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1-2-3高中数学选修4-4参数方程极坐标


第一讲 坐标系



极坐标系

课时作业(03)

极坐标和直角坐标的互化

①了解平面直角坐标系与极坐标系的区别 作业 目标 与联系.②掌握点的极坐标与直角坐标的 互化公式.③能够建立适当的平面坐标系, 利用极坐标与直角坐标的互化公式解决问 题. 作业 设计 限时:40 分钟 满分:90 分

一、选择题:每小题 5 分,共 30 分. 1.下列直角坐标表示的点在极轴上的是( A.(1,2) C.(π,0) B.(0,π) D.(π,2π) )

解析:直角坐标为(π,0)的点在 x 轴的正半轴上,所以在极 轴上.

答案:C

2.极坐标为(1,π)的点 M 的直角坐标为( A.(1,0) C.(-1,0) B.(0,1) D.(0,-1)

)

解析:设点 M 的直角坐标为(x,y),则 x=ρcosθ=1·cosπ= -1,y=ρsinθ=1·sinπ=0. ∴点 M 的直角坐标为(-1,0).

答案:C

? 3.直角坐标为? ? ? ? 5π? A.?π, 6 ? ? ? ? 11π? C.?π, 6 ? ? ?

3π π? ? 的点的极坐标为( ,- 2 2? ?
? 7π? B.?π, 6 ? ? ? ? π? D.?π,2? ? ?

)

解析:∵ρ=

? ? ? ?

? ? 3π ? ?2 ? π?2 + -2 =π, 2 ? ? ? ?

π -2 3 tanθ= =- 3 , 3π 2
? 由于点? ? ?

3π π? ? ,- ?在第四象限, 2 2?

11π 所以 θ= , 6
? ∴直角坐标为? ? ? ? 11π? 3π π? ? 的点的极坐标为?π, 6 ?. ,- ? 2 2? ? ?

答案:C

4 .在极坐标系中,点 ( ) A.1 B.2

? π? A ?2,6? 与 ? ?

? π? B ?2,-6? 之间的距离为 ? ?

C .3

D.4

? ? π? π? 解析: 方法一: 点 A?2,6?与 B?2,-6?的直角坐标分别为( ? ? ? ?

3,

1)与( 3,-1), 于是|AB|= ? 3- 3?2+?1+1?2=2. 方法二:由点
? π? A?2,6?与 ? ? ? π? B?2,-6?知, ? ?

π |OA|=|OB|=2,∠AOB=3, 于是△AOB 为等边三角形,所以|AB|=2.
答案:B

5.与点 P( 6- 2, 6+ 2)表示同一点的极坐标为(
? 17π? A.?-4, 12 ? ? ? ? 5π? C.?4,-12? ? ? ? 7π? B.?4,12? ? ? ? π? D.?-4,12? ? ?

)

解析:将点 P 化为 ρ>0,0≤θ<2π 的极坐标后再解答. 3 1+ 3 6 + 2 ? 6- 2?2+? 6+ 2?2=4,tanθ= = = 6- 2 3 1- 3

ρ=

π π tan +tan 4 6 5π =tan . π π 12 1-tan · tan 4 6
? 5π? 5π ∴θ=12,即点 P 的一个极坐标为?4,12?,与点 P 表示同一 ? ?

点的只有 A 选项. 答案:A

6.在极坐标系中,点 点的极坐标为(
?1 5π? A.?2,12? ? ? ? C.? ? ?

? A? ? ?

? 2 2π? 2 π? ? ? ? , B , , ? 2 ?,则线段 AB 中 2 6? 3 ? ? ?

)
? 5π? B.?1,12? ? ? ? D.? ? ?

2 5π? ? , 2 12? ?

2 π? ? , 2 3? ?

解析:方法一:由点

? A? ? ?

? 2 2π? π 2 π? ? ? ? ,B? , ?知,∠AOB= , 2 2 ,6? 3? ? ? 2

于是△AOB 为等腰直角三角形, 2 所以|AB|= × 2=1, 2 设线段 AB 的中点为 C, 1 5π 则|OC|=2,极径 OC 与极轴所成的角为12, 所以线段 AB 中点 C
?1 5π? 的极坐标为?2,12?. ? ?

方法二:点
? ? ? ? ? ? ? ?

? A? ? ?

? 2 2π? 2 π? ? ? ? , ?,B? , ?的直角坐标分别为 2 6? 3? ? 2

? 6 2? 2 6? ? ? ? , ? , ?- , ? , 线 段 AB 中 点 的 直 角 坐 标 为 4 4? 4 4? ?

6- 2 6+ 2? ? , 8 , 8 ? ? 由公式得 ρ= x2+y2 =
? ? ? ? ? ? 6- 2? ?2 ? 6+ 2?2 +? ? 8 ? ? 8 ? ?

1 =2,

6+ 2 y tanθ= = =2+ 3,θ∈[0,2π). x 6- 2 5π 5π 由于 tan =2+ 3, 且线段 AB 的中点在第一象限, 故 θ= . 12 12 所以线段 AB
? 1 5π ? 中点的极坐标为?2,12?. ? ?

答案:A

二、填空题:每小题 5 分,共 15 分. 7.已知点 M __________.
? π? 的极坐标为?2,-4?,则点 ? ?

M 的直角坐标为

解析:设点 M 的直角坐标为(x,y),则
? π? x=ρcosθ=2cos?-4?= ? ? ? π? y=ρsinθ=2sin?-4?=- ? ?

2, 2,

∴点 M 的直角坐标为( 2,- 2).

答案:( 2,- 2)

8.直角坐标为(-1,1)的点 M 的极角所有可能情况可表示为 __________.

1 解析:设点 M 的极角为 θ,则 tanθ= =-1, -1 又点 M 在第二象限. 3π ∴θ=2kπ+ (k∈Z). 4

3π 答案:2kπ+ 4 (k∈Z)

9. 在直角坐标系中, O 为坐标原点, 已知点 M 在直线 y= 3 x 上,且|MO|=2,则点 M 的极坐标可统一表示为__________.

解析:如图所示, ρ=|OM|=2, tanθ= 3, ∵M 在第一象限或第三象限, π ∴θ=kπ+ (k∈Z). 3 ∴点 M
? π? 的极坐标可统一表示为?2,kπ+3?(k∈Z). ? ?

? π? 答案:?2,kπ+3?(k∈Z) ? ?

三、解答题:每小题 15 分,共 45 分. 10.已知点 P
? ?x′=2x, 的直角坐标按伸缩变换? ? ?y′= 3y

变换为点

P′(6,-3),限定 ρ>0,0≤θ<2π 时,求点 P 的极坐标.

解:设点 P 的直角坐标为(x,y),
? ?6=2x, 由题意得? ? ?-3= 3y, ? ?x=3, 解得? ? ?y=- 3,

∴点 P 的直角坐标为(3,- 3). ρ= 32+?- 3?2=2 3,

- 3 tanθ= 3 ,

∵0≤θ<2π,点 P 在第四象限, 11π ∴θ= 6 , ∴点 P
? 的极坐标为?2 ?

11π? 3, ?. 6 ?

11.已知极坐标系的极点为直角坐标系中的点(2,-2),方 向与 x 轴正方向相同, 点M 标系中的坐标.
? π? 的极坐标为?4,6?, 求点 ? ?

M 在直角坐

解:如图所示,

π 设 M(x,y),则 x-2=ρcosθ=4cos6=2 3, ∴x=2+2 3, π y-(-2)=ρsinθ=4sin =2.∴y=0, 6 ∴点 M 在直角坐标系中的坐标为(2+2 3,0).

12. 在极坐标系中, 已知三点 (1)求线段 MN 的长;

? ? π? M?2,-3?, N(2,0), P ?2 ? ? ?

π? 3, ? . 6?

(2)判断 M,N,P 三点是否在一条直线上,说明理由.

解:(1)方法一:数形结合,如图所示,

π ∵|OM|=|ON|=2 且∠MON=3, ∴△MON 是正三角形. ∴|MN|=2.

? ?x=ρcosθ, 方法二: 由? ? ?y=ρsinθ

得点 M, N 的直角坐标分别为 M(1,

- 3),N(2,0), ∴|MN|= ?2-1?2+?0+ 3?2=2.

(2)方法一:三点

? ? π? M?2,-3?,N(2,0),P?2 ? ? ?

π? 3, ?的直角坐标 6?

分别为(1,- 3),(2,0),(3, 3), → → → → → 由于MN=(1, 3),MP=(2,2 3)=2MN,故MP∥MN, → → 又MP与MN有公共点 M,所以 M,N,P 三点共线.

方法二:由点 =2,

? ? π? M?2,-3?,N(2,0),P?2 ? ? ?

π? 3, ?知,|OM|=|ON| 6?

π ∠MON= ,于是△OMN 为等边三角形,所以|MN|=2. 3 π 又∠MOP=2,|OP|=2 3, 在 Rt△MOP 中, |MP|= 22+?2 3?2=4,

在△ONP 中,由余弦定理得 |NP|= π 2 +?2 3? -2×2×2 3cos =2. 6
2 2

因为|MN|+|NP|=2+2=4,|MP|=4, 于是|MN|+|NP|=|MP|,所以 M,N,P 三点共线.



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