3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

§2.3 函数的奇偶性与周期性(步步高高三复习)


数学

川(理)

§2.3 函数的奇偶性与 周期性
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 偶函数 个 x,都有 图象特点 关于 , 对称
知识回顾 理清教材

f(-x)=f(x)

y轴

那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一 奇函数 个 x,都有 关于 原点 , 对称

f(-x)=-f(x)

那么函数 f(x)是奇函数
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
2.周期性 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) , 那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个
知识回顾 理清教材

最小 的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) √ (3) √ (4) √ (5) √ (6) √

解析

A B A
{x|-7<x<3}

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3
2

确定函数的奇偶性时, 必须 先判定函数定义域是否关 于原点对称.若对称,再验 证 f( - x) = ± f(x) 或其等价 形式 f(-x)± f(x)=0 是否成 立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3

2 ? ?9-x ≥0 (1)由? 2 ? ?x -9≥0

,得x=± 3.

∴f(x)的定义域为{-3,3},关于 原点对称.

又f(3)+f(-3)=0,f(3)-f(-3)=0.
即f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数,又是偶函数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x + x -9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x (3)f(x)= . |x+3|-3
2 2 2

?1-x ? ≥0 1 + x (2)由? ? ?1+x≠0

,得-1<x≤1.

∵f(x) 的定义域 ( - 1,1] 不关于原 点对称. ∴f(x)既不是奇函数, 也不是偶函 数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华
2 ? ?4-x ≥0 (3)由? ? ?|x+3|-3≠0

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3



得-2≤x≤2且x≠0.
∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 关于原点对称. 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = x . ?x+3?-3

∴f(x)=-f(-x),
∴f(x)是奇函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)利用定义判断函数奇偶性的 (1)f(x)= 9-x2+ x2-9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3
步骤:

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 判断函数的奇偶性
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 9-x + x -9; 1-x (2)f(x)=(x+1) ; 1+x 4-x2 (3)f(x)= . |x+3|-3
2 2

(2)在判断奇偶性的运算中, 可 以转化为判断奇偶性的等价 等 量 关 系 式 (f(x) + f( - x) = 0( 奇 函 数 ) 或 f(x) - f( - x) = 0(偶函数))是否成立.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1) 判断下列函数的奇偶性: lg?1-x2? (1)f(x)= ; |x-2|-2 ?x2+2?x>0? ? (2)f(x)=?0?x=0? ?-x2-2?x<0? ?

2 ? 1 - x >0 ? (1)由? ? ?|x-2|-2≠0

.

,得定义域为(-1,0)∪(0,1),

lg?1-x2? lg?1-x2? f ( x) = =- . x -?x-2?-2 lg[1-?-x?2] lg?1-x2? ∵f(-x)=- =- =-f(x). -x -x ∴f(x)为奇函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 (1) 判断下列函数的奇偶性: lg?1-x2? (1)f(x)= ; |x-2|-2 ?x2+2?x>0? ? (2)f(x)=?0?x=0? ?-x2-2?x<0? ?


.

(2) f(x)的定义域为 R,关于原点对称,

当x>0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x);

当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x);
当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( )

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) =________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( )

(1)f(x)的周期性已知, 可以通 过一个周期内函数值的变化 情况求和.

(2) 通过题意先确定函数的周 期性.

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) =________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( )

(1)利用函数的周期性和函数值 的求法求解. ∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
∵当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2;

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) =________.
基础知识 题型分类

当-1≤x<3时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2, f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1, f(6)=f(0)=0, ∴f(1)+f(2)+…+f(6)=1,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( )

∴f(1) + f(2) + … + f(6) = f(7) + f(8) + … + f(12) = … = f(2 005) +f(2 006)+…+f(2 010)=1,
∴f(1)+f(2)+…+f(2 010) 2 010 =1× 6 =335. 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) =________.
基础知识 题型分类

+f(2 014)+f(2 015)

=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 1+2-1+0-1=1.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( )

∴f(1)+f(2)+…+f(2 015)=335 +1=336.
(2)由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2] 1 1 =- =- 1 =f(x). f?x+2? - f?x?

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) =________.
基础知识 题型分类

故函数的周期为4.
∴f(105.5)=f(4×27-2.5) =f(-2.5)=f(2.5).
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 (

∵2≤2.5≤3,由题意,

) 得 f(2.5)=2.5.

∴f(105.5)=2.5.

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) =________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012

∵2≤2.5≤3,由题意,

( B ) 得 f(2.5)=2.5.

∴f(105.5)=2.5.

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5)
2.5 =________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( B )

(1) 函数的周期性反映了函数 在整个定义域上的性质.对函 数周期性的考查,主要涉及函 数周期性的判断,利用函数周 期性求值.

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) 2.5 =________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 函数周期性的应用
(1)定义在R上的函数f(x)满
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例2】

足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+… +f(2 015)等于 A.335 C.1 678 B.336 D.2 012 ( B )

(2)求函数周期的方法

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函 1 数,并且f(x+2)=- , f?x? 当2≤x≤3时,f(x)=x,则f(105.5) 2.5 =________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 A.-1 (1) 若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1, ( A ) C.-2 D.2 B.1 f(2)=2,则f(3)-f(4)等于

(2)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x), ? 5? 则f ?-2?等于 ( ) ? ? 1 1 1 1 A.- B.- C. D. 2 4 4 2
解析 (1)由f(x)是R上周期为5的奇函数知

f(3)=f(-2)=-f(2)=-2, f(4)=f(-1)=-f(1)=-1, ∴f(3)-f(4)=-1,故选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 A.-1 (1) 若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1, ( A ) C.-2 D.2 B.1 f(2)=2,则f(3)-f(4)等于

(2)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x), ? 5? 则f ?-2?等于 ( A ) ? ? 1 1 1 1 A.- B.- C. D. 2 4 4 2
解析 ∴f (2) ∵f(x)是周期为 2 的奇函数,
? 5? ? 5 ? ? 1? ?1? ?- ?=f ?- +2?=f ?- ?=-f ? ? ? 2? ? 2 ? ? 2? ?2?

1? 1 ? 1 ? ? =-2×2× 1-2 =-2. ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上

的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 可以先确定函数的周期性, 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

求 f(π);然后根据函数图象 的对称性、周期性画出函数 图象,求图形面积、写单调 区间.

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图



(1)由f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2) =f(x),

所以f(x)是以4为周期的周期函数,

象与 x 轴所围成图形的面积; ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4) =-f(4-π) (3)写出(-∞,+∞)内函数 =-(4-π)=π-4. f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类

(2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),

得:f[(x-1)+2]=-f(x-1) =f[-(x-1)],
即f(1+x)=f(1-x).

故知函数y=f(x)的图象关于直线 x=1对称. 又当0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x) 的图象关于原点成中心对称,
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上 的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图

则f(x)的图象如图所示.

当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x

象与 x 轴所围成图形的面积; 轴围成的图形面积为S, (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类
?1 ? 则S=4S△OAB=4×?2×2×1?=4. ? ?

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上

的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 (3)函数 f(x)的单调递增区间为 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图

[4k-1,4k+1] (k∈Z), 单调递减区间为[4k+1,4k+3]

象与 x 轴所围成图形的面积; (k∈Z). (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 函数性质的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 设 f(x)是(-∞,+∞)上

的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 关于奇偶性、单调性、周期性 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时, 求 f(x)的图 象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

的综合性问题,关键是利用奇 偶性和周期性将未知区间上 的问题转化为已知区间上的 问题,体现了转化思想.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 (1) 已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ?1? 则满足f(2x-1)<f ?3?的x的取值范围是 ( A ) ? ? ?1 2? ?1 2? A.?3,3? B.?3,3? ? ? ? ? ?1 2? ?1 2? C.?2,3? D.?2,3? ? ? ? ?

解析 (1) 偶函数满足 f(x)=f(|x|),根据这个结论,
有f(2x-1)<f
?1? ?1? ? ??f(|2x-1|)<f ? ?, ?3? ?3?

1 进而转化为不等式|2x-1|<3,

?1 2? 解这个不等式即得x的取值范围是?3,3?. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间 [0,2]上是增函数,则 A.f(-25)<f(11)<f(80) B.f(80)<f(11)<f(-25) C.f(11)<f(80)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11) ( D )

解析

(2)由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,

f(x)在[-2,2]上递增,
又f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),

故函数f(x)以8为周期, f(-25)=f(-1),f(11)=f(3)=-f(3-4)=f(1),

f(80)=f(0),故f(-25)<f(80)<f(11).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(10分) (1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数k= 1+k· 2x ________.
2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数f(x)= ? 则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值 ?1,x<0, ?

范围是____________________.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(10 分) (1)若函数 f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数 k= 1+k· 2x ________.
2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数 f(x)=? 则满足不等式 f(1-x2)>f(2x)的 x 的取 ?1,x<0, ?

值范围是____________________.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)解题中忽视函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0得k=1. (2)本题易出现以下错误 由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽视了1-x2>0导致解答失误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(10分) (1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数k= 1+k· 2x ________.
2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数f(x)= ? 则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值 ?1,x<0, ?

范围是____________________.

易 错 分 析


规 范 解 答

温 馨 提 醒

k-2 x k· 2x-1 解析 (1)∵f(-x)= = , 1+k· 2-x 2x+k ?k-2x??2x+k?+?k· 2x-1?· ?1+k· 2x? ∴f(-x)+f(x)= ?1+k· 2x??2x+k? ?k2-1??22x+1? = . ?1+k· 2x??2x+k?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(10分) (1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数k= 1+k· 2x ________.
2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数f(x)= ? 则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值 ?1,x<0, ?

范围是____________________.

易 错 分 析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

由f(-x)+f(x)=0可得k2=1,∴k=± 1.
2 ? ?x +1,x≥0, (2)画出f(x)=? ? ?1,x<0

的图象,

由图象可知,若f(1-x2)>f(2x),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(10分) (1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数k= 1+k· 2x ________. ±1
2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数f(x)= ? 则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值 ?1,x<0, ?

(-1, 2-1) 范围是____________________ .
易 错 分 析
2 ? ?1-x >0, 则? 2 ? ?1-x >2x,

规 范 解 答
? ?-1<x<1, 即? ? ?-1- 2<x<-1+

温 馨 提 醒

2,

得x∈(-1, 2-1).
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
易错警示系列3 忽视定义域致误
k-2x 典例:(10分) (1)若函数f(x)= 在定义域上为奇函数,则实数k= 1+k· 2x ________. ±1
2 ? ?x +1,x≥0, (2)已知函数f(x)= ? 则满足不等式f(1-x2)>f(2x)的x的取值 ?1,x<0, ?

(-1, 2-1) 范围是____________________ .
易 错 分 析 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数,要注意函数的定义域. (2)解决分段函数的单调性问题时,应高度关注: ①抓住对变量所在区间的讨论. ②保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系. ③弄清最终结果取并还是交.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

思想方法·感悟提高
1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问 题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f(x)为奇函数 或偶函数的必要非充分条件; (2)f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.

方 法 与 技 巧

2.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴 对称,反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图 象的画法,也可以利用它去判断函数的奇偶性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

3.若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 1 1 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 或 f(x+a)=- (a 是 f ? x? f ? x? 常数且 a≠0),则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是 否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具 有奇偶性的一个必要条件.
2. 判断函数 f(x)是奇函数, 必须对定义域内的每一个 x, 均有 f(-x)=-f(x),而不能说存在 x0 使 f(-x0)= -f(x0).对于偶函数的判断以此类推. 3.分段函数奇偶性判定时,要以整体的观点进行判 断,不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇 偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

失 误 与 防 范

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.(2013· 广东)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1, y=2sin x 中,奇函数的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 ( C )

解析

由奇函数的定义可知 y=x3,y=2sin x 为奇函数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)等于 A.-3 B.-1 C.1 D.3 ( A )

解析

∵f(x)是奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,

∴f(1)=-f(-1)=-[2×(-1)2-(-1)]=-3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2), f?x2?-f?x1? 有 <0,则 ( A ) x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析

由题意知 f(x)为偶函数,所以 f(-2)=f(2),

又x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数,且3>2>1,

∴f(3)<f(2)<f(1),即f(3)<f(-2)<f(1),故选A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

4.定义两种运算:a x = 是 2-?x?2? A.奇函数 C.既奇又偶函数
解析 因为 2

b= a2-b2,a?b= ?a-b?2,则 f(x) ( A ) B.偶函数 D.非奇非偶函数

x= 4-x2,x?2= ?x-2?2,

4-x2 4-x2 4-x2 所以f(x)= = x , 2= 2 - ? 2 - x ? 2- ?x-2?

该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).
故函数f(x)是奇函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)= ax-a x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)等于 15 17 A.2 B. C. D.a2 4 4


( B )

解析

∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,

∴f(-2)=-f(2),g(-2)=g(2)=a, ∵f(2)+g(2)=a2-a-2+2, ∴f(-2)+g(-2)=g(2)-f(2)=a-2-a2+2, ① ②

15 由①、②联立,g(2)=a=2,f(2)=a -a = 4 .
2
-2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.函数 f(x)在 R 上为奇函数,且 x>0 时,f(x)= x+1,则当

- -x-1 x<0 时,f(x)=_____________.

解析 ∵f(x)为奇函数,x>0 时,f(x)= x+1,
∴当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-( -x+1),
即x<0时,f(x)=-( -x+1)=- -x-1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

0 7.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________.

解析

∵函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,

∴f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,
∴|-x+a|=|x+a|,
∴a=0.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 8.已知函数f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 4 (x,y∈R),则f(2 015)=________.
解析 方法一 令 x=1,y=0 时,4f(1)· f(0)=f(1)+f(1),

1 解得f(0)=2,
令x=1,y=1时,4f(1)· f(1)=f(2)+f(0),

1 解得f(2)=-4,
令x=2,y=1时,4f(2)· f(1)=f(3)+f(1), 1 解得f(3)=-2,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 8.已知函数f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 4 (x,y∈R),则f(2 015)=________.
1 1 1 1 依次求得 f(4)=-4,f(5)=4,f(6)=2,f(7)=4,
1 1 f(8)=-4,f(9)=-2,…

可知f(x)是以6为周期的函数,

1 ∴f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 8.已知函数f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) 4 1 (x,y∈R),则f(2 015)=________. 4
1 ∵f(1)=4,4f(x)· f(y)=f(x+y)+f(x-y),

方法二

1 π ∴构造符合题意的函数f(x)=2cos 3x,
? 1 1 ?π ∴f(2 015)=2cos?3×2 015?=4. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

(1)证明

由函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,

有f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).
又函数f(x)是定义在R上的奇函数, 故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x). 从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即 f(x)是周期为 4 的周期函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

9. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且它的图象关于直线 x=1 对称. (1)求证:f(x)是周期为 4 的周期函数; (2)若 f(x)= x (0<x≤1),求 x∈[-5,-4]时,函数 f(x)的解析式.

(2)解

由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0.

x∈[-1,0)时,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=- -x.

故x∈[-1,0]时,f(x)=- -x. x∈[-5,-4]时,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=- -x-4. 从而,x∈[-5,-4]时,函数f(x)=- -x-4.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

?-x2+2x,x>0, ? 10.已知函数 f(x)=?0,x=0, ? 2 ?x +mx,x<0

是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)若函数 f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的 取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10



(1)设 x<0,则-x>0,

所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 于是x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2.

(2)由(1)知 f(x)在[-1,1]上是增函数,
要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增.
? ?a-2>-1, 结合f(x)的图象知? ? ?a-2≤1,

所以1<a≤3,故实数a的取值范围是(1,3].
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数, 且g(x)=f(x-1),则f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B.1 C.0 ( )

D.无法计算

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数, 且g(x)=f(x-1),则f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B.1 C.0 ( )

D.无法计算

解析

由题意,得 g(-x)=f(-x-1),

又∵f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,
∴g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x),
∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数, 且g(x)=f(x-1),则f(2 013)+f(2 015)的值为 A.-1 B.1 C.0 ( C )

D.无法计算

∴f(x)=f(x+4),
∴f(x)的周期为4,
∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1),
又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分

B组

专项能力提升

5 3 1 4 2 2.设奇函数f(x)的定义域为R,最小正周期T=3,若f(1)≥1,f(2)= 2a-3 ,则a的取值范围是 ( C ) a+1 2 A.a<-1或a≥ B.a<-1 3 2 2 C.-1<a≤ D.a≤ 3 3
解析 函数 f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1).

由f(1)=-f(-1)≥1,得f(-1)≤-1; 函数的最小正周期T=3,则f(-1)=f(2),
2a-3 2 由 ≤-1,解得-1<a≤3. a+1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1) =f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数f(x)的最大值是1,最小值是0. 其中所有正确命题的序号是________.

解析 在 f(x+1)=f(x-1)中,令 x-1=t,则有 f(t+2)=f(t),
因此2是函数f(x)的周期,故①正确; 当x∈[0,1]时,f(x)=2x是增函数, 则f(x)在[-1,0]上是减函数,
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1) =f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=2x,则有 ①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数f(x)的最大值是1,最小值是0.

①② . 其中所有正确命题的序号是________
根据函数的周期性知,函数 f(x)在(1,2)上是减函数,
在(2,3)上是增函数,故②正确; 在区间[-1,1]上,f(x)的最大值为f(1)=f(-1)=2, f(x)的最小值为f(0)=1,故③错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

4. 函数 f(x)的定义域为 D={x|x≠0}, 且满足对于任意 x1, x2∈D, 有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性并证明你的结论; (3)如果 f(4)=1,f(x-1)<2,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求 x 的取值范围.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

解析

(1)∵对于任意 x1,x2∈D,

有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2),

∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.

(2)令 x1=x2=-1,有 f(1)=f(-1)+f(-1),
1 ∴f(-1)=2f(1)=0.

令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

(3)依题设有 f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,
∴f(x-1)<2?f(|x-1|)<f(16).

又f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴0<|x-1|<16,解之得-15<x<17且x≠1. ∴x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数, 并证明你的结论.
解 (1)∵f(1)=0,且 f(x)在[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0,
又∵f(2-x)=f(2+x),令x=-3,f(-1)=f(5)≠0,

∴f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1).
∴f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数, 并证明你的结论.
(2)f(10+x)=f[2+8+x]=f[2-(8+x)] =f(-6-x)=f[7-(13+x)]=f[7+13+x] =f(20+x),
又f(x)的图象关于x=7对称知,f(x)=0在(0,10)上有两个根, 则f(x)=0在(0,2 005]上有201×2=402个根;

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

5.设函数f(x)在(-∞,+∞)上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x),且在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数, 并证明你的结论.

在[-2 005,0]上有 200×2=400 个根;
因此 f(x)=0 在闭区间上共有 802 个根.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分


推荐相关:

...第3讲 函数的奇偶性与周期性(含解析)新人教A版

步步高】2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第3函数的奇偶性与周期性(含解析)新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第 3 讲 函数的奇偶性与周期性一、...


2015步步高高中数学文科文档2.3

2015步步高高中数学文科文档2.3 - § 2.3 函数的奇偶性与周期性 1.函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都...


17版: §2.7 函数的图象(步步高)

17版: §2.7 函数的图象(步步高)_高三数学_数学_...(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性...(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复; (5)从...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com