sn,an,n,q,a1, 两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量就可以求另外的两个量,即“知三求二”. 把公式看成方程,两个公式对应两个方程,可以解决两个未知数. 2.已知数列{an}是等比数列,Sn 是其前 n 项和. * 可以证明:k∈N ,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k 成等比数列. Sk=a1+a2+a3+?+ak=a1(1+q+q2+?+qk-1), S2k-Sk=ak+1+ak+2+ak+3+?+a2k=ak+1(1+q+q2+?+qk-1), S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+a2k+3+?+a3k=a2k+1(1+q+q2+?+qk-1),

=

.

三、运用规律,解决问题 【例 1】在等比数列{an}中,已知 a1=2,S3=26,求 q 和 Sn.

【例 2】在等比数列{an}中,已知 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

【例 3】已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=p (p∈R,n∈N ),判断{an}是否为等比数列?

n

*

1

四、变式训练,深化提高 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列. (1)求{an}的公比 q; (2)若 a1-a3=3,求 Sn.

五、反思小结,观点提炼









一、设计问题,创设情境 n-1 1.an=a1q 2.Sn= 3.S3k-S2k 二、信息交流,揭示规律 k 2.q 三、运用规律,解决问题 【例 1】解:因为 S3=26,a1+a2+a3=26, 2 2 所以 a1(1+q+q )=26,即 2(1+q+q )=26, 2 于是得 q +q-12=0,解得 q=-4,或 q=3, n 当 q=-4 时,Sn=×(-4) , n 当 q=3 时,Sn==3 -1. 【例 2】解:由性质知:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列. 2 所以 12 =48×(S3n-60),解得 S3n=63. n * 【例 3】解:由 Sn=p (n∈N ),有 a1=S1=p. n n-1 n-1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=p -p =(p-1)p , 故 a2=(p-1)p,因此数列{an}成等比数列? 但满足此条件的实数 p 是不存在的,所以数列{an}不是等比数列. 四、变式训练,深化提高 2 解:(1)由题意,有 S1+S2=2S3,即 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ). 又已知 a1≠0,q≠0,解得 q=-. (2)由已知得 a1-a1=3,解得 a1=4.从而 Sn=. 五、反思小结,观点提炼 略

2


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